Que veut dire « résolu » ?
Prouver ou réfuter
Prouver une conjecture, c’est établir qu’elle est vraie dans tous les cas annoncés. Réfuter, c’est construire un contre-exemple : un seul cas suffit à démentir une affirmation universelle.
Annonce, relecture et vérification
Une prépublication rend une preuve publique avant son éventuelle acceptation en revue. Lean vérifie une preuve formelle d’un énoncé précis ; il faut aussi contrôler que cet énoncé correspond bien à la question d’origine.
Murty–Simon : un réseau sans liaison superflue
Preuve annoncée · 28 octobre 2026Un graphe est un ensemble de sommets reliés par des arêtes. Son diamètre est la plus grande distance entre deux sommets, mesurée en nombre d’arêtes du plus court chemin.
Ici, tout sommet doit être accessible depuis n’importe quel autre en au plus deux étapes. De plus, chaque arête est indispensable : la supprimer fait dépasser ce diamètre, ou déconnecte le graphe.
La conjecture affirme que le nombre d’arêtes ne dépasse pas :
Le maximum est atteint par un graphe biparti complet équilibré : on partage les sommets en deux groupes aussi égaux que possible et l’on relie chaque sommet d’un groupe à tous ceux de l’autre.
Construire le cas maximal
Pourquoi le produit donne-t-il n²/4 ?
Si les groupes ont a et b sommets, il y a a × b arêtes. Avec a + b = n, ce produit est maximal quand a et b sont aussi proches que possible. Pour n = 8 : 4 × 4 = 16. Après suppression d’une arête dans cet exemple, ses extrémités ont une distance de 3.
Résultat récent : Sanjana Das et Jacob Fox présentent une preuve pour tous les n concernés, y compris le cas d’égalité. Leur résumé attribue à une IA la première preuve de la borne ; les auteurs l’ont simplifiée et ont étendu l’argument à la conjecture complète. Article original.
Erdős–Szemerédi : les ensembles finissent par fleurir
Preuve annoncée · 19 octobre 2026Un tournesol à k pétales est une collection de k ensembles distincts dont toutes les intersections deux à deux sont identiques. Cette partie commune est le cœur ; les parties restantes sont disjointes.
Schéma des ensembles A, B et C ; les contours sont une illustration, pas une mesure de leur taille.
A = {1, 2, 3}B = {1, 4, 5}C = {1, 6, 7}
Un ensemble de n éléments possède 2n sous-ensembles. Quelle quantité peut-on en choisir sans jamais former un tournesol à k pétales ?
Le résultat annoncé dit que, pour chaque k ≥ 3 fixé, il existe une constante ck < 2 telle qu’une famille sans tournesol contient au plus ckn ensembles.
La proportion parmi les 2n possibilités est donc au plus (ck/2)n : elle tend vers zéro quand n augmente.
Une différence entre deux conjectures
La conjecture d’Erdős–Szemerédi porte ici sur les sous-ensembles d’un univers de n éléments. La conjecture d’Erdős–Rado, voisine mais différente, étudie les familles d’ensembles de taille fixée. Le résultat présenté ne doit pas être annoncé comme une résolution des deux problèmes.
Résultat récent : Matija Bucić, Fankang He et Hyunwoo Lee annoncent la preuve pour chaque k ≥ 3. Le cas à trois pétales était déjà connu. Article original.
Distances unitaires : combien de paires à distance 1 ?
Conjecture réfutée · annonce du 20 mai 2026Placez n points dans le plan et comptez les paires dont la distance vaut exactement 1. On note u(n) le plus grand nombre de telles paires possible, parmi toutes les configurations.
Sur une ligne régulièrement espacée, on obtient n − 1 paires. Une grille carrée offre davantage de voisinages.
Erdős conjecturait une croissance n1+o(1) : pour tout ε > 0, le maximum finirait par être inférieur à n1+ε.
