Trigonométrie

la trigonométrie et l'exponentielle complexe

Les formules de trigonométrie se démontrent d'ordinaire une à une, à coups de figures. Avec e^iθ = cos θ + i sin θ, presque toutes deviennent une ligne de calcul algébrique : multiplier, développer, factoriser, sommer. Cinq planches pour voir l'outil travailler, jusqu'aux valeurs exactes de cos 72° et aux produits de sinus.

Le dictionnaire : traduire, calculer, revenir

L'idée en une phrase : on traduit les cosinus et sinus en exponentielles, on calcule avec les règles simples des puissances, puis on revient aux cosinus et sinus en prenant la partie réelle ou imaginaire.

e^iθ = cos θ + i sin θ ⟺ cos θ = (e^iθ + e^−iθ)/2, sin θ = (e^iθ − e^−iθ)/(2i)

À gauche, e^iθ (bleu) et son conjugué e^−iθ (orange) tournent en sens contraires ; leur demi-somme (point violet) reste sur l'axe réel, c'est cos θ ; leur demi-différence divisée par i (point vert) donne sin θ. À droite, les deux courbes obtenues.

Règle des exponentielles	Ce qu'elle devient en trigonométrie	Planche
e^ia·e^ib = e^i(a+b)	formules d'addition	1
(e^iθ)ⁿ = e^inθ	cos nθ et sin nθ en fonction de cos θ et sin θ (Moivre)	2
e^ip + e^iq = e^i(p+q)/2(e^i(p−q)/2 + e^{−i(p−q)/2})	transformer une somme en produit	3
1 + z + … + zⁿ⁻¹ = (zⁿ − 1)/(z − 1) ; ∫ e^λx dx = e^λx/λ	sommes de cosinus, intégrales avec cosinus	4
zⁿ = 1 a n solutions régulièrement réparties	valeurs exactes, produits de sinus	5

Cette page complète « Les formules d'addition » (démonstration par la figure, Tchebychev) et « L'exponentielle complexe et ses applications » (carte de e^z, linéarisation de cosⁿθ, logarithme à étages) : on s'y concentre sur la méthode de calcul elle-même.

Planche 1

Les formules d'addition en une multiplication

Question : d'où viennent cos(a + b) et sin(a + b) ? Tourner de a puis de b, c'est tourner de a + b : e^i(a+b) = e^ia·e^ib. Il suffit de développer le produit (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) comme en algèbre ordinaire, en se souvenant que i² = −1, puis de ranger les termes réels d'un côté et les termes en i de l'autre. On n'a plus rien à retenir : on retrouve les formules en dix secondes.

(cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos a cos b − sin a sin b + i(sin a cos b + cos a sin b)

Les quatre produits mis bout à bout : deux le long de l'axe réel (bleu, rouge), deux le long de l'axe imaginaire (orange, vert). Ils aboutissent exactement au point e^i(a+b) du cercle (flèche violette en pointillé).

×	cos b	i sin b
cos a
i sin a

La table de multiplication du produit : chaque case est un terme du développement. La case rouge contient i·i = −1, c'est elle qui donne le signe moins de cos(a + b).

Angle a

Angle b

cos a cos b − sin a sin b (bout de la chaîne)

cos(a + b) calculé directement

Écart

sin a cos b + cos a sin b

sin(a + b) calculé directement

Écart

Ce qu'il faut voir. Quelles que soient les valeurs de a et b, les quatre morceaux retombent sur le cercle, au point d'angle a + b : l'écart avec cos(a + b) et sin(a + b) calculés directement est de l'ordre de 10⁻¹⁶, l'arrondi de la machine. Avec a = b, le même calcul donne sans effort cos 2a = cos²a − sin²a et sin 2a = 2 sin a cos a. Avec b = −a, on retrouve cos²a + sin²a = 1. Une seule identité, e^iae^ib = e^i(a+b), remplace toute la figure de démonstration.

