Une ellipse garde constante la somme des distances à deux foyers. Remplacez la somme par le produit : vous obtenez une famille de courbes qui se pince, se coupe en deux, et que l'on retrouve dans le radar, l'électrostatique et la section d'un tore.
Une seule règle, quatre formes
Fixons deux points F₁ et F₂, les foyers, distants de 2a. Un ovale de Cassini est l'ensemble des points M tels que MF₁ × MF₂ = b², où b est une longueur choisie à l'avance. Tout dépend du rapport b/a : l'animation ci-dessous fait varier b et montre la courbe changer de nature.
Foyers en rouge, ovale courant en bleu, ovales précédents en gris clair. Le rapport b/a oscille entre 0,6 et 1,7.
Condition
Forme obtenue
Ce qui se passe
b < a
deux ovales séparés
le produit b² est trop petit pour qu'un point situé au milieu (MF₁ × MF₂ = a²) l'atteigne : chaque foyer garde son ovale.
b = a
lemniscate de Bernoulli
les deux ovales se touchent au milieu O et forment un « huit ».
a < b < a√2
un ovale cintré
une seule courbe, pincée à la taille comme une cacahuète.
b ≥ a√2
un ovale convexe
le pincement disparaît ; de loin la courbe ressemble à un cercle de rayon b.
(x² + y²)² − 2a²(x² − y²) = b⁴ − a⁴
C'est l'équation cartésienne, obtenue en élevant au carré MF₁² · MF₂² = b⁴ avec MF₁² = (x−a)² + y² et MF₂² = (x+a)² + y². Elle est de degré 4 : c'est une quartique.
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Le produit constant
Question : que veut dire « le produit des distances reste constant » quand on se promène sur la courbe ? Le point M parcourt l'ovale. À gauche on voit les deux segments MF₁ et MF₂ ; à droite on suit leurs longueurs. Quand l'une grandit, l'autre rétrécit exactement dans la proportion inverse.
M en bleu ; MF₁ en orange, MF₂ en violet. La trace laissée par M est l'ovale.ln MF₁ (orange) et ln MF₂ (violet) le long du parcours ; leur somme (rouge) reste à la hauteur ln b² (vert pointillé).
MF₁—
MF₂—
MF₁ × MF₂—
b² attendu—
écart relatif maximal sur 4000 points—
forme—
Ce qu'il faut retenir. Pour l'ellipse, MF₁ + MF₂ est constant ; ici c'est MF₁ × MF₂. En passant aux logarithmes, le produit devient une somme : ln MF₁ + ln MF₂ = ln b². Les deux courbes de droite sont donc le miroir l'une de l'autre autour de la ligne verte. Le contrôle compare, en 4000 points de la courbe tracée, le produit des deux distances mesurées à b² : l'écart reste au niveau de l'arrondi machine.
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Une famille et ses courbes orthogonales
Question : pourquoi ces courbes sont-elles si régulières ? Écrivons le point M comme un nombre complexe z et plaçons les foyers en +a et −a. Alors MF₁ × MF₂ = |z − a| · |z + a| = |z² − a²|. L'ovale de paramètre b est donc l'ensemble des z tels que |z² − a²| = b². La transformation w = z² − a² envoie chaque ovale sur un cercle centré en 0, et les demi-droites issues de 0 reviennent dans le plan z sous forme d'hyperboles équilatères passant par les foyers.
Plan z. Ovales en bleu, hyperboles en violet. Faites glisser le point P (rouge).Plan w = z² − a². Les ovales deviennent des cercles, les hyperboles des rayons. P′ est l'image de P.
P = x + iy—
PF₁ × PF₂ (mesuré)—
|P² − a²| (complexe)—
angle entre l'ovale et l'hyperbole en P—
écart à 90°—
ovale passant par P : b/a—
Pourquoi l'angle droit ? Dans le plan w, un cercle centré en 0 et un rayon issu de 0 se coupent toujours à angle droit. Or l'application z ↦ z² − a² conserve les angles partout où sa dérivée 2z n'est pas nulle (elle est conforme). L'angle est mesuré ici sans formule : on dérive numériquement les deux courbes paramétrées et on calcule l'angle de leurs tangentes. Approchez P de l'origine : en z = 0 la dérivée s'annule, les angles y sont doublés, et c'est là que la lemniscate se croise.
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Mesurer l'ovale : aire, hauteur, taille
Question : combien mesure un ovale de Cassini, et à partir de quand cesse-t-il d'être pincé ? Trois résultats se démontrent à partir de l'équation résolue en y : y² = √(b⁴ + 4a²x²) − x² − a². On les confronte chacun à une mesure faite directement sur la courbe tracée.
