Histoire des mathématiques

Une histoire des mathématiques

Les mathématiques sont nées de questions très concrètes : arpenter un champ, mesurer la Terre, partager un héritage, prévoir la chute d’un corps, répartir une mise. Pour y répondre, on a inventé des idées générales, et ces idées ont souvent trouvé, des siècles plus tard, des usages que personne n’avait imaginés.

Le fil conducteur : question concrète → idée générale → application inattendue

Une question pratique pousse à inventer une méthode. La méthode, détachée de son problème d’origine, devient une idée générale : elle ne parle plus d’un champ ou d’une pyramide, mais de toutes les figures, de tous les nombres, de toutes les grandeurs qui varient. C’est cette généralité qui lui permet, bien plus tard, de servir ailleurs.

Géométriecomprendre l’espace : formes, distances, angles.

Algèbrecomprendre les relations entre quantités, même inconnues.

Analysecomprendre le changement : vitesses, croissances, accumulations.

Probabilitéscomprendre l’incertitude : calculer avec ce qu’on ne sait pas encore.

Cinq mille ans d’idées. Chaque point est une idée ou une œuvre ; les points creux ne sont pas encore connus à l’année choisie. La dernière ligne (rouge) rassemble des applications modernes, reliées en pointillé à l’idée ancienne dont elles sont issues. L’échelle du temps est comprimée vers le passé (logarithme de la distance à l’an 2100), sinon les trois derniers siècles tiendraient dans quelques pixels. Touchez ou survolez un point pour le lire.

Année2025

Géométrie : idées connues—

Algèbre : idées connues—

Analyse : idées connues—

Probabilités : idées connues—

Applications reliées déjà réalisées—

Délai médian idée → application—

Branche	Question concrète d’origine	Idée générale qui en est sortie	Usage apparu bien plus tard
Géométrie	Retrouver les limites des champs après la crue du Nil ; mesurer la Terre.	Figures, angles, proportions ; la démonstration (Euclide).	Orbites des planètes, cartographie, GPS, images de synthèse.
Algèbre	Calculer des surfaces, partager des héritages, tenir des comptes.	L’inconnue, la lettre, puis les structures (groupes, corps).	Circuits logiques, chiffrement d’Internet, codes correcteurs.
Analyse	Vitesse d’un corps qui tombe ; aire d’une figure courbe.	Limite, dérivée, intégrale, séries de Fourier.	Mécanique céleste, électricité, scanner médical, compression JPEG.
Probabilités	Partager équitablement la mise d’un jeu interrompu.	Espérance, loi des grands nombres, révision des croyances (Bayes).	Assurances, sondages, simulations, filtres anti-pourriel, intelligence artificielle.

À retenir. Les quatre grandes branches ne sont pas des tiroirs séparés : chacune répond à une manière de regarder le monde. Et le temps qui sépare une idée de son usage le plus célèbre se compte souvent en siècles — la lecture « délai médian » ci-dessus le calcule sur les huit exemples de la frise.

La géométrie, pour comprendre l’espace : Ératosthène mesure la Terre

Question concrète : peut-on mesurer la Terre sans en faire le tour ?

Vers −240, Ératosthène, directeur de la bibliothèque d’Alexandrie, apprend qu’à Syène (aujourd’hui Assouan), à midi le jour du solstice d’été, le Soleil éclaire le fond des puits : il est exactement à la verticale. Le même jour, à Alexandrie, plus au nord, un bâton planté verticalement — un gnomon — porte une petite ombre.

L’idée générale est purement géométrique. Le Soleil est si loin que ses rayons arrivent parallèles. Or deux droites parallèles coupées par une troisième forment des angles alternes-internes égaux (deux angles placés en « Z » de part et d’autre de la sécante). L’angle α de l’ombre à Alexandrie est donc aussi l’angle, au centre de la Terre, entre les deux villes. Et l’arc est proportionnel à l’angle :

circonférence = distance Syène–Alexandrie × 360° ÷ α

Rayons du Soleil en orange, parallèles. À Syène, le rayon descend dans le puits et, prolongé, passe par le centre O. À Alexandrie, le gnomon est porté par le rayon terrestre (pointillé gris) ; les deux arcs rouges marquent le même angle α, au sommet du gnomon et au centre de la Terre. Le gnomon est très agrandi pour être visible.

