Les problématiques du nombre d'or
φ = (1 + √5)/2 = 1,618… est né d'une question de géométrie grecque : comment couper un segment « en extrême et moyenne raison ». Il a ensuite servi, et parfois été mis là où il n'était pas. Cinq questions sur ce qu'il est vraiment : d'où il vient, pourquoi il habite le pentagone, pourquoi ses puissances deviennent presque entières, pourquoi les algorithmes l'utilisent, et comment il organise un pavage qui ne se répète jamais.
Des pentagrammes emboîtés à l'infini
Tracez les diagonales d'un pentagone régulier : elles forment une étoile, le pentagramme, dont le cœur est un nouveau pentagone, plus petit et renversé. On peut recommencer sans fin. À chaque étage, le rapport entre la diagonale et le côté reste le même : c'est le nombre d'or φ.
Les pages voisines du cahier traitent déjà de φ comme limite des quotients de Fibonacci, du rectangle d'or et des tracés régulateurs, ou encore du « nombre le plus irrationnel » et du tournesol. Celle-ci complète le tableau par cinq questions : la définition grecque (planche 1), le pentagone et l'incommensurable (planche 2), les puissances presque entières (planche 3), la section dorée des algorithmes (planche 4) et le pavage de Penrose (planche 5).
Couper un segment « en extrême et moyenne raison » : d'où sort x² = x + 1 ?
Euclide (livre VI, définition 3) : un segment est coupé en extrême et moyenne raison quand le segment entier est à la grande partie ce que la grande partie est à la petite. Si la petite partie vaut 1 et la grande x, le tout vaut x + 1, et la condition (x + 1)/x = x/1 devient x² = x + 1. Sa racine positive est φ. Ce point de coupe se construit à la règle et au compas en quatre gestes : φ est un nombre constructible, au contraire de π.
Pourquoi φ habite-t-il le pentagone ? L'incommensurable
Dans un pentagone régulier, deux diagonales qui se croisent se coupent mutuellement en extrême et moyenne raison, et le rapport diagonale/côté vaut φ. Les pythagoriciens y auraient découvert, selon la tradition attribuée à Hippase de Métaponte, qu'il existe des longueurs incommensurables : aucune unité commune, si petite soit-elle, ne mesure exactement à la fois le côté et la diagonale. La preuve se voit : chercher une unité commune, c'est retrancher le côté de la diagonale, ce qui ramène à un pentagone plus petit, et ainsi de suite sans fin.
Pourquoi les puissances de φ deviennent-elles presque entières ?
φ²⁰ vaut 15 126,99993… ; φ⁴⁰ n'est plus qu'à quelques milliardièmes d'un entier. Ce n'est pas une coïncidence : φ a un « jumeau » ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,618, l'autre racine de x² = x + 1, et la somme φⁿ + ψⁿ est toujours un entier, le nombre de Lucas Lₙ (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18… où chacun est la somme des deux précédents). Comme |ψ| < 1, ψⁿ s'évanouit et φⁿ colle à Lₙ. Les nombres qui ont cette propriété s'appellent les nombres de Pisot ; comparons φ à d'autres.
Pourquoi les algorithmes cherchent-ils le minimum « à la section dorée » ?
Pour trouver le point le plus bas d'une courbe en creux sans calculer de dérivée, on encadre le minimum dans un intervalle, on évalue la fonction en deux points intérieurs, et on jette le morceau où le minimum ne peut pas être. Chaque évaluation coûte cher. Placer les deux points au tiers et aux deux tiers oblige à tout recalculer à chaque étape ; les placer à la section dorée, c'est-à-dire aux proportions 0,382 et 0,618, permet de réutiliser l'un des deux points à l'étape suivante. C'est la méthode que Kiefer (1953) a justifiée, et que tout le cahier emploie pour chercher un maximum « à l'aveugle ».
Un pavage qui ne se répète jamais : φ chef d'orchestre
Roger Penrose a trouvé en 1974 deux losanges, l'un épais (angles 72° et 108°) et l'autre mince (36° et 144°), qui pavent tout le plan mais sans jamais se répéter : aucune translation ne superpose le pavage à lui-même. On le fabrique par inflation : chaque demi-losange est redécoupé en demi-losanges plus petits d'un facteur φ. En 1982, Dan Shechtman a observé dans un alliage d'aluminium et de manganèse un cristal organisé de cette manière, un quasi-cristal (prix Nobel de chimie 2011).
