Cahier d'arithmétique · constantes

Le nombre e : une aire, un hasard, une forme

e = 2,718 281 828 459… n'est pas seulement la limite de (1 + 1/n)ⁿ. On le retrouve sous une hyperbole, dans des cases laissées vides, dans la coquille d'un nautile, à l'arrêt de l'autobus et jusque dans la taille d'une épidémie. Cinq expériences pour le voir apparaître, chacune mesurée et vérifiée.

Ce que l'on va chercher

Le nombre e est la base « naturelle » des exponentielles : c'est la seule base pour laquelle la fonction x ↦ e^x est égale à sa propre dérivée. Cette propriété unique explique pourquoi il surgit partout où une quantité varie proportionnellement à elle-même : un capital qui rapporte, une population qui croît, une matière qui se désintègre, un hasard qui se répète un très grand nombre de fois.

Cette page complète la première page sur e (dérangements, irrationalité, Stirling, tour infinie) et les pages sur les exponentielles et les logarithmes. Ici, chaque planche répond à une question concrète :

Planche	Question	Où se cache e
1	Jusqu'où faut-il aller sous l'hyperbole y = 1/x pour obtenir une aire égale à 1 ?	e est cette abscisse
2	On jette n balles au hasard dans n cases : combien restent vides ?	une proportion 1/e ≈ 36,79 %
3	Quelle courbe garde la même forme quand on la fait tourner ?	la spirale r = a·e^kθ
4	Pourquoi attend-on l'autobus plus longtemps que prévu ?	la loi exponentielle, sans mémoire
5	Une épidémie va-t-elle démarrer, et combien de personnes touchera-t-elle ?	la même équation, 1 − z = e^−R₀z, répond aux deux

Planche 1

Le nombre dont l'aire vaut 1

Traçons l'hyperbole y = 1/x et colorions l'aire comprise entre la courbe et l'axe, à partir de x = 1. Plus on avance vers la droite, plus l'aire grandit. Le nombre e est l'abscisse où cette aire atteint exactement 1. Cette définition, purement géométrique, ne fait appel à aucune formule d'intérêts ni à aucune série.

∫₁^e dx/x = 1 et plus généralement ∫₁^b dx/x = ln b

Aire bleue : de 1 à b. Aire orange : la même tranche « dilatée » de k à k·b. Les aires sont calculées par la méthode de Simpson (somme de 4 000 petites tranches), sans jamais utiliser de logarithme. Le trait rouge marque e.

borne b

dilatation k

aire bleue, de 1 à b—

ln b (fonction de la machine)—

aire orange, de k à k·b—

écart entre les deux aires—

encadrement de e (dichotomie)appuyez sur le bouton

écart au e de la machine—

La dichotomie consiste à couper l'intervalle en deux à chaque étape : on part de [2 ; 3], on calcule l'aire jusqu'au milieu ; si elle est inférieure à 1, e est à droite, sinon à gauche. Chaque étape divise l'incertitude par deux : après 46 étapes, l'intervalle mesure 2⁻⁴⁶ ≈ 1,4·10⁻¹⁴.

Ce qu'il faut retenir. Faites varier k : l'aire orange reste égale à l'aire bleue. Dilater la tranche horizontalement par k l'aplatit verticalement par le même facteur, puisque la hauteur 1/x est divisée par k. Il en découle que l'aire de 1 à ab est la somme des aires de 1 à a et de 1 à b : cette aire transforme les produits en sommes. C'est le logarithme népérien, et e en est la base, l'abscisse de l'aire unité.

Planche 2

Combien de cases restent vides ?

On lance n balles, une par une, chacune dans une case choisie au hasard parmi n. Il y a autant de balles que de cases, mais certaines cases en reçoivent plusieurs, d'autres aucune. Quelle proportion de cases reste vide ? La réponse ne dépend presque pas de n : environ 36,79 %, c'est-à-dire 1/e.

