Algébrique, différentielle, euclidienne, projective : quatre manières de regarder les courbes du plan et les surfaces de l'espace — et les ponts qui passent de l'une à l'autre, en dimension 1, 2 et 3.
Prenez une ellipse. Pour la géométrie algébrique, c'est l'ensemble des points qui annulent un polynôme, x²/9 + y²/4 − 1 = 0 : on s'intéresse à son degré (ici 2), à ses points singuliers, à ses points de coordonnées rationnelles. Pour la géométrie différentielle, c'est une courbe lisse dont on mesure en chaque point la courbure, c'est-à-dire la vitesse à laquelle la tangente tourne. Pour la géométrie euclidienne, c'est une figure qui a deux demi-axes de 3 et 2 unités, qu'on peut déplacer sans la déformer. Pour la géométrie projective, c'est une conique, sœur de la parabole et de l'hyperbole, qu'une perspective change en l'une ou l'autre.
Felix Klein a proposé en 1872 le principe qui les relie : une géométrie se définit par les transformations qu'elle s'autorise et par ce que ces transformations laissent intact (les invariants). Plus on autorise de transformations, moins il reste d'invariants, mais plus ceux qui restent sont profonds.
Objets : zéros de polynômes. Outils : équations, degré, factorisation. Question type : combien de points communs ? où la courbe a-t-elle un nœud ?
Objets : courbes et surfaces lisses. Outils : dérivées, tangente, courbure. Question type : comment la figure se courbe-t-elle, point par point ?
Objets : figures rigides. Outils : distance, angle. Transformations : déplacements (rotations, translations). Question type : quelle longueur, quel angle ?
Objets : droites et points, y compris à l'infini. Outils : coordonnées homogènes, homographies. Question type : quels points sont alignés ?
Les cinq planches traversent ces frontières : l'équation qui connaît la forme (1), la courbure lue directement dans l'équation (2), l'échelle des transformations de Klein mesurée sur une même figure (3), les surfaces du second degré dans l'espace (4), puis le cercle et la sphère, où les quatre géométries se rejoignent (5).
Si l'on déplace une ellipse, son équation change complètement. Qu'est-ce qui, dans l'équation, ne change pas ?
Une conique s'écrit a x² + b xy + c y² + d x + e y + f = 0. Tournez-la, déplacez-la : les six coefficients bougent tous. Mais trois combinaisons restent fixes, les invariants euclidiens — la trace I₁, le déterminant de la partie quadratique I₂, et le grand déterminant I₃ :
I₁ = a + c I₂ = ac − b²/4 I₃ = det [[a, b/2, d/2], [b/2, c, e/2], [d/2, e/2, f]]
Ces trois nombres suffisent à retrouver la forme : le signe de I₂ donne le type (ellipse si I₂ > 0, hyperbole si I₂ < 0, parabole si I₂ = 0), et les demi-axes se calculent sans jamais dessiner la courbe. La page les compare aux longueurs mesurées sur la figure.
Peut-on connaître la courbure d'une courbe sans la parcourir, seulement à partir de son équation ?
La courbure κ mesure à quelle vitesse la tangente tourne quand on avance sur la courbe ; son inverse 1/κ est le rayon du cercle osculateur, celui qui colle au mieux à la courbe au point considéré. La géométrie différentielle la calcule en parcourant la courbe, à partir d'un paramétrage (x(t), y(t)) :
κ = |x′y″ − y′x″| / (x′² + y′²)3/2
La géométrie algébrique n'a que l'équation F(x, y) = 0. Il suffit pourtant des dérivées partielles de F, prises au point :
κ = |FxxFy² − 2FxyFxFy + FyyFx²| / (Fx² + Fy²)3/2
Là où le gradient (Fx, Fy) s'annule, la formule divise par zéro : c'est un point singulier — un nœud où la courbe se recoupe, ou un rebroussement où elle fait demi-tour. L'algèbre les repère avant même que l'on dessine.
Déplacer, agrandir, étirer, mettre en perspective : que reste-t-il d'une figure à chaque étape ?
Le programme de Klein range les géométries du plan comme des poupées russes. Chacune autorise plus de transformations que la précédente :
déplacements ⊂ similitudes ⊂ transformations affines ⊂ homographies
Les déplacements (euclidienne) gardent distances et angles ; les similitudes autorisent le changement d'échelle ; les transformations affines étirent et cisaillent, mais gardent le parallélisme ; les homographies (projective) mettent en perspective et ne gardent que l'alignement et le birapport. La figure ci-dessous porte une cubique y = x³/4 − x, un quadrillage, quatre points alignés A, B, C, D et un point E. La page mesure chaque propriété avant et après. Pour les points particuliers de la courbe, elle note leur position t : le point (t ; t³/4 − t) de la figure d'origine a pour image le point de même t sur l'image.
| Propriété mesurée | Avant | Après | Verdict |
|---|---|---|---|
| Longueur AB | |||
| Angle entre les deux axes du quadrillage | |||
| Angle entre les droites x = −2 et x = 2 (parallélisme) | |||
| Rapport d'aires des triangles ABE et CDE | |||
| Rapport AB / BC sur une même droite | |||
| Birapport (A, B ; C, D) | |||
| Alignement de A, B, C, D (déterminant normé) | |||
| Point d'inflexion : sa position t sur la courbe | |||
| Sommets : leurs positions t sur la courbe |
Pourquoi certaines surfaces courbes contiennent-elles des lignes parfaitement droites ?