Angle de l’ombre α

Distance Syène–Alexandrie

Longueur d’un stade

Fraction du tour complet—

Circonférence en stades—

Circonférence en kilomètres—

Écart au méridien réel (40 007,9 km)—

Contrôle : angle au centre et angle au gnomon, mesurés sur la figure, moins α—

Contrôle : ombre obtenue en prolongeant le rayon ÷ (h · tan α) − 1—

La valeur du stade est discutée par les historiens : le stade dit égyptien (environ 157,5 m) donne un résultat remarquablement juste, le stade attique (environ 185 m) une erreur d’environ 16 %. Dans les deux cas, la méthode est exacte ; seules les mesures (distance, angle, stade) limitent la précision.

Ce qu’on vient de voir. Une question de voyageur devient un théorème sur les parallèles, valable partout. Deux mille ans plus tard, le même raisonnement — mesurer l’angle entre deux verticales et la distance au sol — sert à Delambre et Méchain (1792–1799) pour mesurer le méridien de Dunkerque à Barcelone et définir le mètre. La géodésie par satellite en est la descendante directe.

L’algèbre, pour comprendre les relations : compléter le carré

Question concrète : connaissant une relation entre des grandeurs, retrouver la grandeur inconnue.

Vers −1800, un scribe babylonien écrit sur une tablette : « J’ai ajouté la surface et le côté de mon carré : trois quarts. » Vers 825, à Bagdad, al-Khwarizmi résout « un carré et dix racines égalent trente-neuf », c’est-à-dire x² + 10x = 39, par une figure. Son livre s’intitule al-jabr (la « remise en place ») : c’est de là que vient le mot algèbre.

La méthode : on coupe le rectangle b·x en deux moitiés, on les accole à deux côtés du carré x², et il manque un petit coin carré de côté b/2. En l’ajoutant des deux côtés de l’égalité, on obtient un grand carré dont on connaît l’aire. En 1591, Viète remplace enfin les nombres par des lettres : une seule formule résout alors toutes les équations de ce type à la fois.

x² + b·x = c ⟺ (x + b/2)² = c + (b/2)² ⟹ x = √(c + b²/4) − b/2

Bleu : le carré x². Violet : le rectangle b·x, coupé en deux bandes de largeur b/2. Rouge : le coin manquant (b/2)², qui complète le grand carré de côté x + b/2.

—

Étapes de la construction

Coefficient b

Second membre c

Coin à ajouter (b/2)²—

Aire du grand carré c + (b/2)²—

Côté du grand carré x + b/2—

Solution x—

Seconde solution, négative (écartée par al-Khwarizmi)—

Contrôle : x² + b·x − c—

Contrôle : écart à la racine trouvée par dichotomie, sans formule—

Ce qu’on vient de voir. L’algèbre ne s’intéresse pas à ce que représente x (un côté, un prix, une durée) mais à la relation qui le lie aux données. Ce changement de point de vue a porté très loin : pour résoudre le troisième degré, Cardan (1545) doit manipuler des racines de nombres négatifs, ancêtres des nombres complexes de l’électricité ; en étudiant quelles équations se résolvent, Galois (1832) invente les groupes, et les corps finis qui en découlent font aujourd’hui fonctionner les codes correcteurs des QR codes et des sondes spatiales.

L’analyse, pour comprendre le changement : la vitesse d’un corps qui tombe

Question concrète : un objet qui tombe va de plus en plus vite ; mais quelle est sa vitesse à un instant précis ?

Une vitesse, c’est une distance divisée par une durée. À un instant, la durée est nulle : la question semble absurde. Galilée (1638) établit que, pendant des secondes successives, un corps qui tombe parcourt des distances proportionnelles à 1, 3, 5, 7… ; au total d = ½ g t², avec g ≈ 9,81 m/s².

