Les problématiques du nombre π
Un seul nombre, cinq questions qui ont occupé les mathématiciens pendant quatre mille ans : pourquoi le même π pour le tour et pour l'aire, peut-on le construire à la règle, est-il une fraction, comment en obtenir les décimales, et reste-t-il le même si l'on change de géométrie ?
La roue qui mesure π
Définition : π est le rapport entre le tour d'un cercle et son diamètre. Une roue de diamètre 1 qui fait exactement un tour sans glisser avance donc de π : un peu plus de 3, un peu moins de 3,15. Le point rouge de la jante dessine une cycloïde.
Les cinq planches répondent à cinq questions dans l'ordre où l'histoire les a posées : d'abord la géométrie (planches 1 et 2), puis l'arithmétique (planche 3), le calcul (planche 4), et enfin une question plus moderne sur la nature même de π (planche 5).
Pourquoi le même π pour le tour et pour l'aire ?
Idée simple : le tour vaut π × diamètre, c'est la définition. Mais pourquoi l'aire vaudrait-elle π × rayon², avec le même π ? Parce qu'un disque peut être découpé puis réarrangé en une figure dont l'aire se calcule avec son tour. Deux découpages classiques : les secteurs (des parts de tarte), qui forment presque un rectangle, et les anneaux (les pelures d'un oignon), qui se déroulent en un triangle.
Peut-on « quarrer » le cercle ?
La quadrature du cercle est le plus célèbre problème de l'Antiquité : construire, avec seulement une règle non graduée et un compas, un carré de même aire qu'un disque donné. Cela revient à construire une longueur égale à √π, donc à π. Trois tentatives en quatre mille ans : le scribe égyptien Ahmès, qui se contente d'une approximation ; Hippocrate de Chios, qui réussit à quarrer une figure courbe, la lunule ; le jésuite Kochański, dont la construction de 1685 donne π à 6·10⁻⁵ près.
π est-il une fraction ?
Les Anciens utilisaient 3, 22/7 ou 355/113. Et si π était exactement une fraction a/b ? Lambert a montré en 1761 que non ; Ivan Niven en a donné en 1947 une preuve d'une page, que l'on peut voir fonctionner. On fabrique le polynôme f(x) = xⁿ(a − bx)ⁿ / n! et l'intégrale Iₙ = ∫0π f(x) sin x dx. Si π valait a/b, un calcul de dérivées montrerait que Iₙ est exactement un nombre entier, 2F(0), connu d'avance. Or Iₙ est positive et tend vers 0 : un entier positif ne peut pas être aussi petit. Choisissez une fraction « suspecte » et regardez-la se faire démasquer.
Combien de décimales, et à quelle vitesse ?
Puisque π n'est ni constructible ni fraction, il faut le calculer. Toutes les méthodes produisent une suite de nombres qui s'en approchent ; la vraie question est la vitesse. Cinq méthodes, programmées ici en entiers exacts (jusqu'à 1 150 chiffres), comparées étape par étape à une valeur de référence elle-même calculée deux fois par deux méthodes indépendantes.
| méthode | une « étape » | formule |
|---|---|---|
| Leibniz (1674) | un terme | π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … |
| Viète (1593) | une racine carrée | 2/π = √½ · √(½+½√½) · … |
| Machin (1706) | un terme de chaque série | π/4 = 4 arctan(1/5) − arctan(1/239) |
| Chudnovsky (1988) | un terme | 1/π = 12 Σ (−1)ᵏ(6k)!(13591409 + 545140134k) / ((3k)!(k!)³640320^(3k+3/2)) |
| Gauss-Legendre (1976, Brent et Salamin) | une moyenne arithmético-géométrique | π ≈ (aₖ + bₖ)² / (4tₖ) |
π change-t-il si l'on change de géométrie ?
Le rapport « tour sur diamètre » vaut π parce que l'on mesure les longueurs avec la règle de Pythagore, dans un plan. Changeons l'une ou l'autre de ces deux hypothèses. D'abord la manière de mesurer : dans la norme ℓᵖ, la longueur d'un petit segment (dx, dy) vaut (|dx|p + |dy|p)1/p ; le « cercle » devient une super-ellipse. Ensuite la surface elle-même : un cercle dessiné sur une sphère ou sur une selle.
Quatre mille ans de π
- vers −1650 — Le papyrus Rhind (scribe Ahmès) : l'aire du disque de diamètre 9 est prise égale au carré de côté 8, soit π ≈ 256/81 ≈ 3,1605.
- vers −440 — Hippocrate de Chios quarre une lunule : une figure courbe peut avoir exactement l'aire d'un triangle.
