Tous les corps s'attirent : c'est la gravitation. Près d'un astre, cette attraction se fait sentir comme un poids : c'est la pesanteur, que la rotation de la Terre modifie légèrement.
Deux mots pour un même phénomène, vu de près ou de loin
La gravitation est l'attraction qui s'exerce entre tous les corps qui ont une masse : entre la Terre et la Lune, entre le Soleil et les planètes, mais aussi entre vous et la personne assise à côté de vous. Elle est universelle — elle agit partout, sur tout — mais elle est extraordinairement faible : il faut une masse énorme, celle d'un astre, pour qu'on la remarque.
La pesanteur est ce que l'on ressent à la surface d'un astre : ce qui fait tomber les objets et donne leur poids aux corps. Sur Terre, elle vient presque entièrement de la gravitation terrestre. « Presque », car la Terre tourne sur elle-même : tout objet posé au sol est entraîné sur un cercle, et cette rotation retranche un peu de poids, surtout à l'équateur. La pesanteur est donc la gravitation vue depuis une Terre qui tourne.
Gravitation
Pesanteur
Nature
attraction mutuelle entre deux masses
attraction ressentie à la surface d'un astre (le poids)
Portée
partout dans l'Univers, décroît comme 1/r²
locale : près d'un astre
Formule
F = G·m1·m2/r²
P = m·g, avec g ≈ 9,81 m/s² sur Terre
Direction
vers le centre de l'autre corps
la verticale du fil à plomb (qui ne vise pas tout à fait le centre de la Terre)
Dépend de
des deux masses et de leur distance
de l'astre, de l'altitude, de la latitude (rotation et aplatissement)
La constante de gravitation vaut G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²/kg². Dans la page, les forces de gravitation sont en rouge, l'effet de la rotation en orange, la pesanteur résultante en violet et les valeurs de référence en vert.
Planche 1
La gravitation — tout attire tout
Newton, en 1687, énonce la loi de la gravitation universelle : deux corps s'attirent avec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance entre leurs centres. Doublez une masse : la force double. Doublez la distance : la force est divisée par quatre. Et chaque corps attire l'autre avec la même force (troisième loi de Newton), même si l'un est une pomme et l'autre la Terre.
F = G · m1 · m2 / r² avec G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²/kg²
Les deux forces (rouges) sont égales et opposées. Les accélérations qu'elles produisent (violettes) ne le sont pas : le corps le plus léger bouge le plus. Les curseurs sont gradués en puissances de dix.
La force en fonction de la distance, en échelles logarithmiques (chaque graduation multiplie par 10). La loi en 1/r² y devient une droite de pente −2.
Force d'attraction F—
Accélération de chaque corps F/m—
Pente mesurée de log F contre log r—
F(2r) / F(r)—loi en inverse carré : ¼
Ce qu'il faut voir. Deux personnes de 70 kg à un mètre s'attirent avec une force d'environ 3·10⁻⁷ N, le poids d'un grain de poussière : c'est pour cela qu'on ne remarque jamais la gravitation entre objets ordinaires. Mais avec la masse d'un astre, elle devient la force qui tient la Lune en orbite et les planètes autour du Soleil. Pourquoi 1/r² ? On peut l'imaginer comme une influence qui s'étale sur une sphère dont la surface, 4πr², croît comme le carré du rayon.
Planche 2
De la gravitation au poids — ce que vaut g sur chaque astre
À la surface d'un astre de masse M et de rayon R, un objet de masse m est attiré avec la force G M m/R². C'est son poids, m·g. En égalant les deux, la masse m disparaît : l'intensité de la pesanteurg ne dépend que de l'astre. C'est pour cela que, dans le vide, un marteau et une plume tombent ensemble — l'astronaute David Scott l'a montré sur la Lune en 1971.
m·g = G M m / R² ⇒ g = G M / R² · en altitude h : g(h) = g · (R / (R + h))²
Intensité de la pesanteur en fonction de l'altitude, exprimée en rayons de l'astre. Le point rouge marque l'altitude choisie.