Newton et Leibniz (1665–1684) donnent la réponse générale : la vitesse instantanée est ce dont s’approche la vitesse moyenne sur [t₀ ; t₀ + h] quand la durée h devient aussi petite qu’on veut. C’est la dérivée. Réciproquement, la distance parcourue est l’aire sous la courbe des vitesses : c’est l’intégrale.

vitesse moyenne = [d(t₀ + h) − d(t₀)] ÷ h = g·t₀ + g·h/2 ⟶ g·t₀ quand h → 0

Distance parcourue d(t) = ½ g t². Orange : la corde entre t₀ et t₀ + h, dont la pente est la vitesse moyenne. Rouge en pointillé : la tangente en t₀, dont la pente est la vitesse instantanée.

Vitesse v(t) = g t. Les bandes d’une seconde ont des aires 1, 3, 5, 7 fois ½ g : la loi de Galilée est une loi d’aires. Le contour bleu (de 0 à t₀) a pour aire la distance parcourue ; le trait orange est la vitesse moyenne sur [t₀ ; t₀ + h].

Instant t₀

Durée h (échelle log.)

Vitesse moyenne sur [t₀ ; t₀ + h]—

Vitesse instantanée g·t₀—

Écart : moyenne − instantanée—

Écart ÷ h (la théorie annonce g/2 = 4,905)—

Distance parcourue ½ g t₀²—

Contrôle : aire sous v(t) par Simpson − distance—

Distances des secondes 1, 2, 3, 4 ÷ celle de la 1ʳᵉ—

Ce qu’on vient de voir. L’écart entre vitesse moyenne et vitesse instantanée vaut exactement g·h/2 : il disparaît quand h tend vers 0, et la lecture « écart ÷ h » reste collée à 4,905. Inventé pour la chute et les orbites, le calcul différentiel est devenu la langue de tout ce qui change : la chaleur (Fourier, 1822), les circuits électriques, la croissance des populations, les prévisions météorologiques.

Les probabilités, pour comprendre l’incertitude : le problème des partis

Question concrète : comment partager équitablement la mise d’un jeu interrompu ?

En 1654, le chevalier de Méré soumet à Pascal un problème de joueurs. Deux joueurs misent 32 pistoles chacun ; le premier à gagner 3 manches emporte les 64 pistoles. On doit s’arrêter alors que le score est de 2 à 1. Faut-il partager selon le score ? Non, répondent Pascal et Fermat dans leur correspondance : il faut partager selon ce qui aurait pu arriver ensuite.

Fermat compte toutes les suites possibles des manches restantes et regarde qui gagne dans chacune. Pascal raisonne à reculons : la part d’un joueur est la moyenne de ses parts dans les deux situations possibles après la manche suivante. Les deux méthodes donnent 48 pistoles au premier et 16 au second. Cette moyenne des gains possibles, pondérée par leurs chances, s’appellera l’espérance.

Pascal : P(r, s) = p·P(r − 1, s) + (1 − p)·P(r, s − 1) | Fermat : P = Σ_{k ≥ r} C(r+s−1, k) pᵏ (1−p)^r+s−1−k

Ici r et s sont les nombres de manches qu’il manque à A et à B, et p la probabilité que A gagne une manche.

Chaque case (r, s) porte la part de A calculée par la récurrence de Pascal : bleu quand A est favori, orange quand c’est B. Colonne r = 0 : A a déjà gagné ; ligne s = 0 : B a gagné. La case rouge est la situation au moment de l’interruption ; les fins de partie simulées y partent vers la gauche (A gagne une manche) ou vers le bas (B gagne).