Planche 2

La formule de Moivre : cos nθ et sin nθ d'un seul coup

Question : comment exprimer cos 5θ avec cos θ et sin θ ? Tourner n fois de θ, c'est tourner de nθ : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ (formule de Moivre). On développe la puissance par le binôme de Newton : le terme numéro k est C(n,k)·cosⁿ⁻ᵏθ·(i sin θ)ᵏ. Les puissances de i tournent d'un quart de tour à chaque fois (1, i, −1, −i, 1…) : les termes pairs en k sont réels et donnent cos nθ, les termes impairs sont imaginaires et donnent sin nθ.

Les n + 1 termes du binôme bout à bout : horizontaux (bleu, partie réelle) et verticaux (vert, partie imaginaire), chacun tourné d'un quart de tour par rapport au précédent. La chaîne s'achève sur le point e^inθ du cercle unité (rouge).

Exposant n

Angle θ

Somme des termes réels

cos nθ calculé directement

Somme des termes imaginaires

sin nθ calculé directement

Plus grand écart

Longueur totale de la chaîne, et (|cos θ| + |sin θ|)ⁿ

Ce qu'il faut voir. La chaîne fait souvent un grand détour hors du cercle (sa longueur totale vaut (|cos θ| + |sin θ|)ⁿ, jusqu'à (√2)ⁿ), mais les termes se compensent et la chaîne revient toujours se poser sur le cercle, au point d'angle nθ. Les formules obtenues, par exemple cos 3θ = cos³θ − 3 cos θ sin²θ, servent à résoudre l'équation du troisième degré par la trigonométrie, à obtenir la valeur exacte de cos 72° (planche 5) ou à transformer une puissance en somme et réciproquement.

Planche 3

Factoriser une somme : l'astuce de l'angle moitié

Question : comment transformer cos p + cos q en produit ? On met en facteur l'angle « du milieu » (p + q)/2. Les deux angles restants, ±(p − q)/2, sont opposés, et leurs exponentielles s'additionnent en un cosinus réel : e^ip + e^iq = e^i(p+q)/2·2cos((p − q)/2). Géométriquement, la somme de deux vecteurs de longueur 1 est la diagonale d'un losange : elle porte la direction de la bissectrice, d'angle (p + q)/2, et sa longueur vaut 2|cos((p − q)/2)|. Ses deux projections donnent les deux formules.

e^ip (bleu), e^iq (orange), leur somme ou différence S (rouge). Projection de S sur l'axe réel (violet) et sur l'axe imaginaire (vert). Pointillé gris : la direction (p + q)/2.

q fixé, p variant de 0 à 360° : la somme calculée terme à terme (bleu) et le produit factorisé (orange pointillé) sont une seule et même courbe.

Angle p

Angle q

Longueur de S, mesurée et formule

Plus grand écart sur la courbe (2 000 points)

Ce qu'il faut voir. Le losange explique tout : sa diagonale suit la bissectrice, et sa longueur 2|cos((p − q)/2)| s'annule quand les deux vecteurs sont opposés (p − q = 180°). Ces formules « somme → produit » servent à résoudre des équations comme cos 3x + cos x = 0 (un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est), à étudier le signe d'une somme, et en physique à expliquer les battements de deux sons voisins.

Planche 4

Sommes et intégrales : calculer sans jamais sommer

Question : comment calculer des sommes ou des intégrales de cosinus sans les faire terme à terme ? On remplace le cosinus par une exponentielle complexe, dont on connaît les formules toutes faites (série géométrique, binôme, primitive de e^λx), puis on prend la partie réelle à la fin. Trois exemples classiques, chacun contrôlé par le calcul direct.

On veut S_c = cos a + cos(a + h) + … + cos(a + (n−1)h). C'est la partie réelle de e^ia(1 + e^ih + … + e^i(n−1)h), une série géométrique de raison e^ih. On factorise ensuite par l'angle moitié, comme à la planche 3 :

Σ cos(a + kh) = [sin(nh/2) / sin(h/2)] · cos(a + (n−1)h/2) ; Σ sin(a + kh) = [sin(nh/2) / sin(h/2)] · sin(a + (n−1)h/2)

Les n vecteurs e^i(a+kh) bout à bout (bleu) ; leur somme (rouge) ; sa projection sur l'axe réel (violet) est Σ cos, sur l'axe imaginaire (vert) Σ sin.