La construction annoncée donne, pour une infinité de n, au moins n1+δ paires, avec un δ > 0 fixe. C’est incompatible avec la conjecture.
Compter sur des exemples simples
Les segments colorés mesurent 1. L’unité est représentée par un espacement de la grille. Ces exemples élémentaires ne sont pas la construction récente.
Pourquoi n puissance 1,014 est-il différent de n puissance 1 + o(1) ?
Dans n1+o(1), le supplément dans l’exposant tend vers zéro. Dans n1,014, le supplément 0,014 reste constant. Même petit, il finit par dépasser tout supplément qui tend vers zéro. L’annonce cite une amélioration de Will Sawin permettant δ = 0,014.
Attribution et contrôle : OpenAI a annoncé une construction obtenue par un modèle interne et vérifiée par un groupe de mathématiciens extérieurs. L’argument fait intervenir la théorie algébrique des nombres. Annonce, preuve et commentaires des mathématiciens.
Des factorielles qui se divisent exactement
Preuve formalisée · exposé du 12 janvier 2026La factorielle n! est le produit 1 × 2 × … × n. Par exemple 5! = 120. Le symbole A ∣ B signifie que B est un multiple entier de A.
Le résultat porte sur des solutions où l’écart k = a + b − n est de taille logarithmique. Pour toutes constantes 0 < C₁ < C₂, il existe une infinité de triplets satisfaisant la divisibilité et :
L’idée : comparer les facteurs premiers
Un entier divise un autre si chacun de ses facteurs premiers y apparaît avec un exposant inférieur ou égal. Ainsi, 12 = 2² × 3 divise 60 = 2² × 3 × 5.
La preuve utilise des coefficients binomiaux et le théorème de Kummer : certaines puissances de nombres premiers se calculent en comptant les retenues d’une addition dans la base correspondante.
Un laboratoire de divisibilité exacte
Fixons n = 2m, a = b = m + k. Alors a + b − n = 2k.
Calcul en entiers exacts (BigInt), sans arrondi. Exemple initial : 4! × 4! divise 6! × 2!, le quotient vaut 5/2 : la divisibilité échoue.
Ce qui a été vérifié avec Lean
Le résultat est issu d’un travail utilisant GPT‑5.2 Pro et Aristotle, pilotés par Kevin Barreto. Nat Sothanaphan a rédigé un exposé mathématique de la preuve formelle pour en faciliter la lecture. Une vérification formelle complète le travail d’explication ; elle ne remplace pas une présentation intelligible des idées.
Ce qu’il faut retenir
| Problème | Nature du résultat | Limite à garder en tête |
|---|---|---|
| Murty–Simon | Preuve générale annoncée | Prépublication du 28 octobre |
| Tournesols Erdős–Szemerédi | Preuve annoncée pour tout k ≥ 3 | Distinct d’Erdős–Rado |
| Distances unitaires | Réfutation d’une conjecture | Maximum exact toujours à déterminer |
| Factorielles nº 728 | Théorème avec preuve formalisée | Les essais numériques ne suffisent pas à le prouver |
Le point commun : un énoncé simple peut cacher une preuve profonde. Une figure aide à comprendre la question ; une expérience suggère une réponse ; une démonstration établit le résultat général.
Sources et mode d’emploi
État des informations : 31 octobre 2026. Les liens donnent accès aux textes associés aux annonces. Les statuts peuvent évoluer après cette date.
- Das et Fox — A proof of the Murty–Simon conjecture on diameter-2-critical graphs, 28 octobre 2026.
- Bucić, He et Lee — Proof of the Erdős–Szemerédi sunflower conjecture, 19 octobre 2026.
- OpenAI — An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry, 20 mai 2026 ; liens vers la preuve et les commentaires extérieurs.
- Sothanaphan — Resolution of Erdős Problem #728: a writeup of Aristotle’s Lean proof, 12 janvier 2026.
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