Lagrange et la résolution algébrique des équations
En 1770-1771, Joseph-Louis Lagrange relit toutes les méthodes connues pour résoudre les équations du 2ᵉ, du 3ᵉ et du 4ᵉ degré et découvre qu'elles reposent sur un seul ressort : compter combien de valeurs prend une expression des racines quand on les échange. Cinq planches pour voir ce ressort fonctionner, puis se briser au 5ᵉ degré.
L'idée de Lagrange en une phrase
Une équation de degré n a n racines x₁, x₂, …, xₙ. Ses coefficients sont des fonctions symétriques des racines, c'est-à-dire des expressions qui ne changent pas quand on échange les racines entre elles (par exemple x₁ + x₂ + x₃ ou x₁x₂x₃). Résoudre l'équation, c'est remonter des coefficients aux racines, donc « briser la symétrie ».
Lagrange cherche pour cela une expression intermédiaire des racines, qu'on appellera résolvante, qui ne prend qu'un petit nombre de valeurs quand on permute les racines de toutes les manières possibles. Si elle prend k valeurs, ces k valeurs sont les racines d'une équation auxiliaire de degré k dont les coefficients se calculent à partir des coefficients de départ. Tant que k est plus petit que n, on a gagné.
| Degré | Permutations des racines | Résolvante utilisée | Nombre de valeurs | Équation auxiliaire | Planche |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | (x₁ − x₂)² | 1 | aucune : c'est le discriminant | 1 |
| 3 | 6 | (x₁ + ωx₂ + ω²x₃)³ | 2 | du 2ᵉ degré | 3 |
| 4 | 24 | x₁x₂ + x₃x₄ | 3 | du 3ᵉ degré | 4 |
| 5 | 120 | (x₁ + ζx₂ + ζ²x₃ + ζ³x₄ + ζ⁴x₅)⁵ | 24 | du 24ᵉ degré, réductible au 6ᵉ : plus haut que 5 | 5 |
ω désigne une racine cubique de l'unité (ω³ = 1, ω ≠ 1) et ζ une racine cinquième de l'unité. Le nombre de permutations de n racines est n! = 1 × 2 × … × n.
Le second degré : ce que cache le « ± »
L'idée : dans x = (s ± √Δ)/2, le signe ± n'est rien d'autre que l'échange des deux racines. Lagrange le lit ainsi : la différence x₁ − x₂ change de signe quand on échange les racines (elle prend deux valeurs), mais son carré (x₁ − x₂)² n'en prend qu'une. Une expression qui ne prend qu'une valeur est symétrique, donc calculable à partir des coefficients : c'est le discriminant Δ = s² − 4P, où s = x₁ + x₂ et P = x₁x₂.
(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = s² − 4P = Δ ⟹ x₁ − x₂ = √Δ, x₁ = (s + √Δ)/2
L'expérience : faites glisser les deux racines dans le plan complexe, puis échangez-les progressivement en les faisant tourner autour de leur milieu. Pendant que la différence x₁ − x₂ (flèche rouge) fait un demi-tour, son carré fait un tour complet et revient exactement à son point de départ.
Compter les valeurs d'une expression des racines
L'idée : prenez une expression des racines, par exemple x₁x₂ + x₃x₄, et appliquez-lui toutes les permutations possibles des racines (on remplace x₁ par x₂, x₂ par x₁, etc.). Combien de valeurs différentes obtient-on ? Lagrange démontre en 1771 que ce nombre divise toujours n!, parce que les permutations se rangent en paquets de même taille : chaque valeur est obtenue par autant de permutations que celles qui laissent l'expression inchangée.
(nombre de valeurs) × (nombre de permutations qui ne changent pas l'expression) = n!
C'est la première forme de ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème de Lagrange en théorie des groupes. L'expérience : chaque tuile est une permutation, écrite comme la liste des racines mises à la place de x₁, x₂, … ; sa couleur est celle de la valeur obtenue. Faites glisser le curseur pour ranger les tuiles par valeur.
Le troisième degré : la résolvante qui ne prend que deux valeurs
L'idée : pour x³ + px + q = 0 (on peut toujours se ramener à cette forme, où x₁ + x₂ + x₃ = 0), Lagrange forme la combinaison t = x₁ + ωx₂ + ω²x₃, où ω = −1/2 + i√3/2 est une racine cubique de l'unité. En permutant les racines, t prend 6 valeurs ; mais son cube t³ n'en prend que 2, car une permutation circulaire multiplie simplement t par ω ou ω², ce que le cube efface.
t³ et s³ sont les racines de z² + 27q z − 27p³ = 0, puis x₁ = (t + s)/3 avec t·s = −3p
On retrouve exactement la formule de Cardan (1545), mais on comprend enfin pourquoi elle marche : l'équation auxiliaire est du 2ᵉ degré parce que t³ prend 2 valeurs. L'expérience : réglez p et q ; la page parcourt les 6 permutations, montre les poids 1, ω, ω² posés sur les racines, et suit la valeur de t et de t³.