Aire en bleu clair. Points les plus hauts en rouge, demi-largeur en vert, sommet de l'axe vertical en orange avec son cercle osculateur (violet).Grandeur choisie en fonction de b/a (courbe bleue), avec la valeur courante (point rouge). Repères verticaux en b = a et b = a√2.
aire mesurée (polygone de 40 000 côtés, puis Richardson)—
aire par intégrale elliptique—
écart relatif—
hauteur maximale (section dorée)—
hauteur prédite—
courbure au sommet (3 points) / formule—
Trois formules, trois contrôles. L'aire vaut 2b²·E(a²/b²) pour b ≥ a, où E est l'intégrale elliptique complète de seconde espèce, calculée ici par la moyenne arithmético-géométrique ; pour b → ∞ elle tend vers πb², l'aire du cercle. La hauteur maximale vaut b²/(2a) tant que b ≤ a√2, puis √(b² − a²) au-delà : les deux formules se raccordent en b = a√2, où elles donnent toutes deux a. La courbure au sommet vaut (b² − 2a²)/(b²√(b² − a²)) : négative (pincement) avant a√2, nulle au seuil, positive après. C'est le seuil exact où la taille se remplit.
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Où les rencontre-t-on ?
Question : à quoi sert une courbe définie par un produit de distances ? Chaque fois qu'une grandeur physique décroît comme le produit de deux distances (ou de leurs puissances), ses lignes de niveau sont des ovales de Cassini. Trois exemples, de la mesure du ciel au radar.
Dans un radar bistatique, l'émetteur E et le récepteur R sont éloignés d'une distance L. L'onde parcourt E → cible → R ; sa puissance s'affaiblit en 1/RE² à l'aller et en 1/RR² au retour. Le rapport signal sur bruit vaut donc K/(RE·RR)² : il est constant sur les ovales de Cassini de foyers E et R. La zone de détection est l'intérieur de l'ovale où ce rapport atteint le seuil.
Carte du rapport signal sur bruit (plus foncé = plus fort). Ovale de détection en rouge, ovales à +10 et +20 dB en gris. La cible (point bleu) traverse la scène.
rapport ρ / (L/2)—
forme de la zone—
aire de détection—
aire monostatique πρ²—
signal de la cible / seuil—
cible détectée ?—
Lecture. ρ est la portée qu'aurait le même matériel si émetteur et récepteur étaient au même endroit (L = 0) : la zone serait alors un disque de rayon ρ. En les séparant on obtient un ovale de paramètre b = ρ, d'aire 2ρ²·E(a²/ρ²) toujours plus petite. Quand L/2 dépasse ρ, la zone se casse en deux îlots autour de E et de R : une cible au milieu de la base n'est plus vue.
Deux fils rectilignes parallèles, très longs, portent la même charge par unité de longueur. En coupe, le potentiel électrique vaut V = −k(ln r₁ + ln r₂) = −k·ln(r₁r₂) : les équipotentielles sont exactement les ovales de Cassini. Les lignes de champ, perpendiculaires aux équipotentielles, sont les hyperboles équilatères de la planche 2.
Équipotentielles en bleu, lignes de champ en violet, fils en rouge. La charge d'essai (orange) suit le champ calculé par Runge-Kutta, sans connaître les hyperboles.
V sur l'ovale choisi (200 points)—
dispersion de V sur cet ovale—
distance parcourue par la charge—
dérive de arg(z² − a²) le long du trajet—
Deux vérifications indépendantes. On calcule V directement par la somme des deux logarithmes en 200 points de l'ovale : la dispersion est de l'ordre de l'arrondi. Puis on intègre le champ E = Σ (z − zᵢ)/|z − zᵢ|² pas à pas ; la quantité arg(z² − a²), qui définit l'hyperbole, ne varie presque pas : la charge reste sur sa ligne de champ prévue.
Vers 1680, Jean-Dominique Cassini, astronome de l'Observatoire de Paris, proposa ces ovales comme alternative à l'ellipse de Kepler pour décrire le mouvement apparent du Soleil. Les deux courbes ci-dessous ont les mêmes foyers (distants de 2c) et la même largeur 2A. La différence la plus grande se trouve sur l'axe vertical.
Ellipse (vert, somme constante) et ovale de Cassini (bleu, produit constant), mêmes foyers (rouge). En bas, l'écart radial entre les deux courbes selon la direction, en fraction de A.
écart maximal mesuré (balayage de 200 000 directions)—
formule √(A² − c²) − √(A² − 2c²)—
écart / e² (tend vers 1/2)—
pour A = 1 unité astronomique—
Pourquoi le débat a-t-il pu durer ? L'écart vaut environ e²/2 fois le demi-grand axe. Pour l'orbite terrestre (e = 0,0167) cela fait à peine un dix-millième : une vingtaine de milliers de kilomètres sur 150 millions. Avec les instruments du XVIIᵉ siècle, la forme seule ne pouvait pas trancher ; c'est la mécanique de Newton (1687) qui a imposé l'ellipse.