Une case donnée échappe à une balle avec la probabilité 1 − 1/n, donc aux n balles avec la probabilité (1 − 1/n)ⁿ → 1/e

Chaque carré est une case. Rose : vide. Bleu de plus en plus foncé : 1, 2, 3 balles ou davantage. La case qui vient de recevoir une balle clignote en orange.

Proportion de cases contenant k balles. Barres bleues : mesure cumulée. Points verts : loi exacte (binomiale). Croix rouges : limite de Poisson e⁻¹/k!.

nombre de cases n

cases vides, ce lancer—

moyenne mesurée (nombre d'expériences)—

exact : (1 − 1/n)ⁿ—

limite 1/e—

n × (exact − 1/e), tend vers −1/(2e) = −0,18394—

cases à une seule balle, exact (1 − 1/n)ⁿ⁻¹—

Ce qu'il faut retenir. Le hasard répété un grand nombre de fois avec une petite chance à chaque essai produit e. L'écart à 1/e est mesuré : multiplié par n, il se stabilise vers −1/(2e), ce qui veut dire que l'erreur diminue comme 1/n. L'histogramme montre la loi de Poisson de paramètre 1 : autant de cases contiennent une balle que zéro (e⁻¹ chacune), puis la moitié pour deux balles, un sixième pour trois… C'est le même e⁻¹/k! qui sert de moteur à l'épidémie de la planche 5.

Planche 3

La spirale qui ne change jamais de forme

La spirale logarithmique a pour équation polaire r = a·e^kθ : chaque fois qu'on tourne d'un même angle, la distance au centre est multipliée par un même facteur. Conséquence étonnante : la faire tourner revient à l'agrandir. Et la tangente coupe toujours le rayon sous le même angle α, d'où son autre nom de spirale équiangle.

r(θ) = a·e^kθ ⟹ r′(θ)/r(θ) = k constant ⟹ tan α = r/r′ = 1/k

En bleu la spirale, en gris pointillé le rayon, en rouge la tangente au point choisi, en orange l'angle α. Les points orange se placent tous les tours sur le même rayon.

angle α

position du point

compenser par un zoom e^kφ

k = 1/tan α—

facteur d'agrandissement par tour e^(2πk)—

angle mesuré sur 400 points : min / max—

écart max à α—

longueur jusqu'au centre (Simpson)—

formule de Torricelli r₀/cos α—

écart rotation + zoom contre spirale—

Lancez la rotation en laissant la compensation cochée : la spirale tourne et grossit en même temps, et pourtant le dessin ne bouge pas ; seuls les points orange glissent le long de la courbe. Décochez : la rotation seule donne l'impression que la spirale gonfle ou se contracte. La longueur mesurée depuis le centre est finie alors que la courbe fait une infinité de tours ; Torricelli l'avait calculée dès 1645.

Ce qu'il faut retenir. Pourquoi e ? Toute spirale r = a·c^θ est logarithmique, mais en dérivant on fait apparaître ln c : l'angle vaut arctan(1/ln c). Écrire la base e rend la pente k lisible directement. Jacob Bernoulli la nommait spira mirabilis ; on en voit des approximations dans la coquille du nautile, les bras des galaxies et la trajectoire du faucon qui garde sa proie sous un angle constant.

Planche 4

L'attente sans mémoire

Des autobus passent « au hasard », en moyenne toutes les m minutes, sans horaire. La durée entre deux passages suit alors la loi exponentielle : la probabilité d'attendre plus de t minutes vaut e^−t/m. Arrivant à l'arrêt au hasard, on s'attend à patienter m/2 en moyenne. C'est faux : on attend m.

P(T > t) = e^−t/m ⟹ P(T > s + t | T > s) = e^−(s+t)/m / e^−s/m = e^−t/m

Le temps défile de gauche à droite. Traits bleus : passages d'autobus. Points violets : voyageurs arrivant au hasard ; leur trait orange mesure leur attente jusqu'au prochain bus. Remarquez qu'ils tombent plus souvent dans les grands intervalles.

