Les géométries

Les géométries : un même monde, plusieurs regards

Euclide raisonne avec la règle et le compas, Descartes avec des équations, Grassmann avec des flèches, Diophante avec des nombres entiers, Lobatchevski avec une surface courbe. Ce ne sont pas des sujets différents : ce sont des outils différents pour regarder les mêmes figures — et chacun voit des choses que les autres ne voient pas.

Une figure, cinq lunettes

Le même triangle passe sous cinq regards successifs. Ce qui change n'est pas la figure, mais la question que l'on sait poser et le moyen d'y répondre.

De gauche à droite : constructions au compas, repère et équations, flèches qui s'additionnent, points à coordonnées entières, triangle tracé sur une surface courbe.

Géométrie	Ce que l'on manipule	L'outil	Une question typique	Planche
Euclidienne (synthétique) vers −300	points, droites, cercles, longueurs comparées	règle, compas, axiomes et déduction	Existe-t-il un cercle passant par les trois sommets d'un triangle ?	1
Analytique 1637	couples de nombres (x ; y) dans un repère	équations, systèmes, calcul algébrique	Quelle est l'équation de ce cercle, et où est son centre ?	2
Vectorielle XIXᵉ s.	déplacements (flèches) que l'on additionne	somme de vecteurs, produit scalaire	Pourquoi les trois hauteurs d'un triangle se coupent-elles en un point ?	3
Diophantienne IIIᵉ s. → XXᵉ s.	points d'une courbe à coordonnées entières ou fractionnaires	arithmétique exacte, constructions par sécantes	Quels points entiers sont sur cette hyperbole ? En existe-t-il une infinité ?	4
Non euclidiennes 1829 → 1868	« droites » tracées sur une surface courbe	courbure, métrique	Par un point, combien de parallèles à une droite ? Que vaut la somme des angles ?	5

Le mot géométrie désigne donc à la fois un objet (l'espace, les figures) et une méthode. On ajoute souvent à cette liste la géométrie affine (sans distances), projective (avec des points à l'infini), différentielle (avec la courbure) et algébrique (les courbes définies par des polynômes) : elles sont traitées dans d'autres pages du cahier, et rappelées à la fin.

La géométrie euclidienne : raisonner sans mesurer

L'idée : on ne mesure rien. On ne dispose que d'une règle sans graduation (pour tracer une droite par deux points) et d'un compas (pour tracer un cercle de centre donné passant par un point donné). Les vérités viennent de quelques axiomes — des affirmations admises au départ — et de la déduction.

Question : un triangle ABC possède-t-il toujours un cercle passant par ses trois sommets (son cercle circonscrit) ? Euclide répond par une construction (Éléments, livre IV, proposition 5). Suivez-la pas à pas ; déplacez A, B ou C à tout moment : la construction se refait d'elle-même.

Points A, B, C déplaçables. Bleu : la figure ; gris : traits de construction ; rouge : le point obtenu.

Étape de la construction0 / 9

Coups de compas

Coups de règle

OA · OB · OC (mesurés après coup)

—

Plus grand écart entre OA, OB, OC

—

Distance de O à la 3ᵉ médiatrice

—

Ce qu'il faut retenir. La preuve ne contient aucun nombre : O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB ; il est sur celle de [BC], donc OB = OC ; d'où OA = OC. Les mesures affichées (à la précision de la machine) ne prouvent rien : elles confirment ce que le raisonnement a établi pour tous les triangles à la fois. Seule exception, que la construction révèle d'elle-même : si A, B, C sont alignés, les deux médiatrices sont parallèles et O n'existe pas.

La géométrie analytique : la figure devient équation

L'idée de Descartes et de Fermat (1637) : on choisit un repère — une origine et deux axes gradués — et chaque point devient un couple de nombres (x ; y). Une droite devient une équation du premier degré, un cercle une équation du second degré, et « trouver un point » devient « résoudre un système ».

Le même triangle que ci-dessus (déplacer un sommet ici le déplace partout). La médiatrice de [AB] est l'ensemble des points M tels que MA² = MB² ; en développant, les termes x² et y² disparaissent et il reste une équation de droite. Deux médiatrices donnent deux équations : la règle de Cramer fournit le centre. Faites tourner ou glisser le repère.

