Les problématiques du nombre e
e = 2,71828… n'a pas été inventé pour la géométrie comme π : il surgit tout seul, dans le hasard, dans les factorielles, dans les problèmes d'optimisation, dans les tours de puissances. Cinq questions pour comprendre pourquoi ce nombre revient partout, et ce que l'on sait de sa nature.
e, une somme de fractions de plus en plus petites
Définition la plus simple : e = 1 + 1/1 + 1/(1×2) + 1/(1×2×3) + 1/(1×2×3×4) + …, c'est-à-dire la somme des inverses des factorielles 1/k!. Chaque morceau est bien plus petit que le précédent, si bien que la somme se stabilise très vite, un peu au-dessus de 2,718.
Les cinq planches vont du concret au plus surprenant : e dans une expérience de hasard (planche 1), la preuve qu'il n'est pas une fraction (planche 2), e comme solution de problèmes de maximum (planche 3), e caché dans la croissance de n! (planche 4), et enfin la tour de puissances x^x^x^… qu'Euler a étudiée et dont e fixe la frontière (planche 5).
Pourquoi e sort-il du hasard ?
e n'apparaît pas seulement dans les intérêts composés. Deux expériences où l'on ne parle ni de croissance ni de logarithme le font surgir. Les lettres de Montmort (1708) : un secrétaire distrait glisse n lettres au hasard dans n enveloppes déjà adressées ; quelle est la probabilité qu'aucune lettre ne soit dans la bonne enveloppe ? On appelle cette situation un dérangement. La somme qui dépasse 1 : on tire des nombres au hasard entre 0 et 1 et on les additionne jusqu'à dépasser 1 ; combien de tirages faut-il en moyenne ?
e est-il une fraction ?
Euler a montré en 1737 que non ; la preuve la plus courte, due à Fourier (1815), tient en une remarque que l'on peut vérifier à l'écran. Multiplions e par n! = 1×2×…×n : les premiers termes de la série deviennent des entiers, et il reste un reste rₙ, la partie après la virgule de n!·e. Ce reste est toujours strictement compris entre 1/(n+1) et 1/n. Or si e valait a/b, le nombre b!·e = b!·a/b serait un entier, et son reste serait 0. Impossible : e n'est pas une fraction.
Pourquoi e est-il le champion des maximums ?
Deux problèmes d'apparence anodine. Le problème de Steiner (1850) : quel nombre x, élevé à la puissance 1/x, donne le plus grand résultat ? Le partage : on coupe un nombre N en parts égales ; en combien de parts faut-il le couper pour que le produit des parts soit le plus grand possible ? Dans les deux cas, la réponse fait apparaître e, et pour la même raison.
Comment grandit n! ? e caché dans la factorielle
La factorielle n! = 1×2×…×n grandit si vite qu'on ne peut plus l'écrire : 1000! a 2 568 chiffres. Pour estimer sa taille, on remplace la somme des logarithmes ln 1 + ln 2 + … + ln n par l'aire sous la courbe ln x. Cette aire vaut n ln n − n + 1, et le « − n » devient un facteur e⁻ⁿ : n! ressemble à (n/e)ⁿ. Stirling (1730) a trouvé la correction qui manquait, √(2πn), où π rejoint e.
La tour infinie x^x^x^… : où s'arrête-t-elle ?
Empilons des puissances : x, puis x^x, puis x^(x^x), et ainsi de suite, en calculant toujours par le haut. On obtient une suite t₁ = x, t₂ = x^t₁, t₃ = x^t₂… Avec x = √2, la tour se stabilise sur 2. Avec x = 1,5, elle explose. Euler (1783) a trouvé la frontière exacte : la tour infinie converge si et seulement si x est compris entre e^(−e) ≈ 0,066 et e^(1/e) ≈ 1,445, et à la borne supérieure elle vaut exactement e.
