Donnez un poids différent à chacune des deux distances aux foyers, et l'ellipse se déforme en une courbe nouvelle. Descartes l'a inventée pour répondre à une question d'opticien : quelle forme donner à un verre pour que tous les rayons issus d'un point se rejoignent exactement en un autre ?
De l'ellipse à l'ovale
Un ovale cartésien est l'ensemble des points M tels que MF₁ + m·MF₂ = k, où F₁ et F₂ sont deux points fixes (les foyers), m un poids positif et k une longueur. Si m = 1, on retrouve l'ellipse du jardinier. Si m < 1, la distance au second foyer « compte moins » : la courbe s'éloigne de F₂ et perd sa symétrie gauche-droite. L'animation fait varier m de 1 à 0,3.
Foyers F₁ (à gauche) et F₂ (à droite) en rouge, ovale en bleu, ellipse de départ (m = 1) en gris pointillé.
Relation
Courbe obtenue
Où la retrouve-t-on ?
MF₁ + MF₂ = k
ellipse
planche 1 avec m = 1
MF₁ + m·MF₂ = k
ovale cartésien
planches 1, 2 et 5
un foyer rejeté à l'infini
ellipse ou hyperbole d'excentricité 1/n ou n
planche 3 : lentilles de Descartes
MF₁ − m·MF₂ = 0
cercle (d'Apollonius)
planche 4 : objectifs de microscope
Le lien avec l'optique vient du principe de Fermat : la lumière va d'un point à un autre en un temps stationnaire. Dans un milieu d'indice n, la lumière avance n fois moins vite que dans le vide, donc le « temps » d'un trajet est proportionnel au chemin optique n × longueur. Une surface qui sépare deux milieux d'indices n₁ et n₂ renvoie tous les rayons de F₁ vers F₂ exactement quand n₁·MF₁ + n₂·MF₂ est le même pour tous ses points M : c'est un ovale cartésien de poids m = n₂/n₁.
1
La somme pondérée
Question : qu'est-ce qui change quand on pèse les deux distances différemment ? Le point M parcourt l'ovale. À gauche, MF₁ en orange et MF₂ en violet ; à droite, on suit la somme simple MF₁ + MF₂, qui varie, et la somme pondérée MF₁ + m·MF₂, qui reste égale à k.
Ovale en bleu. En gris pointillé, l'« ovale conjugué » MF₁ − m·MF₂ = k : les deux courbes forment ensemble une seule courbe algébrique de degré 4.En fonction de l'angle de M vu depuis F₁ : somme simple (orange), somme pondérée (rouge), niveau k (vert pointillé).
MF₁—
MF₂—
MF₁ + MF₂ (somme simple)—
MF₁ + m·MF₂—
écart maximal à k sur 2000 points—
position de F₂—
Comment on trace la courbe. Pour chaque direction issue de F₁, on cherche le point M à la distance r de F₁ qui vérifie l'équation : en élevant au carré, m²·MF₂² = (k − r)² devient une équation du second degré en r. Avec m ≤ 1, la somme pondérée croît le long de chaque demi-droite issue de F₁, donc il y a exactement une solution par direction. On mesure ensuite MF₁ + m·MF₂ sur les points trouvés : l'écart à k reste au niveau de l'arrondi machine. Le curseur k ne descend pas sous m (sinon F₁ serait hors de la courbe) ; si k < 1, le second foyer est à l'extérieur de l'ovale, ce qui sera essentiel en optique.
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Le dioptre parfait de Descartes
Question : peut-on tailler un verre qui renvoie tous les rayons d'un point A vers un même point B ? Une source A est noyée dans un verre d'indice n ; la surface du verre est l'ovale n·MA + 1·MB = constante. Chaque rayon est dévié à la surface par la loi de Snell-Descartes n·sin i = sin r, calculée ici rayon par rayon. Déplacez ensuite la source : la perfection disparaît.