Nombre de termes n

Pas h

Angle de départ a

Σ cos(a + kh), terme à terme

Formule fermée

Σ sin(a + kh), terme à terme

Formule fermée

Plus grand écart

On veut Σ C(n,k) cos kθ, pour k de 0 à n. C'est la partie réelle de Σ C(n,k) e^ikθ = (1 + e^iθ)ⁿ par le binôme. Or 1 + e^iθ = e^iθ/2·2cos(θ/2) (angle moitié), donc (1 + e^iθ)ⁿ = 2ⁿ cosⁿ(θ/2) e^inθ/2 :

Σ C(n,k) cos kθ = 2ⁿ cosⁿ(θ/2) cos(nθ/2) ; Σ C(n,k) sin kθ = 2ⁿ cosⁿ(θ/2) sin(nθ/2)

Les termes C(n,k)e^ikθ bout à bout (bleu, de plus en plus tournés) et le point (1 + e^iθ)ⁿ obtenu par n multiplications successives (rouge).

Exposant n

Angle θ

Σ C(n,k) cos kθ, terme à terme

2ⁿ cosⁿ(θ/2) cos(nθ/2)

Σ C(n,k) sin kθ, terme à terme

2ⁿ cosⁿ(θ/2) sin(nθ/2)

Écart relatif le plus grand (avec le produit répété)

Pour intégrer e^ax cos bx, deux intégrations par parties sont d'ordinaire nécessaires. Avec λ = a + ib, c'est la partie réelle de ∫ e^λx dx = e^λx/λ, une primitive que l'on connaît par cœur :

∫₀^X e^ax cos bx dx = Re[(e^(a+ib)X − 1)/(a + ib)] = [e^aX(a cos bX + b sin bX) − a] / (a² + b²)

La fonction e^ax cos bx (bleu) et son aire signée jusqu'à X (teintée bleue au-dessus de l'axe, rouge au-dessous) ; en orange, la primitive F(x) donnée par la formule complexe.

Borne X

Méthode de Simpson (2 000 intervalles)

Re[(e^λX − 1)/λ]

Formule réelle (deux intégrations par parties)

Écarts Simpson / complexe / réelle

Ce qu'il faut voir. Dans les trois cas, le calcul direct et la formule obtenue par l'exponentielle complexe coïncident : à 10⁻¹⁵ près pour les sommes (l'arrondi de la machine), et pour l'intégrale à l'erreur près de la méthode de Simpson (entre 10⁻¹² et 10⁻⁸ selon les réglages), tandis que la formule complexe et la formule réelle obtenue par deux intégrations par parties s'accordent à l'arrondi près. La méthode est toujours la même : passer en exponentielles, utiliser une formule connue de l'algèbre ou de l'analyse, revenir à la partie réelle. Pour la somme en progression, la chaîne se referme quand nh est un multiple de 360° : la somme est alors nulle, comme le dit le facteur sin(nh/2).

Planche 5

Signature : le polygone régulier, laboratoire de la trigonométrie

Question : que nous apprennent les solutions de zⁿ = 1 ? Ce sont les n sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité : ωᵏ = e^2ikπ/n (ω, « oméga », désigne e^2iπ/n). Parce qu'on connaît le polynôme zⁿ − 1 dont ils sont les racines, on peut en déduire des résultats de trigonométrie qu'aucune figure ne donnerait facilement : un produit de sinus étonnant, et des valeurs exactes de cosinus.

Puisque zⁿ − 1 = (z − 1)(z − ω)…(z − ωⁿ⁻¹), le produit des distances d'un point quelconque P aux n sommets vaut |Pⁿ − 1| (Roger Cotes, 1716). Faites glisser P. Puis divisons par z − 1 et faisons z = 1 : le produit des n − 1 cordes issues d'un sommet vaut exactement n. Or chaque corde mesure 2 sin(kπ/n). On obtient sans effort :

sin(π/n) · sin(2π/n) · … · sin((n−1)π/n) = n / 2ⁿ⁻¹

Le polygone régulier (bleu), le point P mobile et ses distances aux sommets (violet) ; en vert, les cordes issues du sommet 1.