Intensité de la pesanteur à la surface des six astres, sur une échelle logarithmique (chaque graduation multiplie par 10).
g à la surface = GM/R²—
Chute de 2 m, simulée avec la force exacte en 1/r²—
Marteau (1 kg) et plume (30 g) lâchés ensemble—dans le vide
Poids d'une personne de 70 kg—
g à l'altitude choisie—
« Peser » l'astre : M = g·R²/G—
Ce qu'il faut voir. À 400 km d'altitude, là où tourne la station spatiale, la pesanteur vaut encore près de 90 % de sa valeur au sol. Si les astronautes flottent, ce n'est donc pas qu'il n'y a plus de pesanteur : c'est qu'eux et leur station tombent ensemble, en permanence, autour de la Terre. On dit qu'ils sont en chute libre. Inversement, mesurer g et le rayon d'un astre suffit à calculer sa masse — c'est ainsi que Cavendish, en mesurant G en 1798, a « pesé la Terre ».
Planche 3
La Terre tourne — la pesanteur n'est pas tout à fait la gravitation
Un objet posé au sol tourne avec la Terre, en un jour, sur un cercle centré sur l'axe des pôles. Pour rester sur ce cercle, il faut qu'une petite partie de l'attraction terrestre serve à le faire tourner (c'est l'accélération centripète de la dynamique) ; le reste seulement appuie sur le sol. Tout se passe comme si une petite force, dite centrifuge, poussait l'objet loin de l'axe. Elle est nulle aux pôles et maximale à l'équateur, où l'on pèse un peu moins.
pesanteur = gravitation + effet de la rotation · effet de la rotation : ω²·R·cos φ, dirigé loin de l'axe (φ : latitude, ω : vitesse de rotation)
Coupe de la Terre (supposée sphérique) par un méridien. En rouge, la gravitation, dirigée vers le centre ; en orange, l'effet de la rotation, horizontal, loin de l'axe ; en violet, leur somme : la pesanteur, qui donne la direction du fil à plomb. Avec le vrai jour, la flèche orange est minuscule : raccourcissez le jour pour la voir.
g selon la latitude : sphère sans rotation (gris), sphère qui tourne (violet), et valeur réelle donnée par la formule internationale de la pesanteur normale, qui tient compte en plus de l'aplatissement de la Terre (pointillé vert, affiché seulement pour le vrai jour).
Gravitation seule GM/R²—
Effet de la rotation ω²R·cos φ—
Pesanteur (sphère qui tourne)—
Pesanteur réelle (formule internationale)—
Écart entre le fil à plomb et la direction du centre—
Durée du jour qui annulerait le poids à l'équateur (dichotomie)—
Ce qu'il faut voir. La rotation retire environ 0,034 m/s² à l'équateur, soit 0,3 % du poids. La valeur réelle de g varie encore un peu plus, de 9,780 m/s² à l'équateur à 9,832 m/s² aux pôles, car la Terre, en tournant, s'est elle-même aplatie : aux pôles, on est plus près du centre. Et le fil à plomb ne vise pas exactement le centre de la Terre : il s'en écarte d'au plus un dixième de degré, vers 45° de latitude. Si la Terre tournait en 1 h 24 min, on ne pèserait plus rien à l'équateur — c'est aussi la durée d'un tour d'orbite au ras du sol.
Planche 4
Mesurer la pesanteur — le pendule
Comment mesurer g avec précision ? Pendant trois siècles, avec un pendule. Pour de petites oscillations, sa période ne dépend que de sa longueur et de la pesanteur : T = 2π√(L/g). En 1672, l'astronome Jean Richer, envoyé à Cayenne, constate que son horloge à pendule, réglée à Paris, y retarde de plus de deux minutes par jour : il doit raccourcir le pendule. La pesanteur est donc plus faible près de l'équateur — c'est le premier indice de la rotation et de l'aplatissement de la Terre (planche 3).
T = 2π √(L/g) ⇒ g = 4π²L/T² (petites oscillations)
À gauche, le pendule ; à droite, son angle au cours du temps, calculé pas à pas avec l'équation exacte θ″ = −(g/L)·sin θ. Les repères verts marquent les instants où le pendule repasse par la verticale dans le même sens.