Le quatrième degré : une expression à trois valeurs
L'idée : quatre racines peuvent être réparties en deux paires de trois façons seulement : {x₁x₂ | x₃x₄}, {x₁x₃ | x₂x₄}, {x₁x₄ | x₂x₃}. L'expression y = x₁x₂ + x₃x₄ ne dépend que de la répartition, donc elle ne prend que 3 valeurs sur les 24 permutations. Ces trois valeurs sont racines d'une équation du 3ᵉ degré, que l'on sait résoudre (planche 3). C'est le secret de la méthode de Ferrari (1540).
Pour x⁴ + ax³ + bx² + cx + d : y³ − b y² + (ac − 4d) y − (a²d − 4bd + c²) = 0
Une fois les trois valeurs y₁, y₂, y₃ connues, on forme θᵢ = a² − 4b + 4yᵢ, qui vaut le carré de (somme d'une paire − somme de l'autre paire), et les racines s'écrivent x = (−a ± √θ₁ ± √θ₂ ± √θ₃)/4, les signes étant liés par √θ₁·√θ₂·√θ₃ = −a³ + 4ab − 8c. L'expérience : réglez les coefficients et regardez les 24 permutations tomber sur trois points seulement.
Le mur du cinquième degré
Lagrange applique sa méthode à l'équation du 5ᵉ degré et constate qu'elle échoue : l'équation auxiliaire est plus compliquée que l'équation de départ. Il écrit qu'il doute qu'on puisse résoudre ainsi les équations au-delà du 4ᵉ degré. Les deux onglets montrent l'échec, puis sa raison profonde.
L'idée : la généralisation naturelle de la planche 3 est t = x₁ + ζx₂ + ζ²x₃ + … + ζⁿ⁻¹xₙ, où ζ est une racine n-ième de l'unité. Le calcul montre que t prend n! valeurs et tⁿ en prend (n − 1)! : 1, 2, 6, puis 24. Au 4ᵉ degré, l'équation de degré 6 se ramène encore à une équation du 3ᵉ degré ; au 5ᵉ, Lagrange ne parvient à ramener l'équation de degré 24 qu'au 6ᵉ degré, plus haut que 5.
L'idée : d'après la planche 2, une expression de n racines prend un nombre de valeurs qui divise n!. Mais tous les diviseurs sont-ils possibles ? La page cherche tous les ensembles de permutations qui peuvent laisser une expression inchangée (ce sont les sous-groupes du groupe des permutations), en les engendrant par deux permutations de toutes les façons possibles. Le nombre de valeurs correspondant est n! divisé par leur taille.
Pour 3 et 4 racines, les nombres 2 et 3 sont atteints : il existe des résolvantes utiles. Pour 5 racines, aucune expression ne prend 3 ou 4 valeurs (ni 8, d'ailleurs) : après 1 et 2 (la racine carrée du discriminant), le plus petit nombre de valeurs possible est 5. C'est le résultat de Ruffini (1799), démontré proprement par Cauchy (1815), et la raison profonde de l'échec de Lagrange.
De Cardan à Galois
Le changement de regard
Avant Lagrange, on cherchait des astuces de calcul. Après lui, on étudie comment les expressions des racines se comportent quand on permute les racines : la résolution devient une question de symétries.
Le compte des valeurs
Une expression de n racines prend un nombre de valeurs qui divise n!. Les méthodes classiques marchent parce qu'elles trouvent des expressions à 1, 2 ou 3 valeurs : (x₁ − x₂)², t³, x₁x₂ + x₃x₄.
Le trou du 5ᵉ degré
Pour cinq racines, aucune expression ne prend 3 ou 4 valeurs. La méthode ne peut plus abaisser le degré : c'est le point de départ de Ruffini, Abel et Galois.
Pour aller plus loin
Le texte original. Les Réflexions sur la résolution algébrique des équations occupent le tome III des Œuvres de Lagrange (éd. Serret, 1869), disponibles sur Gallica. Lagrange y consacre une section à chaque degré et une dernière aux conclusions générales, où apparaît la divisibilité de n! par le nombre de valeurs.
Le vocabulaire moderne. Les permutations qui laissent une expression inchangée forment un sous-groupe du groupe symétrique Sₙ ; le nombre de valeurs est l'indice de ce sous-groupe. La planche 2 illustre donc le théorème de Lagrange sur les groupes finis, dont la réciproque est fausse : le groupe A₄ d'ordre 12 n'a pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir la page sur les structures algébriques).
Ce que la planche 5 ne démontre pas. L'absence d'expression à 3 ou 4 valeurs montre que la méthode de Lagrange ne peut pas abaisser le degré ; elle ne prouve pas à elle seule qu'aucune formule par radicaux n'existe. La démonstration complète (Abel) et le critère général (Galois : le groupe de l'équation doit être résoluble, ce que S₅ n'est pas, car son sous-groupe A₅ de 60 éléments est simple) vont plus loin.
Des équations du 5ᵉ degré résolubles. Certaines le sont : x⁵ − 2 = 0, ou x⁵ − 5x + 12 = 0, dont le groupe n'a que 10 éléments. L'impossibilité ne concerne que l'équation générale.