Verre (bleu clair) limité par l'ovale. Rayons dans le verre en rouge, rayons sortis dans l'air en orange. Si la source est décalée (violet), les rayons ne se rejoignent plus.
ovale : plus grande distance d'un rayon à B—
ovale : dispersion du chemin optique n·MA + MB—
source décalée : étalement des croisements de l'axe—
rayon de courbure au sommet—
ouverture utile maximale de l'ovale—
source décalée : rayons totalement réfléchis—
Le stigmatisme rigoureux. Avec la source en A, tous les rayons passent par B à l'arrondi machine près, et leur chemin optique n·MA + MB est le même : c'est le principe de Fermat à l'œuvre. Décalez la source, même de peu : les rayons coupent l'axe en des points différents. La perfection ne vaut que pour un couple de points, ce qui est déjà beaucoup : une surface sphérique ne l'offre pour aucun couple de points réels de ce type, d'où l'aberration sphérique des lentilles ordinaires. L'ovale a aussi une limite : au-delà d'un certain angle, B passe derrière le plan tangent à la surface et aucun rayon réfracté ne peut l'atteindre ; la page calcule cet angle et réduit l'ouverture en conséquence. Le rayon de courbure au sommet, mesuré sur la courbe, retrouve celui de l'optique paraxiale. Descartes décrit ces ovales en 1637 ; à son époque, on ne savait tailler que des surfaces sphériques, et ils sont restés longtemps théoriques. Les lentilles asphériques modernes, moulées en verre ou en plastique, réalisent ce rêve.
3
Quand un foyer part à l'infini : les lentilles de Descartes
Question : quelle surface concentre en un point des rayons qui arrivent parallèles, comme ceux d'une étoile ? Repoussons la source à l'infini : la distance à la source est remplacée par l'abscisse x, et l'ovale devient une conique. Descartes en tire deux résultats : une surface elliptique d'excentricité 1/n fait converger la lumière dans le verre ; une surface hyperbolique d'excentricité n la fait converger hors du verre.
Faisceau parallèle (rouge) entrant dans un verre limité par une ellipse d'excentricité 1/n ; rayons réfractés (orange) vers le foyer F.
surface—
excentricité de la conique—
plus grande distance d'un rayon au foyer—
dispersion du chemin optique—
Pourquoi une conique ? Depuis une source infiniment lointaine, toutes les ondes partent d'un même plan : le chemin jusqu'à la surface vaut x à une constante près. La condition devient x + n·MF = constante (air → verre) ou n·x + MF = constante (verre → air). Chacune dit que la distance à F est proportionnelle à la distance à une droite fixe : c'est la définition foyer-directrice d'une conique, d'excentricité 1/n dans le premier cas et n dans le second. La lentille plan-hyperbolique de Descartes (face plane, puis face hyperbolique) concentre ainsi un faisceau parallèle sans aberration sphérique ; c'est le principe des lentilles asphériques de collimation et de focalisation, par exemple devant les diodes laser.
4
La sphère aplanétique et le microscope
Question : une simple sphère peut-elle être parfaite ? Oui, pour un couple de points bien choisi. Plaçons la source A dans une boule de verre d'indice n et de rayon R, à la distance R/n du centre. Tous les rayons ressortent comme s'ils venaient d'un même point B, situé à la distance n·R du centre. B est une image virtuelle : les rayons ne s'y croisent pas, ce sont leurs prolongements vers l'arrière qui s'y rejoignent.
Rayons issus de A dans le verre (rouge), rayons sortis (orange), prolongements en arrière (gris pointillé) concourant en B.
plus grande distance des prolongements à B—
rapport MA / MB sur le cercle (min / max)—
sin u / sin u′ (attendu : n)—
demi-ouverture en sortie u′—
Un cercle d'Apollonius. Les points M tels que MA/MB = 1/n forment un cercle (Apollonius) : c'est l'ovale cartésien n·MA − MB = 0, où le signe moins traduit l'image virtuelle. La sphère est donc stigmatique pour A et B, et même aplanétique : un petit objet autour de A donne une image nette. Le cône de lumière ressort resserré : sin u = n·sin u′. Déplacez A hors de R/n : les prolongements ne se rejoignent plus. Cette propriété est utilisée dans la lentille frontale hémisphérique des objectifs de microscope (Amici, XIXᵉ siècle) et, avec une huile d'immersion de même indice que le verre, dans les objectifs à immersion d'Abbe (1878), qui captent des cônes de lumière très ouverts.