Période mesurée sur la simulation—
g déduit par 4π²L/T² (formule des petites oscillations)—
g déduit avec la correction d'amplitude (moyenne arithmético-géométrique)—
Longueur du pendule qui bat la seconde (T = 2 s)—
Retard à Cayenne d'une horloge réglée à Paris—sans aucun réglage du pendule
Ce qu'il faut voir. Le pendule qui bat la seconde mesure environ 994 mm à Paris, mais 3 mm de moins à Cayenne — l'écart qu'a mesuré Richer, un peu plus d'une ligne de l'époque. Attention aux grandes amplitudes : la formule simple suppose des oscillations petites ; à 80°, elle sous-estime g de près d’un quart (23 %). Aujourd'hui, on mesure g avec des gravimètres qui chronomètrent la chute libre d'un miroir dans le vide, à 10⁻⁹ près.
Planche 5 · signature
Quand la gravitation n'est pas la même partout — marées et tunnel
Jusqu'ici, on a traité la pesanteur comme uniforme. Mais la gravitation varie avec la distance, et cette variation a des effets spectaculaires. Premier exemple : la Lune n'attire pas de la même façon la face de la Terre qui la regarde et la face opposée, et cet écart étire les océans : ce sont les marées. Second exemple : à l'intérieur de la Terre, seule la matière située plus près du centre attire encore ; que se passerait-il si l'on sautait dans un tunnel traversant la Terre ?
La force de marée est la différence entre l'attraction de la Lune en un point de la Terre et son attraction au centre de la Terre. Face à la Lune, l'eau est attirée un peu plus que le centre : elle s'éloigne vers la Lune. Sur la face opposée, elle est attirée un peu moins que le centre : elle reste en arrière. D'où deux bourrelets, et deux marées hautes par jour. Le Soleil fait de même, un peu moins de deux fois moins fort ; quand les deux s'alignent (nouvelle et pleine lune), leurs effets s'ajoutent : ce sont les vives-eaux.
accélération de marée ≈ 2 G MR / d³ · elle décroît comme le cube de la distance, et non comme son carré
La Terre vue du dessus du pôle Nord. Flèches rouges : la force de marée (Lune et Soleil réunis) en chaque point. Contour bleu : la forme de l'océan à l'équilibre, exagérée des millions de fois. Le Soleil est hors de l'image, dans la direction indiquée.
Hauteur de la marée d'équilibre en un point de l'équateur, jour après jour : deux marées par jour, dont l'ampleur gonfle et dégonfle au fil du mois (enveloppe violette).
Marée lunaire, face à la Lune : calcul exact—
Rapport marée lunaire / marée solaire—
Hauteur d'équilibre maximale (Lune seule / Soleil seul)—au-dessus du niveau moyen, océan idéal couvrant la Terre
Intervalle entre deux vives-eaux (mesuré sur l'enveloppe)—
Rapport marnage vives-eaux / mortes-eaux—
Imaginons un tunnel droit, du pôle Nord au pôle Sud, dans lequel on a fait le vide. On y lâche une pierre. À l'intérieur d'une boule, un théorème de Newton affirme que la matière située plus loin du centre que la pierre ne l'attire globalement pas : ses attractions se compensent. Seule compte la boule intérieure. Dans une Terre de densité uniforme, la pesanteur diminue alors régulièrement jusqu'à zéro au centre, et la pierre oscille d'un bout à l'autre comme un ressort. La vraie Terre a un noyau de fer très dense : la pesanteur y augmente d'abord en descendant.
Terre uniforme : g(r) = gsurface · r/R ⇒ traversée en π √(R³ / G M)
À gauche, la pierre dans le tunnel (le noyau est dessiné à l'échelle dans le second modèle). À droite, la pesanteur en fonction de la distance au centre, à l'intérieur et à l'extérieur de la Terre.