Une quadrique est une surface d'équation du second degré en x, y, z : ellipsoïde, hyperboloïdes, paraboloïdes. Sa courbure de Gauss K, produit des deux courbures principales, dit comment elle se courbe autour d'un point : K > 0 comme un œuf (la surface reste d'un seul côté de son plan tangent), K < 0 comme une selle (elle le traverse). La géométrie différentielle calcule K par les deux « formes fondamentales » d'un paramétrage ; l'algèbre la tire directement de l'équation F = 0, par la formule de Gauss pour les surfaces implicites :
K = − det [[Hess F, ∇F], [∇Fᵀ, 0]] / |∇F|⁴
Et l'algèbre ajoute un fait étonnant : le plan tangent coupe une quadrique suivant une conique qui a un point double au point de contact, donc suivant deux droites — réelles si K < 0, imaginaires si K > 0. Les surfaces en selle sont réglées : on peut les construire avec des baguettes droites.
Un même geste — projeter depuis un point de la sphère — relie les nombres entiers, la courbure, les angles et les points à l'infini.
Traçons les droites qui partent du point N = (−1 ; 0) du cercle unité. La droite de pente t coupe l'axe vertical en (0 ; t) et recoupe le cercle en un seul autre point :
P(t) = ( (1 − t²)/(1 + t²) ; 2t/(1 + t²) )
Quatre lectures d'une même formule. Algébrique : si t = p/q est une fraction, P a des coordonnées rationnelles, et (q² − p², 2pq, q² + p²) est un triplet pythagoricien. Euclidienne : par le théorème de l'angle inscrit, t = tan(θ/2), où θ est l'angle au centre. Différentielle : la vitesse vaut |P′(t)| = 2/(1 + t²), et la longueur totale du cercle en sort. Projective : quand t part à l'infini, P revient en N ; le cercle est une droite projective, fermée par un seul point à l'infini.
En dimension 3, la même construction s'appelle la projection stéréographique : depuis le pôle nord N de la sphère, chaque point de la sphère est envoyé sur le plan de l'équateur, le long du rayon issu de N. Elle a trois propriétés qui la rendent précieuse aux cartographes depuis Ptolémée : elle envoie les cercles de la sphère sur des cercles du plan (ou sur des droites s'ils passent par N) ; elle conserve les angles (on dit qu'elle est conforme) ; et le point N lui-même part à l'infini, si bien que la sphère entière est le plan complété par un seul point.
(x ; y ; z) ↦ ( x/(1 − z) ; y/(1 − z) ) aire : dAsphère = 4 / (1 + r²)² · dAplan
Une équation dépend du repère ; ses invariants (I₁, I₂, I₃ pour une conique) décrivent la figure elle-même et redonnent ses longueurs.
Déplacements, similitudes, affinités, homographies : plus on en autorise, moins il reste d'invariants. L'alignement, le birapport et les points d'inflexion traversent toute l'échelle.
Elle se calcule dans l'équation (algèbre), elle se définit par les dérivées (différentielle), elle se mesure en longueurs (euclidienne), et son intégrale ne retient que la forme globale.
Les coniques et la géométrie projective. En perspective, ellipse, parabole et hyperbole sont une seule courbe : leur type dépend seulement du nombre de points qu'elles ont à l'infini. C'est la version projective du signe de I₂ de la planche 1.
Les inflexions d'une cubique. Sur le plan projectif complexe, une cubique lisse a exactement neuf points d'inflexion, dont trois au plus sont réels ; ils sont alignés trois par trois sur douze droites. C'est un résultat algébrique sur une notion différentielle.
Le theorema egregium. La courbure de Gauss d'une surface ne change pas si on la plie sans l'étirer : une feuille de papier (K = 0) ne peut jamais recouvrir une sphère (K > 0) sans déchirure. C'est pourquoi aucune carte plane de la Terre n'est parfaite ; la projection stéréographique garde les angles, mais pas les aires.
Bézout. Deux courbes de degrés m et n se coupent en m·n points, à condition de compter les points complexes, les points à l'infini et les multiplicités. L'énoncé n'est vrai que si les trois points de vue — algébrique, projectif et complexe — sont réunis.