5
Signature : le troisième foyer
Question : un ovale cartésien a-t-il vraiment deux foyers ? Il en a trois, alignés. Le même ovale MF₁ + m·MF₂ = k s'écrit aussi MF₁ + p·MF₃ = q avec un autre foyer F₃ et un autre poids p : deux « ficelles pondérées » différentes tracent exactement la même courbe. La page calcule F₃ par une formule, puis le retrouve à l'aveugle, en cherchant sur l'axe le point qui rend la courbe définissable avec F₁.
Les trois foyers en rouge, l'ovale en bleu. Les trois segments MF₁ (orange), MF₂ (violet), MF₃ (vert) suivent M. En bas, les trois relations restent constantes.Position du troisième foyer (en unités de F₁F₂) en fonction du poids m, pour la valeur courante de k. Si k > 1, F₃ part à l'infini quand m → 1 : l'ellipse n'a que deux foyers. Si k < 1, la courbe s'arrête en m = k, où F₃ rejoint F₁.
F₃ par la formule (k² − m²)/(1 − m²)—
F₃ retrouvé à l'aveugle—
MF₁ + m·MF₂ − k (2000 points)—
MF₁ + p·MF₃ − q (2000 points)—
MF₂ − (1/k)·MF₃ − q′ (2000 points)—
poids p = m/k et constante q = F₃/k—
D'où vient le troisième foyer ? En élevant au carré MF₁ + m·MF₂ = k, les termes en x² + y² de MF₁² − m²·MF₂² se regroupent autour d'un point de l'axe. Le calcul fait apparaître un point F₃ d'abscisse (k² − m²)/(1 − m²) (avec F₁ = 0 et F₂ = 1), et la même courbe vérifie MF₁ + (m/k)·MF₃ = F₃/k, ainsi qu'une relation entre MF₂ et MF₃. Les trois résidus mesurés sur 2000 points restent au niveau de l'arrondi machine. La recherche à l'aveugle, qui ne connaît pas la formule, tombe sur le même point. Ce troisième foyer a été mis en évidence au XIXᵉ siècle par Michel Chasles. Optiquement, il dit qu'une même surface pourrait être parfaite pour deux couples de points différents, avec deux rapports d'indices différents.
Repères historiques
1637Descartes publie La Dioptrique et La Géométrie : loi de la réfraction, ovales qui font converger exactement la lumière, lentilles elliptiques et hyperboliques.
1662Fermat retrouve la loi de la réfraction par le principe du temps minimal : l'ovale est la surface où tous les chemins optiques sont égaux.
1690Huygens, dans le Traité de la lumière, explique ces surfaces par la propagation des ondes.
XIXᵉ siècleMichel Chasles met en évidence le troisième foyer des ovales cartésiens.
XIXᵉ siècleAmici utilise une lentille frontale hémisphérique aplanétique dans ses objectifs de microscope.
1878Ernst Abbe et Carl Zeiss réalisent l'objectif à immersion homogène dans l'huile.
XXᵉ siècleLes lentilles asphériques moulées rendent industrielles les surfaces imaginées par Descartes.
En résumé
Une définition
MF₁ + m·MF₂ = k. Pour m = 1, l'ellipse ; pour m < 1, un ovale sans symétrie gauche-droite, accompagné d'un ovale conjugué.
Une propriété optique
Un dioptre en forme d'ovale cartésien, avec m = n₂/n₁, envoie tous les rayons d'un point vers un autre : stigmatisme rigoureux, sans aberration sphérique.
Des cas célèbres
Foyer à l'infini : lentilles elliptiques et hyperboliques de Descartes. Constante nulle : la sphère aplanétique des microscopes. Et partout, un troisième foyer caché.
Pour aller plus loin
Équation. Avec F₁ = (0, 0) et F₂ = (d, 0), l'ovale et son conjugué forment la quartique [(1 − m²)(x² + y²) + 2m²dx − m²d² + k²]² = 4k²(x² + y²).
Cas particuliers. Selon les paramètres, la famille contient aussi le limaçon de Pascal et la cardioïde, lorsque deux des trois foyers se confondent.
Lien avec l'ellipse et les ovales de Cassini. L'ellipse garde constante la somme des distances, les ovales de Cassini leur produit, les ovales cartésiens une somme pondérée. Les pages voisines traitent les deux premiers cas.