Nombre de sommets n

Produit des n distances de P aux sommets

|Pⁿ − 1|

Écart relatif

Produit des n − 1 cordes issues du sommet 1 (mesurées)

Π sin(kπ/n) et n/2ⁿ⁻¹

Pour n impair, divisons 1 + z + z² + … + zⁿ⁻¹ = 0 par z^(n−1)/2 et regroupons z et 1/z. Comme z + 1/z = 2 cos(2kπ/n) pour un sommet, le polynôme devient un polynôme en w = z + 1/z, à coefficients entiers, dont les racines sont les nombres 2cos(2kπ/n). Pour n = 5, on trouve w² + w − 1 = 0, d'où 2 cos 72° = (√5 − 1)/2 : c'est le nombre d'or qui apparaît, et la raison pour laquelle le pentagone se construit à la règle et au compas. Pour n = 7, une équation du troisième degré, et l'heptagone ne se construit pas ; pour n = 17, Gauss (1796) a montré qu'on peut tout résoudre par des racines carrées successives.

Chaque sommet et son symétrique se projettent sur l'axe réel au même point cos(2kπ/n) (vert) : deux sommets conjugués donnent une seule racine w = 2cos(2kπ/n).

Le polynôme en w et ses racines (points verts), en w = 2cos(2kπ/n).

n impair

Degré du polynôme en w

Écart des coefficients calculés aux entiers les plus proches

2 cos(2π/n)

Valeur exacte connue, ou constructibilité (Gauss-Wantzel)

L'idée forte. Les cinq planches suivent la même stratégie : remplacer la géométrie des angles par l'algèbre des exponentielles. Tourner devient multiplier, répéter une rotation devient élever à une puissance, ajouter des cosinus devient sommer une série géométrique, et le polygone régulier devient le polynôme zⁿ − 1. C'est cette traduction qui donne à la trigonométrie des résultats, comme le produit des sinus ou cos 72° = (√5 − 1)/4, qui seraient très difficiles à obtenir par les seules figures.

Repères historiques

vers 150Ptolémée établit l'équivalent des formules d'addition à l'aide des cordes d'un cercle et d'un quadrilatère inscrit, pour ses tables astronomiques.
1593François Viète obtient les formules de cos nθ et sin nθ par des considérations géométriques et résout ainsi une équation de degré 45.
1707Abraham de Moivre publie la formule qui porte son nom, sous une forme encore implicite ; il l'énonce plus clairement en 1722 et 1730.
1716Roger Cotes énonce son théorème sur le produit des distances d'un point aux sommets d'un polygone régulier (publié en 1722).
1748Leonhard Euler écrit e^ix = cos x + i sin x et en tire systématiquement les formules de trigonométrie.
1796Carl Friedrich Gauss montre que l'heptadécagone (17 côtés) est constructible à la règle et au compas, en résolvant z¹⁷ = 1 par étapes.
1837Pierre-Laurent Wantzel démontre qu'un polygone régulier n'est constructible que si n est le produit d'une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts.

Synthèse

Traduire

cos θ = Re e^iθ = (e^iθ + e^−iθ)/2. Chaque problème de cosinus et sinus devient un problème d'exponentielles.

Calculer

Multiplier, élever à une puissance, factoriser par l'angle moitié, sommer une série géométrique, intégrer e^λx : des règles d'algèbre simples remplacent les figures.

Revenir

On prend la partie réelle ou imaginaire, et l'on obtient d'un coup deux formules (cosinus et sinus). Les racines de zⁿ = 1 donnent en prime des valeurs exactes.

Pour aller plus loin

Équations trigonométriques. Une équation polynomiale en cos x et sin x devient, avec z = e^ix, une équation polynomiale en z ; ses solutions de module 1 donnent les solutions en x.

a cos x + b sin x. C'est la partie réelle de (a − ib)e^ix = R e^i(x−φ) avec R = √(a² + b²) : on obtient R cos(x − φ) sans aucune formule à retenir.

Séries de Fourier. Toute la théorie s'écrit plus simplement avec les e^ikx qu'avec les cos kx et sin kx séparés, pour exactement les raisons vues dans cette page.