Manches nécessaires pour gagner

Manches déjà gagnées par A

Manches déjà gagnées par B

Probabilité que A gagne une manche

Manches manquantes (A ; B)—

Part de A, dénombrement de Fermat—

Part de A, récurrence de Pascal—

Contrôle : Fermat − Pascal—

Partage des 64 pistoles (A / B)—

Monte-Carlo : fréquence des victoires de A—

Ce qu’on vient de voir. Pour la première fois, on calcule avec l’avenir incertain au lieu du passé. Huygens en tire le premier traité (1657) ; Jacques Bernoulli démontre (1713) que les fréquences observées se rapprochent des probabilités — c’est ce que montre la simulation de Monte-Carlo, dont l’intervalle contient la valeur exacte. Née d’une table de jeu, l’idée fait aujourd’hui tourner les assurances, les sondages, le contrôle de qualité et l’apprentissage automatique.

Des idées qui attendaient leur usage

Voici trois idées nées sans aucune application en vue, par pure curiosité mathématique, et qui sont devenues indispensables des siècles plus tard. Dans chaque onglet, la figure calcule vraiment l’application moderne à partir de l’idée ancienne.

Vers −200, Apollonius de Perge étudie les courbes obtenues en coupant un cône par un plan : ellipse, parabole, hyperbole. Il démontre notamment que, pour tout point d’une ellipse, la somme des distances aux deux foyers est constante. En 1609, Kepler découvre en analysant les observations de Mars faites par Tycho Brahe que les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer, et que le segment Soleil–planète balaie des aires égales en des temps égaux. Newton montrera en 1687 que c’est une conséquence de la gravitation.

position au temps t : M = 2π t / T = E − e·sin E (équation de Kepler), puis x = a(cos E − e), y = b·sin E

Le Soleil au foyer F₁, l’autre foyer F₂ est vide. Les douze secteurs alternés sont parcourus en des temps égaux (un douzième de période chacun) : étroits et longs loin du Soleil, larges et courts près de lui. Les deux traits rouges vont de la planète aux foyers : leur somme ne change pas.

Excentricité e

PF₁ + PF₂ (position actuelle, 2a = 2)—

Contrôle : écart maximal de PF₁ + PF₂ à 2a sur 720 points—

Aire théorique d’un secteur πab/12—

Contrôle : écart relatif maximal des 12 aires mesurées (polygones de 2 000 côtés)—

Vitesse au plus près ÷ vitesse au plus loin, mesurée—

Valeur prévue (1 + e)/(1 − e)—

En 1640, Fermat énonce dans une lettre une propriété des nombres entiers : si p est premier, aᵖ − a est divisible par p. Euler la généralise en 1763 : si m n’a aucun diviseur commun avec n, alors m^φ(n) a pour reste 1 dans la division par n, où φ(n) compte les entiers de 1 à n premiers avec n. Pendant plus de trois siècles, c’est une curiosité de la théorie des nombres. En 1977, Rivest, Shamir et Adleman en font le chiffrement RSA : on publie n = p·q et un exposant e ; pour déchiffrer, il faut l’exposant d, que seul peut calculer celui qui connaît p et q. Avec des nombres premiers de plusieurs centaines de chiffres, retrouver p et q à partir de n est hors de portée.

chiffrer : c = mᵉ mod n | déchiffrer : m = cᵈ mod n, avec e·d ≡ 1 (mod (p−1)(q−1))

« mod n » désigne le reste de la division par n. Le nuage montre, pour chaque message possible m (en abscisse), son chiffré c (en ordonnée) : les valeurs semblent jetées au hasard, et pourtant chacune revient exactement à son message.

Chaque point est un couple (m ; mᵉ mod n). En rouge, le message choisi et son chiffré.

Nombre premier p

Nombre premier q

Exposant public e

Message m

Clé publique n = p·q—

φ(n) = (p − 1)(q − 1), secret—

Exposant privé d (algorithme d’Euclide étendu)—

Contrôle : e·d mod φ(n)—

Message m → chiffré c → déchiffré—

Contrôle : messages de 0 à n − 1 correctement déchiffrés—

Contrôle d’Euler : m^φ(n) mod n = 1 pour les m premiers avec n—

En 1854, Riemann imagine des géométries d’espaces courbes, de n’importe quelle dimension, sans application en vue. En 1915, Einstein s’en sert pour la relativité générale : la matière courbe l’espace-temps, et une horloge bat plus vite là où la gravité est plus faible. Depuis le premier satellite GPS (1978), les horloges embarquées sont corrigées de deux effets opposés : en altitude, la gravité plus faible les fait avancer ; leur grande vitesse les fait retarder (relativité restreinte). Sans correction, la position calculée dériverait de plusieurs kilomètres par jour.