Vingt-quatre siècles de φ
- vers −450 — Tradition pythagoricienne : le pentagramme est le signe de reconnaissance de l'école ; la découverte de l'incommensurable est attribuée, sans certitude, à Hippase de Métaponte.
- vers −300 — Euclide définit la division « en extrême et moyenne raison » (Éléments, VI, déf. 3), la construit (II, 11) et s'en sert pour le pentagone (IV, 11) et l'icosaèdre.
- 1202 — Léonard de Pise (Fibonacci) publie le problème des lapins ; le lien avec φ ne sera vu que bien plus tard.
- 1509 — Luca Pacioli, illustré par Léonard de Vinci, publie De divina proportione : la proportion devient « divine ».
- 1611 — Kepler remarque que les quotients de nombres de Fibonacci consécutifs approchent la divine proportion.
- 1835 — Martin Ohm emploie l'expression « goldener Schnitt », la section dorée.
- 1854 — Adolf Zeising prétend retrouver la section dorée dans le corps humain et la nature : début d'une longue mode, souvent sans mesure sérieuse.
- vers 1909 — La lettre φ est proposée par Mark Barr, en hommage au sculpteur Phidias.
- 1953 — Jack Kiefer montre que la méthode de Fibonacci est la meilleure recherche de minimum à nombre d'évaluations fixé ; la section dorée en est la forme limite.
- 1974 — Roger Penrose publie ses pavages apériodiques à deux tuiles.
- 1982 — Dan Shechtman observe un quasi-cristal de symétrie d'ordre 5 ; il est d'abord raillé, puis reçoit le prix Nobel de chimie en 2011.
En résumé
Un nombre de géométrie
φ est la racine positive de x² = x + 1, la seule façon de couper un segment en extrême et moyenne raison. Il se construit à la règle et au compas, et il règne sur le pentagone : diagonale sur côté, découpe des diagonales entre elles, triangles d'or. Sa descente infinie dans les pentagrammes est la plus vieille preuve connue d'incommensurabilité.
Un nombre d'algèbre
Son jumeau ψ = −1/φ explique tout le reste : φⁿ + ψⁿ est entier, donc φⁿ devient presque entier ; φ est le plus simple des nombres de Pisot. Et la relation 1/φ = φ − 1 est exactement ce qui permet à la section dorée de réutiliser un point à chaque étape.
Un nombre d'ordre sans répétition
Le pavage de Penrose et le mot de Fibonacci sont parfaitement ordonnés mais jamais périodiques : le rapport de leurs pièces est irrationnel, et vaut φ. C'est la structure des quasi-cristaux. Ailleurs, dans l'art ou les coquillages, la présence de φ doit être mesurée avant d'être affirmée.
Pour aller plus loin
Le mythe. On lit souvent que le Parthénon, la Joconde ou la coquille du nautile suivent le nombre d'or. Les mesures publiées ne le confirment pas : selon la façon de choisir les points, on trouve à peu près n'importe quelle proportion, et la spirale du nautile grandit bien moins vite que la « spirale d'or ». La page des tracés régulateurs montre, par une épreuve de Monte-Carlo, qu'un rapport retrouvé sur un dessin ne prouve pas qu'il ait été voulu.
Nombres de Pisot. Un nombre algébrique θ > 1 dont tous les conjugués sont de module strictement inférieur à 1 est un nombre de Pisot ; ses puissances s'approchent d'entiers à vitesse géométrique. Le plus petit nombre de Pisot est le nombre plastique ρ ≈ 1,3247, racine de x³ = x + 1 ; le plus petit point d'accumulation de ces nombres est φ. On ignore si les parties fractionnaires de (3/2)ⁿ se répartissent au hasard, et même s'il existe un nombre transcendant, comme e ou π, dont les puissances s'approcheraient indéfiniment d'entiers.
Pavages. Le pavage de Penrose n'a aucune période, mais toute région finie se retrouve une infinité de fois ailleurs, à une distance comparable à sa taille. En 2023, une seule tuile apériodique, le « chapeau », a été découverte par D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan et C. Goodman-Strauss.
Pages voisines du cahier. Quotients de Fibonacci, formule de Binet et toile d'araignée x ↦ 1 + 1/x : page des suites numériques ; rectangle d'or, carrés tournoyants et Modulor : page des tracés régulateurs ; seuil de Hurwitz et tournesol : page des fractions continues ; pire cas de l'algorithme d'Euclide : page du PGCD ; quasi-cristaux par coupe et projection : page de la restriction cristallographique.