Barres bleues : durées entre deux bus (40 000 tirages). Contour orange : durée de l'intervalle dans lequel tombe un voyageur. Courbe rouge : densité e^−t/m/m. Courbe violette : densité t·e^−t/m/m², deux fois plus longue en moyenne.

intervalle moyen m

déjà attendu s

intervalle moyen mesuré (attendu m)—

attente moyenne d'un voyageur—

intervalle où tombe le voyageur (attendu 2m)—

P(T > m) mesurée, contre 1/e = 36,79 %—

P(T > s + m | T > s) mesurée—

intervalles ayant dépassé s—

Ce qu'il faut retenir. La loi exponentielle est la seule loi continue sans mémoire : avoir déjà attendu s minutes ne rapproche pas le bus, la probabilité de patienter encore m minutes reste 1/e. Et le voyageur tombe plus facilement dans les longs intervalles, qui occupent plus de temps : en moyenne il tombe dans un intervalle de 2m et attend m. C'est le paradoxe de l'inspection, qu'Erlang rencontrait déjà en 1909 avec les appels téléphoniques.

Planche 5 · signature

Une épidémie sur le fil : deux questions, une seule équation

Un malade contamine un nombre aléatoire de personnes, en moyenne R₀ (le « taux de reproduction »). Si les contacts sont nombreux et chacun peu risqué, ce nombre suit la loi de Poisson de la planche 2 : P(k contaminés) = e^−R₀R₀^k/k!. Deux questions se posent : l'épidémie va-t-elle démarrer ? et, si oui, quelle part de la population touchera-t-elle ? L'exponentielle répond aux deux… par la même équation.

Chaque malade engendre ses propres contaminés, génération après génération : c'est un arbre de contagion. La chaîne peut s'éteindre par malchance, même si R₀ > 1. La probabilité q d'extinction vérifie q = e^R₀(q−1) : pour que la chaîne s'éteigne, il faut que chacun des enfants du premier malade lance une chaîne qui s'éteint, et la moyenne de q^k sous la loi de Poisson vaut justement e^R₀(q−1).

Une chaîne de contagion, génération par génération (de haut en bas). On arrête le dessin au-delà de 400 cas : l'épidémie a « décollé ».

Courbe bleue : y = e^R₀(x−1). L'escalier rouge, parti de 0, donne la probabilité d'extinction avant chaque génération ; il s'arrête sur le premier point fixe q (vert).

R₀

q théorique (dichotomie)—

part des chaînes éteintes—

enfants par malade, mesuré—

P(0 enfant) mesuré, contre e^(−R₀)—

cette chaîne—

Dans une population de 1 000 personnes, on rejoue l'épidémie complète (modèle de Reed et Frost : à chaque génération, chaque malade peut contaminer chaque personne encore saine avec la probabilité R₀/1000, puis guérit). L'histogramme des tailles finales est coupé en deux : soit l'épidémie avorte tout de suite, soit elle touche une proportion z bien précise, solution de 1 − z = e^−R₀z (Kermack et McKendrick, 1927).

Proportion finale de malades sur 400 épidémies simulées. Trait rouge : la proportion z prédite par l'équation. Trait gris : le seuil d'immunité collective 1 − 1/R₀.

R₀

z prédit par 1 − z = e^(−R₀z)—

taille moyenne des grandes épidémies—

part des épidémies qui décollent—

1 − q (planche précédente)—

immunité collective 1 − 1/R₀—

Posons z = 1 − q dans l'équation d'extinction : q = e^R₀(q−1) devient 1 − z = e^−R₀z. La probabilité qu'une épidémie démarre est égale à la proportion de la population qu'elle finira par toucher. Ci-dessous, les deux courbes sont calculées par deux algorithmes différents (itération de l'escalier pour q, méthode de Newton pour z) et se superposent ; les points sont les mesures des deux onglets précédents.