avance gravitationnelle = GM/c² · (1/R − 1/r) | retard de vitesse = − GM/(2 r c²) (par seconde ; × 86 400 par jour)

Approximation au premier ordre, orbite circulaire de rayon r = R + altitude, R = 6 371 km. La vitesse de rotation de l’horloge au sol est négligée : elle ne change le bilan que d’environ 0,1 µs par jour.

Violet : avance due à la gravité ; orange : retard dû à la vitesse ; bleu : bilan par jour, en microsecondes. Le point rouge marque l’altitude où les deux effets se compensent exactement.

Altitude du satellite

Avance gravitationnelle par jour—

Retard dû à la vitesse par jour—

Bilan par jour—

Erreur de distance sans correction (c × bilan)—

Période de l’orbite—

Altitude de compensation : dichotomie / formule exacte R/2—

La signature de l’histoire. Apollonius ne pensait pas aux planètes, Fermat ne pensait pas aux cartes bancaires, Riemann ne pensait pas aux satellites. Parce qu’elles ne dépendaient d’aucun problème particulier, leurs idées étaient prêtes le jour où le problème est arrivé : 1 808 ans, 337 ans et 124 ans plus tard.

Récapitulatif : huit longs rendez-vous

Les huit liens de la frise d’introduction, du plus long au plus court délai. La couleur du point indique la branche d’où vient l’idée ; la barre rouge s’allonge avec le délai (en racine carrée, pour que les délais courts restent visibles).

1. Une question concrète

Mesurer, partager, prévoir : les premiers problèmes viennent des champs, du commerce, du ciel et des jeux. Ils fixent le point de départ, pas la destination.

2. Une idée générale

On oublie le champ ou la pyramide pour ne garder que la structure : des parallèles, une relation entre quantités, une limite, une moyenne des possibles. C’est ce détachement qui rend l’idée réutilisable.

3. Une application inattendue

Des siècles plus tard, un problème nouveau — une orbite, un message secret, une horloge en orbite — se trouve avoir exactement cette structure. L’idée attendait.

Pour aller plus loin

Une histoire qui n’est pas à sens unique. Toutes les mathématiques ne naissent pas d’un besoin pratique : les nombres premiers ont été étudiés pour eux-mêmes dès Euclide, et les géométries non euclidiennes sont sorties d’une question de logique (le cinquième postulat d’Euclide se déduit-il des autres ?). À l’inverse, la physique a souvent relancé les mathématiques : les séries de Fourier sont nées de l’étude de la chaleur. Le fil « question concrète → idée générale → application tardive » est un fil conducteur, pas une loi.

Une histoire de plusieurs civilisations. Mésopotamie et Égypte (calculs, aires, second degré), Grèce (démonstration), Chine (Liu Hui et l’approximation de π), Inde (zéro et nombres négatifs chez Brahmagupta, séries infinies de Madhava au Kerala), monde arabo-musulman (al-Khwarizmi, trigonométrie), puis Europe moderne ont chacun apporté des pièces essentielles.

Lectures. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques. Routes et dédales (Seuil, coll. Points Sciences) ; John Stillwell, Mathematics and Its History (Springer) ; Denis Guedj, Le Théorème du perroquet (Seuil), roman qui raconte cette histoire.

Sur les chiffres de cette page. Toutes les lectures sont recalculées à chaque mouvement de curseur et confrontées à une méthode indépendante : angles relus sur la figure, racine retrouvée par dichotomie, récurrence de Pascal contre dénombrement de Fermat, aires de Kepler mesurées sur des polygones, déchiffrement vérifié pour tous les messages possibles, altitude de compensation trouvée par dichotomie. Les dates anciennes sont approximatives (« vers »).