- vers −250 — Archimède encadre π entre 3 + 10/71 et 3 + 1/7 avec des polygones de 96 côtés, et prouve que l'aire du disque est celle d'un triangle de base le tour et de hauteur le rayon.
- vers 480 — Zu Chongzhi, en Chine, obtient 355/113, juste à sept décimales ; il faudra près de mille ans pour faire mieux.
- vers 1400 — Madhava, en Inde, découvre la série de l'arc tangente, que l'Europe attribuera plus tard à Gregory et Leibniz.
- 1593 — Viète écrit le premier produit infini de l'histoire, fait de racines carrées emboîtées.
- 1610 — Ludolph van Ceulen atteint 35 décimales par les polygones ; elles sont gravées sur sa tombe.
- 1706 — John Machin calcule 100 décimales avec sa formule ; William Jones emploie pour la première fois la lettre π, qu'Euler popularisera.
- 1761 — Johann Heinrich Lambert démontre que π est irrationnel.
- 1873 — William Shanks publie 707 décimales ; les 180 dernières sont fausses, ce que l'on ne saura qu'en 1946.
- 1882 — Ferdinand von Lindemann démontre que π est transcendant : la quadrature du cercle est impossible.
- 1949 — L'ENIAC calcule 2 037 décimales en 70 heures : première fois qu'une machine prend le relais.
- 1976 — Brent et Salamin exhument la moyenne arithmético-géométrique de Gauss : le nombre de décimales double à chaque étape.
- 1988 — Les frères Chudnovsky publient leur série, qui ajoute environ 14 décimales par terme ; elle sert à tous les records actuels, qui dépassent aujourd'hui la centaine de milliers de milliards de décimales.
En résumé
Un nombre géométrique
Le même π règle le tour et l'aire parce que l'aire se déroule en un triangle de base le tour : c'est le lien entre une longueur et une surface, pas une coïncidence. Mais ce rapport n'est π que dans le plan euclidien : il vaut 4 pour la « règle des taxis », moins de π sur une sphère, plus de π sur une selle.
Un nombre de calcul
Des 256/81 d'Ahmès aux séries de Chudnovsky, la question n'a jamais été de trouver π mais de l'approcher vite : une décimale par décade de termes pour Leibniz, 14 par terme pour Chudnovsky, un doublement à chaque étape pour Gauss-Legendre. La vérification par deux méthodes est devenue la règle depuis l'erreur de Shanks.
Un nombre inaccessible
π n'est pas une fraction (Lambert, 1761, et la preuve de Niven visible en planche 3) et n'est racine d'aucune équation entière (Lindemann, 1882). D'où l'impossibilité de la quadrature : on approche π aussi près que l'on veut, sans jamais l'écrire exactement avec des nombres « finis ».
Pour aller plus loin
Irrationalité et transcendance. La preuve de Niven (1947) tient en une page et n'utilise que l'intégration par parties ; celle de Lindemann s'appuie sur le résultat d'Hermite pour e (1873) et sur l'identité e^(iπ) = −1 : si π était algébrique, iπ le serait, et e^(iπ) ne pourrait pas valoir −1.
Les décimales sont-elles « au hasard » ? Personne ne sait démontrer que chaque chiffre apparaît avec la fréquence 1/10 dans l'écriture de π (on dit que π serait normal), bien que tous les calculs le suggèrent. La suite de six 9 à partir de la 762ᵉ décimale, dite « point de Feynman », est vérifiée par la référence de la planche 4.
Une curiosité de la série de Leibniz. Placez le curseur de la planche 4 sur k = 50 000 et affichez Leibniz : seules 4 décimales sont exactes, et pourtant sur les trente premières il n'y a que trois chiffres faux, isolés. Ce phénomène, expliqué par Jonathan Borwein et ses coauteurs, vient de ce que l'erreur de la série se développe en puissances de 1/k avec des coefficients entiers (les nombres d'Euler).
Le π des normes ℓᵖ. Le résultat selon lequel π_p est minimal pour p = 2 et vérifie π_p = π_q pour des exposants conjugués a été établi par C. L. Adler et J. Tanton, puis par J. B. Keller et R. Vakil (« π_p, the value of π in ℓ_p », American Mathematical Monthly, 2009).
Pages voisines du cahier. La récurrence d'Archimède, les aiguilles de Buffon et mille décimales passées au crible figurent dans la page des nombres remarquables ; la course Leibniz-Euler-Machin par les arcs tangentes, dans celle des fonctions réciproques ; l'intégrale de Gauss dont le carré redonne π, dans celle des primitives.