L'équation de Laplace et les fonctions de Bessel
Une seule équation, ΔF = 0, décrit l'équilibre : la température qui ne bouge plus, le potentiel électrique dans le vide, un film de savon tendu. Posée dans un cylindre, elle fait naître une famille de fonctions nouvelles, celles de Bessel, qu'on retrouve ensuite dans les tambours, les ondes radio et la lumière.
Ce que dit l'équation
Le laplacien d'une fonction F, noté ΔF, est la somme de ses dérivées secondes dans toutes les directions :
Une dérivée seconde mesure la courbure : positive, la fonction est « en creux » ; négative, elle est « en bosse ». Demander que la somme soit nulle, c'est demander que tout creux soit compensé par une bosse : si la surface se creuse dans une direction, elle se bombe d'autant dans l'autre. Les solutions s'appellent des fonctions harmoniques. Elles n'ont ni sommet ni fond à l'intérieur du domaine : tout est dicté par le bord.
La forme du domaine décide des fonctions qui apparaissent quand on cherche des solutions « séparées », produits de fonctions d'une seule variable :
| Domaine | Coordonnées | Solutions élémentaires de ΔF = 0 |
|---|---|---|
| rectangle | (x, y) | sin(kx) · sinh(ky) |
| disque (plan) | (r, θ) | rⁿ cos(nθ), rⁿ sin(nθ) |
| cylindre (espace) | (r, θ, z) | Jn(kr) cos(nθ) e−kz |
| couronne, tube creux | (r, θ, z) | Jn(kr) et Yn(kr) |
| boule | (r, θ, φ) | rˡ · polynômes de Legendre |
Une précision importante : dans le disque plat, les fonctions de Bessel n'apparaissent pas encore (planche 2, on n'y trouve que des puissances rⁿ). Elles surgissent dès qu'une troisième direction entre en jeu : la hauteur z d'un cylindre (planche 4), ou le temps d'une membrane qui vibre (planche 5).
La moyenne des voisins
Question : que signifie concrètement ΔF = 0 ? Réponse : en tout point, F vaut exactement la moyenne de ses valeurs sur n'importe quel cercle centré en ce point (et contenu dans le domaine). C'est la propriété de la moyenne, découverte par Gauss.
Déplacez le cercle sur la carte, changez son rayon et la fonction. Pour une fonction harmonique, la moyenne sur le cercle (trait bleu à droite) coïncide avec la valeur au centre (trait rouge). Pour une fonction qui n'est pas harmonique, l'écart est prévisible : pour un petit cercle de rayon r, il vaut ΔF · r²/4 ; pour F = sin x · sin y, il fait apparaître… une fonction de Bessel.
Le disque, un filtre qui efface les détails
Question : on impose une température g(θ) sur le bord d'une plaque circulaire de rayon 1 ; quelle température règne à l'intérieur, une fois l'équilibre atteint ? C'est le problème de Dirichlet : trouver u harmonique dans le disque, égale à g sur le bord.
En coordonnées polaires (r, θ), on cherche des solutions de la forme R(r) · Θ(θ). L'angle impose Θ = cos(nθ) ou sin(nθ) (il faut revenir au point de départ après un tour), et l'équation radiale r²R″ + rR′ − n²R = 0 donne R = rⁿ (la solution r⁻ⁿ, infinie au centre, est écartée). On décompose donc le bord en série de Fourier, et chaque harmonique entre dans le disque en s'atténuant comme rⁿ :
Les fonctions de Bessel : des cosinus qui s'essoufflent
Question : que se passe-t-il quand on ajoute la hauteur z ? Dans un cylindre, on essaie F = R(r) · cos(nθ) · e−kz. La dérivée seconde en z apporte un terme +k²F, et l'équation radiale devient celle de Bessel :
Comparée à l'équation de la planche 2, un seul terme a changé : ce x² de plus fait osciller les solutions. Divisez par x² : R″ + R′/x + (1 − n²/x²)R = 0. C'est un ressort (R″ + R = 0 donne cos et sin) freiné par un frottement R′/x qui s'affaiblit avec la distance. D'où des ondulations de période presque 2π, dont l'amplitude décroît comme 1/√x. La solution finie au centre s'appelle Jn ; l'autre, Yn, part vers −∞ en 0.
On calcule ici Jn de trois façons indépendantes : par l'intégrale de Bessel Jn(x) = (1/π) ∫0π cos(nτ − x sin τ) dτ, par la série entière, et en intégrant pas à pas l'équation différentielle (Runge-Kutta d'ordre 4).
Le cylindre chauffé par le fond
Question : un cylindre de rayon a = 1 et de hauteur L a son fond maintenu à la température 1 (disons 100 °C), sa paroi et son couvercle à 0. Quelle est la température d'équilibre à l'intérieur ? Tout est symétrique autour de l'axe, donc seul l'ordre n = 0 intervient.