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Signature : le tore tranché
Question : d'où viennent ces courbes, géométriquement ? Bien avant Cassini, vers 150 av. J.-C., le géomètre grec Persée étudiait les sections spiriques : les coupes d'un tore (une chambre à air) par un plan parallèle à son axe. Le tore a un rayon central R et un rayon de tube r ; le plan est à la distance d de l'axe. Quand d = r, c'est-à-dire quand le plan frôle l'intérieur du tube, la coupe est exactement un ovale de Cassini de foyers ±R et de paramètre b² = 2Rr.
Tore en perspective (faites-le tourner à la souris ou au doigt), plan de coupe en pointillé, section en rouge.La section vue de face, dans le plan de coupe. Quand d = r, l'ovale de Cassini théorique (bleu pointillé) se superpose à la coupe (rouge) ; foyers en ±R.
nature de la section—
b/a = √(2r/R) si d = r—
résidu de l'équation de Persée—
résidu de l'équation de Cassini—
points de section calculés—
Le calcul qui fait tout. La section n'est pas tirée d'une équation : à chaque hauteur z, le tore est un anneau de rayons R ± √(r² − z²), et le plan y = d le coupe en x = ±√(ρ² − d²). On remplace ensuite ces points dans l'équation de Cassini (a = R, b⁴ = 4R²r²) : le résidu tombe au niveau de l'arrondi machine si et seulement si d = r. Conséquence surprenante : b/a = √(2r/R). Un tore « normal » (r < R) ne donne jamais d'ovale convexe ; la lemniscate apparaît pour r = R/2, et l'ovale convexe exige r ≥ R, un tore qui se recoupe lui-même.
Repères historiques
vers −150Persée étudie les sections du tore par des plans parallèles à l'axe (sections spiriques) ; on ne connaît son travail que par le commentaire de Proclus.
1680Jean-Dominique Cassini propose les ovales qui portent son nom comme courbe du mouvement apparent du Soleil, à la place de l'ellipse de Kepler.
1687Les Principia de Newton déduisent l'ellipse de la loi de gravitation : l'hypothèse de Cassini est abandonnée en astronomie.
1694Jacques Bernoulli publie la lemniscate, sans remarquer qu'elle est un ovale de Cassini particulier (b = a).
1718Fagnano découvre comment doubler un arc de lemniscate à la règle et au compas, point de départ des fonctions elliptiques.
XIXᵉ siècleL'électrostatique et l'hydrodynamique plane utilisent le potentiel logarithmique : les équipotentielles de deux sources égales sont des ovales de Cassini.
XXᵉ siècleLes radars bistatiques décrivent leur couverture par des ovales de Cassini, qui délimitent les zones de rapport signal sur bruit constant.
En résumé
Une définition
MF₁ × MF₂ = b². Selon b/a : deux ovales (b < a), lemniscate (b = a), ovale cintré (a < b < a√2), ovale convexe (b ≥ a√2).
Une clé
En complexes, |z² − a²| = b². L'application z ↦ z² − a² transforme les ovales en cercles et leurs trajectoires orthogonales en hyperboles équilatères.
Des usages
Lignes de niveau d'un signal en 1/(r₁r₂)² (radar), équipotentielles de deux fils chargés, sections d'un tore à la distance r de l'axe.
Pour aller plus loin
Équation polaire. Avec l'origine au milieu des foyers, r² = a² cos 2θ ± √(b⁴ − a⁴ sin² 2θ). Pour b > a seul le signe + convient ; pour b < a les deux signes décrivent les deux bords de chaque ovale, sur les angles où sin 2θ ≤ b²/a².
Aire pour b < a. Les deux ovales réunis ont pour aire 2a²[E(κ) − (1 − κ²)K(κ)] avec κ = b²/a², où K est l'intégrale elliptique de première espèce. Pour b très petit, chaque ovale ressemble à un cercle de rayon b²/(2a) autour de son foyer.
Plus de deux foyers. Avec n foyers z₁, …, zₙ, l'ensemble des points où |z − z₁|···|z − zₙ| = c est une lemniscate polynomiale |p(z)| = c. Hilbert a montré que l'on peut approcher n'importe quelle courbe fermée par de telles lemniscates.
Lien avec la lemniscate. La page consacrée à la lemniscate de Bernoulli développe le cas b = a : sa longueur, l'arc doublé de Fagnano et le lien avec les fonctions elliptiques.