L'homomorphisme
Une application qui traduit un mode de calcul dans un autre en respectant les opérations : calculer puis traduire, ou traduire puis calculer, mène exactement au même résultat.
L'idée en une phrase, puis la formule
Idée. Un homomorphisme (ou simplement morphisme) est une traduction fidèle aux règles de calcul : ce qui se combine au départ se combine de la même manière à l'arrivée.
Le décor. On se donne deux ensembles munis chacun d'une loi de composition interne, c'est-à-dire d'une règle qui, à deux éléments, en associe un troisième du même ensemble : la loi ∗ sur G, la loi ∘ sur H. Le plus souvent ce sont des groupes : la loi est associative, possède un élément neutre (noté e dans G, e′ dans H) et chaque élément a un symétrique.
Une seule égalité suffit : on démontre ensuite que le neutre va sur le neutre, f(e) = e′, et le symétrique sur le symétrique, f(x⁻¹) = f(x)⁻¹. Six exemples serviront de fil conducteur dans les planches :
| Départ | Arrivée | Application | Ce que devient la loi | Planche |
|---|---|---|---|---|
| (ℝ, +) | (ℝ*₊, ×) | x ↦ eˣ | l'addition devient multiplication | 1, 2 |
| (ℝ*₊, ×) | (ℝ, +) | x ↦ ln x | la multiplication devient addition (logarithmes) | 1 |
| (ℤ, +) | (ℤ/12ℤ, +) | reste modulo 12 | compter les heures sur un cadran | 1, 5 |
| (GL₂(ℝ), ×) | (ℝ*, ×) | déterminant | composer deux transformations multiplie les aires | 3 |
| (𝕌, ×) | (𝕌, ×) | z ↦ zᵏ | tourner k fois plus vite sur le cercle | 4 |
| (ℤ, +, ×) | (ℤ/9ℤ, +, ×) | reste modulo 9 | la preuve par neuf (deux lois respectées) | 5 |
ℝ*₊ : réels strictement positifs ; ℝ* : réels non nuls ; ℤ/nℤ : restes de la division par n ; GL₂(ℝ) : matrices 2 × 2 inversibles ; 𝕌 : nombres complexes de module 1 (le cercle unité).
Les deux chemins : calculer puis traduire, ou traduire puis calculer ?
Le carré ci-dessous est la définition dessinée. Le jeton bleu calcule d'abord dans G puis traduit ; le jeton orange traduit d'abord puis calcule dans H. Un homomorphisme, c'est un carré où les deux jetons arrivent toujours au même nombre. Essayez aussi les trois candidats qui échouent.
L'exponentielle : des pas égaux deviennent des facteurs égaux
Avec f(x) = bˣ, chaque pas +a sur la droite du haut devient une multiplication × bᵃ sur la droite du bas : une progression arithmétique est traduite en progression géométrique. Et comme un morphisme respecte tout, il suffit de connaître f(1) = b pour reconstruire le reste.
Le déterminant : composer deux transformations, c'est multiplier les aires
Une matrice 2 × 2 transforme le carré unité en parallélogramme. Son déterminant est l'aire de ce parallélogramme, comptée négativement si la figure est retournée. Le déterminant est un morphisme de (GL₂(ℝ), ×) vers (ℝ*, ×) : det(AB) = det A × det B. Les aires sont ici mesurées sur le dessin (formule du lacet), pas tirées de la formule ad − bc.
Noyau, image, fibres : ce que le morphisme écrase
Sur le cercle unité 𝕌 des nombres complexes de module 1, multiplier revient à additionner les angles. L'application z ↦ zᵏ multiplie l'angle par k : c'est un morphisme de (𝕌, ×) dans lui-même. Le noyau est l'ensemble des points envoyés sur le neutre 1 ; la fibre d'un point w est l'ensemble de ses antécédents.
Oublier pour vérifier : le reste modulo m et la preuve par neuf
L'application « reste de la division par m » envoie ℤ sur les m heures d'un cadran. Elle respecte deux lois à la fois, l'addition et la multiplication : c'est un morphisme d'anneaux. Elle oublie presque tout d'un nombre — et c'est précisément ce qui la rend utile pour contrôler un calcul.
| Type d'erreur | essais | détectées par 9 | détectées par 11 | par 9 ou 11 | échecs prévus par le noyau (9 / 11) | accord |
|---|---|---|---|---|---|---|
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Le vocabulaire de la famille des morphismes
Selon les propriétés de f : G → H, le morphisme reçoit un nom plus précis. Chaque terme est illustré par un exemple des planches.
Monomorphisme
Morphisme injectif : deux éléments distincts ont des images distinctes. Équivaut à ker f = {e}.