Durée de la traversée (Runge-Kutta)—
Vitesse au centre de la Terre—
Pesanteur maximale et profondeur où elle est atteinte—
Aller-retour comparé à un tour d'orbite au ras du sol—
Ce qu'il faut voir. Une variation minuscule de la gravitation — un dix-millionième de g — suffit à soulever les océans deux fois par jour. La Lune, pourtant 27 millions de fois moins massive que le Soleil, provoque des marées deux fois plus fortes, parce qu'elle est 390 fois plus proche et que la marée décroît comme le cube de la distance. Quant au tunnel, il réserve une coïncidence : l'aller-retour dure exactement le temps d'un tour d'orbite au ras du sol, environ 84 minutes, car l'oscillation dans le tunnel n'est que l'ombre, projetée sur un diamètre, du mouvement circulaire du satellite.
Une brève histoire de la pesanteur et de la gravitation
vers −350Aristote : les corps lourds tombent vers le centre du monde, et d'autant plus vite qu'ils sont lourds.
1604Galilée établit que, sans l'air, tous les corps tombent de la même façon, avec des distances qui croissent comme le carré du temps.
1609–1619Kepler énonce les trois lois du mouvement des planètes, sans en connaître la cause.
1672Jean Richer, à Cayenne, doit raccourcir son pendule : la pesanteur y est plus faible qu'à Paris.
1687Newton publie la gravitation universelle : la même force fait tomber la pomme et retient la Lune. Il explique les marées et prédit que la Terre est aplatie aux pôles.
1736–1737Les expéditions de Maupertuis en Laponie et de La Condamine au Pérou mesurent un degré de méridien et confirment l'aplatissement.
1798Henry Cavendish mesure la constante G avec une balance de torsion et en déduit la masse de la Terre.
1846Urbain Le Verrier, à partir des irrégularités du mouvement d'Uranus, calcule la position d'une planète inconnue : Neptune est observée à moins d'un degré de l'endroit prévu.
1915Einstein réinterprète la gravitation comme une courbure de l'espace-temps (relativité générale) ; elle explique l'avance du périhélie de Mercure.
2002–2017Les satellites jumeaux GRACE cartographient les infimes variations de la pesanteur terrestre, jusqu'à la fonte des glaciers.
2015Les détecteurs LIGO captent pour la première fois des ondes gravitationnelles, émises par la fusion de deux trous noirs.
En résumé
La gravitation
Une attraction entre toutes les masses, proportionnelle à leur produit et à l'inverse du carré de la distance. Universelle mais très faible : il faut la masse d'un astre pour qu'elle se fasse sentir.
La pesanteur
La gravitation ressentie à la surface d'un astre : g = GM/R², corrigée sur Terre par la rotation (effet centrifuge) et l'aplatissement. Elle vaut 9,78 m/s² à l'équateur, 9,83 m/s² aux pôles, et ne dépend pas de la masse de l'objet qui tombe.
Quand elle varie
Ses variations d'un point à l'autre produisent les marées, qui décroissent comme 1/d³. À l'intérieur d'une planète, seule la matière plus proche du centre attire encore.
Pour aller plus loin
Poids et masse. Dans la vie courante, on dit « je pèse 70 kilos », mais le kilogramme mesure la masse, qui est la même partout. Le poids, lui, est une force, en newtons : 687 N à Paris, 114 N sur la Lune. Une balance de salle de bains mesure en réalité une force, et affiche la masse en supposant g = 9,81 m/s².
Le champ de gravitation. On peut décrire la gravitation d'un astre sans parler de l'objet attiré : en chaque point de l'espace, on place une flèche, g = GM/r², qui dit quelle accélération subirait n'importe quel objet placé là. C'est la notion de champ, qui a ensuite servi pour l'électricité et le magnétisme.
Masse grave et masse inerte. La masse qui est attirée (dans GMm/r²) et la masse qui résiste au changement de vitesse (dans F = ma) sont égales, à 10⁻¹⁵ près selon les mesures les plus récentes (satellite MICROSCOPE, 2022). C'est pourquoi tout tombe de la même façon. Einstein a fait de cette égalité le principe d'équivalence, point de départ de la relativité générale.
Les anomalies de pesanteur. Sous une montagne, au-dessus d'un gisement de minerai dense ou d'une cavité, g varie de quelques millionièmes. Les géophysiciens s'en servent pour prospecter le sous-sol, et les archéologues pour détecter des vides.