La paroi froide impose J₀(k) = 0 : k ne peut valoir que l'un des zéros j₁ = 2,4048…, j₂ = 5,5201…, trouvés en planche 3. Le couvercle froid remplace l'exponentielle par un sinus hyperbolique. On obtient une série de Fourier-Bessel, cousine de la série de Fourier du disque :
Signature — le tambour, sa voix, et la radio
Question : pourquoi un tambour ne joue-t-il pas une note nette, alors qu'une corde le fait ? Une membrane circulaire fixée sur son bord vibre selon des modes u = Jn(jn,k r) cos(nθ) cos(ωt), qui vérifient Δu + j²u = 0 dans le plan. Et voici le lien avec Laplace : multipliez un mode de tambour par e−jz, vous obtenez une fonction harmonique de l'espace. C'est exactement la solution de la planche 4.
En modulation de fréquence, l'émetteur envoie cos(ωct + β sin ωmt) : la phase de la porteuse ωc est poussée d'avant en arrière au rythme du message ωm. Le spectre de ce signal est fait de raies espacées de ωm, et l'amplitude de la raie numéro n vaut exactement Jn(β) (développement de Jacobi-Anger). On le vérifie en analysant le signal par transformée de Fourier discrète, et en comparant à la série entière de Jn.
Repères historiques
- 1732Daniel Bernoulli étudie les oscillations d'une chaîne pesante suspendue par un bout. La forme de ses modes est, sans qu'il la nomme, la fonction J₀ ; il remarque que l'équation des fréquences a une infinité de racines.
- 1764Euler met en équation la vibration d'une membrane de tambour et retrouve la même équation que Bernoulli.
- 1782Laplace montre que le potentiel de gravitation d'un corps vérifie, hors de ce corps, l'équation qui portera son nom.
- 1787Chladni saupoudre de sable des plaques vibrantes : le sable se rassemble sur les lignes nodales, celles de la planche 5.
- 1822Fourier, dans sa Théorie analytique de la chaleur, décompose des températures en séries et traite le refroidissement d'un cylindre avec la fonction J₀.
- 1824Bessel, astronome à Königsberg, étudie systématiquement ces fonctions pour calculer les perturbations des orbites planétaires. Elles prennent son nom.
- 1877Lord Rayleigh, dans sa Théorie du son, explique les fréquences non harmoniques des tambours et le rôle de l'air qui les rapproche chez les timbales.
- 1933Armstrong brevette la radio à modulation de fréquence, dont le spectre est entièrement décrit par les fonctions de Bessel.
En résumé
Laplace, c'est l'équilibre
ΔF = 0 signifie que chaque point vaut la moyenne de ses voisins. Pas de maximum caché à l'intérieur : tout est dicté par le bord.
La forme choisit les fonctions
Rectangle : sinus. Disque plat : puissances rⁿ. Cylindre, ou disque qui vibre : fonctions de Bessel, qui oscillent en s'amortissant comme 1/√x.
Les zéros font la physique
Les zéros de Jn fixent la pénétration de la chaleur, les notes du tambour, l'extinction d'une porteuse FM — et la tache d'Airy des télescopes, via J₁.
Pour aller plus loin
Les fonctions de Bessel modifiées. Si l'on échange les rôles, avec une variation sinusoïdale en hauteur, cos(kz), l'équation radiale perd son signe : ses solutions In et Kn ne bougent plus qu'en croissant ou en décroissant, comme sinh et cosh. Elles décrivent par exemple l'effet de peau dans un fil parcouru par un courant alternatif.
La couronne et le tube creux. Quand le centre n'appartient pas au domaine, rien n'interdit Yn : les solutions combinent Jn et Yn, comme dans un câble coaxial.
La boule. En coordonnées sphériques, les solutions séparées de Laplace font apparaître les polynômes de Legendre et les harmoniques sphériques ; les fonctions de Bessel « sphériques », jl(x) = √(π/2x) Jl+1/2(x), servent aux ondes dans une sphère.
Le problème de Kepler. La motivation de Bessel : l'anomalie excentrique E d'une planète, liée au temps par M = E − e sin E, se développe en série de Fourier dont les coefficients sont 2Jn(ne)/n.
La lumière. À travers une ouverture circulaire de diamètre D, l'intensité diffractée vaut (2J₁(x)/x)² ; son premier zéro, 3,8317, donne le facteur 1,22 du pouvoir séparateur 1,22 λ/D.
Entendre la forme d'un tambour ? Mark Kac a demandé en 1966 si les fréquences d'une membrane suffisent à retrouver sa forme. Réponse négative en 1992 (Gordon, Webb et Wolpert) : deux membranes de formes différentes peuvent sonner exactement pareil.