La strophoïde : droites, cercles et paramètre t
Une cubique à nœud, paramétrée par la pente t de la droite OM. Deux égalités simples sur les paramètres, t₁t₂t₃ = b/a pour trois points alignés et t₁t₂t₃t₄ = b²/a² pour quatre points cocycliques, suffisent à résoudre tout l'exercice.
L'énoncé et la stratégie
Une strophoïde S est représentée dans un repère orthonormé par l'équation (x² + y²)(x/a − y/b) − 2xy = 0 ; on définit un point M de la courbe par le coefficient directeur t de la droite OM.
1° Trouver les valeurs de t qui correspondent aux intersections de S avec ses asymptotes réelles ou imaginaires, aux points où la tangente est parallèle à l'asymptote réelle, aux points d'inflexion ; vérifier que ces derniers sont alignés. Les points où les tangentes en trois points alignés recoupent S sont eux-mêmes alignés. À un point M on associe le point M′ tel que le point N commun aux tangentes en M et M′ soit sur S ; former l'équation de la droite MM′ et calculer les coordonnées du milieu de MM′ en fonction du paramètre de N.
2° Quelle relation doit lier t₁, t₂, t₃, t₄ pour que les points correspondants soient cocycliques ? Équation du cercle γ qui rencontre S en trois points confondus avec M ; ce cercle recoupe S en un point P. À quatre points M cocycliques correspondent quatre points P cocycliques ; à trois points M alignés correspondent trois points P situés sur un cercle qui passe par un point fixe de S.
3° Il existe deux familles de cercles tangents à S en deux points : former l'équation générale de chaque famille ; les cercles d'une famille restent orthogonaux à un cercle fixe ; lieu de leurs centres ; que dire des droites joignant les points de contact ?
Le paramétrage. En posant y = tx dans l'équation, on trouve x = 2abt / ((1 + t²)(b − at)) et y = tx. Le point O est obtenu deux fois, pour t = 0 et pour t infini : c'est un point double (la courbe s'y croise elle-même), où les deux tangentes sont les axes, perpendiculaires. Notons k = b/a dans toute la page.
La stratégie. Une droite ux + vy + w = 0 coupe S aux paramètres racines de −aw·t³ + (bw + 2abv)t² + (2abu − aw)t + bw = 0 ; le produit des racines vaut k, quels que soient u et v. Un cercle x² + y² + 2αx + 2βy + γ = 0 coupe S en quatre points (les deux autres intersections sont les points cycliques à l'infini, car le facteur x² + y² figure dans l'équation) dont le produit des paramètres vaut k². Ces deux critères, avec la remarque qu'une tangente correspond à une racine double, résolvent toutes les questions.
| Points de S | Paramètre t | Raison |
|---|---|---|
| direction de l'asymptote réelle (point à l'infini) | k = b/a | b − at = 0 |
| directions des asymptotes imaginaires | ±i | 1 + t² = 0 |
| intersection de S avec l'asymptote réelle | 1/k = a/b | k · k · t = k |
| intersection avec les deux asymptotes imaginaires (foyer) | −k | (±i)² · t = k |
| tangente parallèle à l'asymptote réelle | +1 et −1 | t² · k = k |
| points d'inflexion | ∛k (réel), ∛k·j, ∛k·j² (imaginaires) | t³ = k |
La courbe, son paramètre et ses points remarquables
Le point M(t) est l'intersection de S avec la droite de pente t issue de O. Quand t tend vers k, le dénominateur b − at s'annule et M part à l'infini dans la direction de pente k : c'est l'asymptote réelle. La tangente en un point de paramètre t₀ recoupe S au point de paramètre k/t₀² (racines t₀, t₀ et le troisième, de produit k). Toutes les valeurs du tableau en découlent : l'asymptote, tangente au point à l'infini t = k, recoupe S en t = 1/k ; la tangente est parallèle à l'asymptote quand elle passe par ce point à l'infini, donc k/t₀² = k, t₀ = ±1 ; il y a inflexion quand la tangente rencontre S en trois points confondus, t₀³ = k.
Trois points alignés : t₁t₂t₃ = k
La règle se lit sur l'équation de la planche d'introduction : le coefficient de t³ vaut −aw, le terme constant bw, donc le produit des racines vaut b/a = k pour toute droite ne passant pas par O. Réciproquement, trois paramètres de produit k sont ceux de trois points alignés. Conséquence demandée : si t₁t₂t₃ = k, les tangentes en ces points recoupent S en k/t₁², k/t₂², k/t₃², dont le produit vaut k³/(t₁t₂t₃)² = k³/k² = k : ces trois points sont alignés aussi.
Tangentes concourantes sur S : la droite MM′ et son milieu
Soit N un point de S, de paramètre τ. Les points de S dont la tangente passe par N vérifient t²·τ = k : ce sont M(s) et M′(−s) avec s² = k/τ (réels si τ a le signe de k). La droite MM′ a pour paramètres s, −s et un troisième t₃ tel que s·(−s)·t₃ = k, soit t₃ = −τ. En identifiant le polynôme (t² − s²)(t + τ) à celui d'une droite on obtient
MM′ : x − τy + 2abτ/(aτ + b) = 0, milieu I = 2abτ/((aτ + b)(bτ − a)) · (a ; b).