Quatre siècles de e
- 1614 — John Napier publie ses tables de logarithmes ; le nombre e y est présent sans être nommé, caché dans la construction.
- 1683 — Jacob Bernoulli étudie les intérêts composés de plus en plus souvent et montre que la limite de (1 + 1/n)ⁿ est comprise entre 2 et 3.
- 1708 — Pierre Rémond de Montmort pose le problème des rencontres (les lettres mal distribuées) ; la probabilité tend vers 1/e.
- 1730 — James Stirling et Abraham de Moivre obtiennent l'approximation de n! où se rencontrent e et π.
- 1731 — Première trace écrite de la lettre e, dans une lettre d'Euler à Goldbach.
- 1737 — Euler développe e en fraction continue, découvre le motif 1, 2k, 1 et en déduit que e est irrationnel.
- 1748 — Dans l'Introductio in analysin infinitorum, Euler donne e = Σ 1/k! et 23 décimales.
- 1783 — Euler établit que la tour infinie x^x^x^… converge exactement entre e^(−e) et e^(1/e).
- 1815 — La preuve de Fourier, en une ligne, est publiée par Janot de Stainville.
- 1850 — Jakob Steiner montre que x^(1/x) est maximal pour x = e.
- 1873 — Charles Hermite démontre que e est transcendant : il n'est racine d'aucune équation à coefficients entiers. C'est la première constante « naturelle » dont on le prouve.
- 1882 — Lindemann adapte la méthode d'Hermite à π, grâce au lien e^(iπ) = −1.
- 1929 — Alexandre Gelfond prouve que e^π est transcendant. On ignore encore aujourd'hui si e + π ou e × π sont irrationnels.
En résumé
Un nombre qui compte
e sort des dénombrements : la somme des 1/k! est la somme des probabilités d'événements « ordonnés », et elle fait apparaître 1/e dans les dérangements comme e dans le nombre moyen de tirages pour dépasser 1. Rien de géométrique : c'est la factorielle qui l'appelle.
Un nombre qui optimise
Chaque fois qu'on cherche le maximum d'une quantité de la forme (ln y)/y, la réponse est y = e : d'où Steiner, le meilleur partage, e^π > π^e et la frontière de la tour infinie. C'est aussi la base de la seule exponentielle égale à sa propre pente.
Un nombre inaccessible mais régulier
e n'est pas une fraction (Euler, Fourier) et n'est racine d'aucune équation entière (Hermite, 1873), exactement comme π. Mais contrairement à π, son développement en fraction continue suit un motif parfait : e est irrationnel de manière très ordonnée.
Pour aller plus loin
Pourquoi 1/e dans les dérangements. Par le principe d'inclusion-exclusion, la probabilité de n'avoir aucune lettre bien placée vaut 1 − 1/1! + 1/2! − 1/3! + … ± 1/n!, qui est exactement le début de la série de e⁻¹. L'écart à 1/e est plus petit que 1/(n+1)! : dès 8 lettres, il est inférieur à 3·10⁻⁶.
La somme qui dépasse 1. La probabilité que les k premiers tirages aient une somme inférieure à 1 est le volume d'un « coin » de cube de dimension k, soit 1/k!. Le nombre moyen de tirages est donc Σ 1/k!, c'est-à-dire e.
Transcendance. La preuve d'Hermite construit, comme celle de Niven pour π, des intégrales qui seraient des entiers non nuls si e était algébrique, et qui pourtant tendent vers 0. On sait aussi que e^π est transcendant (Gelfond), mais on ignore si π^e, e + π ou e·π le sont.
Pages voisines du cahier. Le plafond des intérêts composés et la décroissance du carbone 14 figurent dans la page des nombres remarquables ; la base de pente 1, la série contre (1 + x/n)ⁿ et le chemin vers e^(iπ) = −1, dans celle des fonctions exponentielles ; l'aire sous 1/x et la constante d'Euler γ, dans celle des logarithmes.