Exemple : x ↦ 3x ; contre-exemple : z ↦ z³ (planche 4).
Épimorphisme
Morphisme surjectif : tout élément de H possède au moins un antécédent.
Exemple : le reste modulo m, de ℤ sur ℤ/mℤ (planche 5).
Isomorphisme
Morphisme bijectif. Sa réciproque est automatiquement un morphisme : les deux structures sont « la même » sous deux habits.
Exemple : exp et ln entre (ℝ, +) et (ℝ*₊, ×) (planches 1 et 2).
Endomorphisme
Morphisme d'une structure vers elle-même, f : G → G.
Exemple : z ↦ zᵏ sur le cercle 𝕌 (planche 4).
Automorphisme
Endomorphisme bijectif : une symétrie interne de la structure.
Exemple : z ↦ z⁻¹ = z̄, la réflexion du cercle (planche 4, k = −1).
Noyau ker f
Les éléments envoyés sur le neutre de l'arrivée : ker f = f⁻¹({e′}). C'est un sous-groupe (distingué) de G.
Exemples : SL₂(ℝ) pour det, les racines k-ièmes de 1, mℤ.
Image Im f
Les éléments de H effectivement atteints. C'est un sous-groupe de H, et G/ker f ≅ Im f.
Exemple : pour x ↦ |x| sur (ℝ*, ×), l'image est ℝ*₊.
Morphisme d'anneaux
Respecte deux lois : f(x+y) = f(x)+f(y), f(xy) = f(x)f(y), et f(1) = 1.
Exemple : le reste modulo 9, moteur de la preuve par neuf.
Quelques jalons
- 1202Fibonacci décrit dans le Liber abaci la preuve par neuf, héritée des calculateurs indiens et arabes : contrôler un calcul en ne gardant que les restes.
- 1614John Napier publie ses logarithmes : remplacer les multiplications par des additions, le premier grand usage pratique d'un isomorphisme.
- 1821Cauchy, dans son Cours d'analyse, montre que les solutions continues de f(x+y) = f(x)+f(y) sont les x ↦ cx.
- 1870Camille Jordan, Traité des substitutions : il parle d'isomorphisme « holoédrique » (bijectif) et « mériédrique » (ce que nous appelons homomorphisme).
- 1905Georg Hamel construit, grâce à une base de ℝ sur ℚ, des solutions non continues de l'équation de Cauchy : sans continuité, les morphismes de (ℝ, +) peuvent être monstrueux.
- 1927Emmy Noether énonce les théorèmes d'isomorphisme sous leur forme générale et fait du morphisme l'outil central de l'algèbre.
- 1945Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane fondent la théorie des catégories : les objets comptent moins que les flèches qui les relient.
À retenir
Une égalité, deux chemins
f(x ∗ y) = f(x) ∘ f(y) : le carré « calculer / traduire » se referme toujours. De cette seule règle découlent f(e) = e′ et f(x⁻¹) = f(x)⁻¹. Une fonction n'est pas un morphisme toute seule : il faut préciser les deux lois.
Le noyau mesure l'oubli
Toutes les fibres sont des copies du noyau. Noyau réduit au neutre ⟺ injectif. Et en regroupant les éléments par fibres, on retrouve exactement l'image : G/ker f ≅ Im f.
Oublier pour vérifier
Un morphisme vers une structure plus petite donne un contrôle rapide : la preuve par neuf. Il ne voit pas les erreurs qui tombent dans son noyau — d'où l'intérêt de croiser deux morphismes aux noyaux différents.
Pour aller plus loin
- Compter les morphismes. Entre groupes cycliques ℤ/nℤ → ℤ/mℤ, il y en a exactement pgcd(n, m) : un morphisme est fixé par l'image de 1, qui doit être d'ordre divisant n.
- Épimorphisme ≠ surjection, en général. Pour les groupes, les deux notions coïncident. Pour les anneaux, l'inclusion ℤ → ℚ est un épimorphisme (au sens des catégories) sans être surjective.
- Les trois théorèmes d'isomorphisme (Noether) : G/ker f ≅ Im f ; (HN)/N ≅ H/(H ∩ N) ; (G/N)/(M/N) ≅ G/M.
- Morphismes ailleurs qu'en algèbre. Applications linéaires (espaces vectoriels), applications continues (topologie), applications croissantes (ensembles ordonnés) : partout la même idée d'une flèche qui respecte la structure.
- Pages voisines du cahier : lois de composition, structures algébriques (groupes, anneaux, corps), algèbre et théorie des ensembles (morphismes de ℤ/12ℤ dans ℤ/8ℤ, signature d'une permutation), logarithmes.