Le milieu I est donc toujours sur la droite y = kx, la parallèle à l'asymptote menée par O.
2° Points cocycliques et cercle γ
Dans x² + y² + 2αx + 2βy + γ = 0, remplaçons x et y : x² + y² vaut 4a²b²t²/((1 + t²)(b − at)²), et après simplification par 1 + t² il reste une équation de degré 4 en t dont le coefficient dominant est γa² et le terme constant γb². Quatre points sont cocycliques si et seulement si t₁t₂t₃t₄ = k² (la réciproque vient de ce que α, β, γ se calculent à partir des trois autres fonctions symétriques). Le cercle γ qui rencontre S en trois points confondus avec M(m) recoupe S au paramètre p = k²/m³.
γ : x² + y² + 2αx + 2βy + γ = 0 avec D = (am − b)³(am³ − b), α = a²bm²(a²m⁴ − 2abm + 3b²)/D, β = −ab²(3a²m⁴ − 2abm³ + b²)/D, γ = −4a³b³m³/D.
Si m₁m₂m₃m₄ = k², les points P ont pour produit k⁸/(m₁m₂m₃m₄)³ = k⁸/k⁶ = k² : ils sont cocycliques. Si trois points M sont alignés, m₁m₂m₃ = k, leurs P ont pour produit k⁶/k³ = k³, et le quatrième point du cercle qui les porte a pour paramètre k²/k³ = 1/k : c'est le point A où S rencontre son asymptote réelle, fixe.
Signature : 3° les deux familles de cercles bitangents
Un cercle tangent à S en deux points a pour paramètres u, u, v, v ; la règle donne u²v² = k², d'où deux familles : uv = k et uv = −k. En ajustant α, β, γ aux fonctions symétriques de (u, u, v, v), on trouve pour la première famille
α = −2abu(au² − au + b)/((u − 1)²(au − b)²), β = 2abu(au² − bu + b)/((u − 1)²(au − b)²), γ = 4a²b²u²/((u − 1)²(au − b)²),
et pour la seconde α = 2abu(au² + au − b)/((u + 1)²(au − b)²), β = 2abu(au² − bu − b)/((u + 1)²(au − b)²), γ = 4a²b²u²/((u + 1)²(au − b)²). Trois résultats en sortent. Les cordes de contact ont pour troisième paramètre w tel que uvw = k : w = 1 pour la première famille, w = −1 pour la seconde ; elles passent toutes par le point fixe T₊ (resp. T₋), où la tangente est parallèle à l'asymptote. Le cercle orthogonal de chaque famille est le cercle de centre T₊ (resp. T₋) passant par O. Le lieu des centres est la parabole (aX + bY)² + 2ab(a − b)(X + Y) = 0 (resp. (aX + bY)² + 2ab(a + b)(X − Y) = 0), d'axe perpendiculaire à l'asymptote.
Le fil de la solution
- Paramétrage par la pente : x = 2abt/((1 + t²)(b − at)), y = tx ; O est le point double (t = 0 et t infini).
- Droite : t₁t₂t₃ = k ; tangente en t₀ : troisième point k/t₀² ; d'où asymptotes, points à tangente parallèle (±1), inflexions (t³ = k).
- Tangentes issues de N(τ) : t² = k/τ ; droite MM′ par le point −τ, d'équation x − τy + 2abτ/(aτ + b) = 0, milieu sur y = kx.
- Cercle : t₁t₂t₃t₄ = k² ; cercle γ en M : P = k²/m³ ; la correspondance M ↦ P conserve la cocyclicité et envoie les alignements sur des cercles passant par A (t = 1/k).
- Cercles bitangents : u²v² = k², deux familles uv = ±k ; cordes de contact par T±, cercle orthogonal de centre T± passant par O, centres sur une parabole.
Un seul outil
Tout repose sur le produit des racines d'une équation en t : k pour une droite, k² pour un cercle. Les racines doubles traduisent les tangences.
Les points cycliques
Le facteur x² + y² fait passer S par les deux points cycliques à l'infini : un cercle n'a donc plus que quatre intersections « libres » avec S au lieu de six.
Les points ±1
Les points T± où la tangente est parallèle à l'asymptote réapparaissent à la fin comme points fixes des cordes de contact et centres des cercles orthogonaux.
Pour aller plus loin
Pourquoi « strophoïde » ? Le mot vient du grec strophos, la ceinture tordue. La strophoïde droite classique est la cubique dont le point double a deux tangentes perpendiculaires et qui passe par les points cycliques : c'est exactement la situation ici, les tangentes en O étant les axes.
Le foyer. Les deux asymptotes imaginaires, tangentes à S aux points cycliques, se recoupent au point réel t = −k : c'est le foyer singulier de la cubique circulaire, situé dans la boucle.
Les cas dégénérés. Une droite par O n'obéit pas à la règle t₁t₂t₃ = k, puisque deux de ses paramètres sont 0 ou l'infini ; de même un cercle par O. Les formules de la page sont donc écrites pour des droites et des cercles qui ne passent pas par O.