Bleu : 1 − q, probabilité de décollage. Rouge pointillé : z, taille finale. Gris : immunité collective 1 − 1/R₀. Ronds bleus : décollages mesurés (onglet 1). Carrés rouges : tailles mesurées (onglet 2).

R₀

1 − q (itération)—

z (Newton)—

écart max sur R₀ de 1,05 à 4—

dépassement z − (1 − 1/R₀)—

Ce qu'il faut retenir. Sous le seuil R₀ = 1, toute chaîne finit par s'éteindre. Au-dessus, l'épidémie peut avorter par chance, et sinon elle touche une proportion z qui dépasse nettement le seuil d'immunité collective : pour R₀ = 2, l'immunité collective est atteinte à 50 %, mais l'élan de l'épidémie l'emporte jusqu'à 79,68 %. Les deux nombres, probabilité de démarrage et taille finale, sortent du même e^−R₀z : la loi de Poisson, donc le nombre e, relie le destin d'un seul malade à celui de toute la population.

Quelques dates

1614John Napier publie ses tables de logarithmes, construites pour faciliter les calculs astronomiques ; e y est présent sans être nommé.
1647Grégoire de Saint-Vincent montre que les aires sous l'hyperbole croissent en progression arithmétique quand les abscisses croissent en progression géométrique (planche 1).
1645–1692Torricelli calcule la longueur finie de la spirale logarithmique ; Jacob Bernoulli, fasciné, la baptise spira mirabilis et demande qu'on la grave sur sa tombe (planche 3).
1683Jacob Bernoulli étudie les intérêts composés et rencontre la limite de (1 + 1/n)ⁿ.
1690Leibniz, dans une lettre à Huygens, note ce nombre b : premier symbole connu.
1728–1748Euler adopte la lettre e, puis publie dans l'Introductio ses premières décimales et sa série Σ 1/k!.
1837Siméon Denis Poisson publie la loi qui porte son nom, limite des événements rares (planches 2 et 5).
1873Charles Hermite démontre que e est transcendant : il n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers.
1909Agner Erlang modélise les appels téléphoniques par des attentes exponentielles (planche 4).
1927Kermack et McKendrick établissent l'équation de la taille finale d'une épidémie (planche 5).

En résumé

Une aire

e est l'abscisse où l'aire sous 1/x, comptée depuis 1, vaut 1. Cette aire change les produits en sommes : c'est le logarithme népérien.

Un hasard

Un événement rare répété souvent produit e : 1/e des cases restent vides, 1/e des attentes dépassent la moyenne, et la loi de Poisson e⁻¹/k! organise tout.

Une forme

La spirale r = a·e^kθ est la seule courbe qu'une rotation se contente d'agrandir. Son angle constant vient de ce que e^x est sa propre dérivée.

Pour aller plus loin

Pourquoi 1/e dans les cases vides et dans l'autobus ? Dans les deux cas, on découpe une chance totale fixe en un grand nombre de petites chances indépendantes. Le produit (1 − x/n)ⁿ tend vers e^−x : c'est la même limite que celle des intérêts composés, prise avec un signe moins.

La spirale et les nombres complexes. Dans le plan complexe, la spirale s'écrit z(θ) = a·e^(k+i)θ. Multiplier par e^(k+i)φ fait à la fois tourner de φ et agrandir de e^kφ : c'est l'auto-similarité de la planche 3 en une seule multiplication.

L'équation de la taille finale ne dépend pas de la durée de la maladie : elle reste vraie dans les modèles continus (SIR) pour une population homogène. En revanche, la probabilité d'extinction dépend de la loi du nombre d'enfants : avec une loi de Poisson elle coïncide avec la taille finale, ce qui n'est plus le cas pour une autre loi.

Pages voisines : Le nombre e (première page : dérangements, irrationalité, Stirling, tour infinie), Les fonctions exponentielles, Les logarithmes, Les nombres remarquables, La loi normale.