Le quadrillage du papier ne bouge pas ; seul le repère (axes violets) change. Les coordonnées affichées sont celles du repère choisi.

Rotation du repère0°

Origine : abscisse0

Origine : ordonnée0

Centre par Cramer (repère choisi)

—

Écart avec le point O construit au compas

—

Rayon R = √(D²/4 + E²/4 − F)

—

Écart de R avec le rayon au repère d'origine

—

Ce qu'il faut retenir. Les coordonnées et les équations changent dès qu'on bouge le repère ; le centre, lui, retombe toujours sur le point construit au compas, et le rayon ne bouge pas. La géométrie, c'est précisément ce qui ne dépend pas du repère. En échange de ce choix arbitraire, on gagne une méthode automatique : plus besoin d'idée, il suffit de calculer — et l'alignement de A, B, C se lit d'un coup, c'est le déterminant du système qui s'annule.

La géométrie vectorielle : les flèches qui s'additionnent

L'idée : un vecteur est un déplacement — une direction, un sens, une longueur — indépendant de son point de départ. On peut les mettre bout à bout (addition) et les comparer par le produit scalaire u·v, nul exactement quand les deux flèches sont perpendiculaires. On calcule sur la figure sans repère imposé.

Partons du centre O du cercle circonscrit et mettons bout à bout les trois flèches OA, OB et OC. On arrive en un point H. Surprise : H est sur les trois hauteurs du triangle (la droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé).

Bleu : OA, OB, OC mis bout à bout. Gris pointillé : les hauteurs. Violet : la droite d'Euler par O, G et H. Vert : le cercle des neuf points.

Mise bout à bout3,00

droite d'Euler cercle des neuf points

Écart entre O + OA + OB + OC et l'intersection des hauteurs

—

Produit scalaire AH · BC

—

OH / OG (G : centre de gravité)

—

Cercle des neuf points : plus grand écart au rayon R/2

—

La preuve tient en deux lignes. Notons a, b, c les vecteurs OA, OB, OC : ils ont la même longueur R. Le vecteur AH vaut b + c et le vecteur BC vaut c − b, donc AH · BC = (c + b)·(c − b) = |c|² − |b|² = R² − R² = 0. AH est perpendiculaire à BC ; de même pour BH et CH. Comme G = O + (a + b + c)/3, on a aussi OH = 3 OG : O, G, H sont alignés (droite d'Euler, 1765). Euclide aurait eu besoin d'une page de figures auxiliaires.

La géométrie diophantienne : les points à coordonnées entières

L'idée : on prend une courbe définie par une équation à coefficients entiers et l'on ne s'intéresse qu'à ses points dont les coordonnées sont des nombres entiers ou des fractions (nombres rationnels). La question devient arithmétique : y en a-t-il ? combien ? comment les fabriquer ? Elle porte le nom de Diophante d'Alexandrie (IIIᵉ siècle), qui cherchait des solutions en fractions à des équations de ce type.

L'équation x² − D y² = 1 (D entier, non carré) dessine une hyperbole. Sur le quadrillage des points entiers, très peu tombent exactement dessus. Le premier est parfois minuscule (D = 2 : 3² − 2·2² = 1), parfois gigantesque : pour D = 61, défi lancé par Fermat en 1657, il faut aller jusqu'à x = 1 766 319 049. Le point vraiment géométrique est que les solutions se composent : de deux solutions on en fabrique une troisième (règle de Brahmagupta, VIIᵉ siècle), si bien qu'une seule suffit à les engendrer toutes.

Valeur de D2

Fenêtre (x maximal)24

Points entiers : gris ; sur l'hyperbole exactement : rouge. Plus la couleur d'un point est soutenue, plus |x² − D y²| est petit.

Nombre de chiffres de la n-ième solution : les points s'alignent. La pente, mesurée entre les deux dernières solutions, est le nombre de chiffres gagnés à chaque étape.

Plus petite solution (x₁ ; y₁)

—

Solutions vérifiées en entiers exacts

—

Recherche exhaustive d'une solution plus petite

—

Pente mesurée (de x₉ à x₁₀) contre log₁₀(x₁ + y₁√D)

—

Ce qu'il faut retenir. Si (x₁ ; y₁) est une solution, (x₁ + y₁√D)ⁿ = xₙ + yₙ√D en donne une nouvelle pour chaque n : xₙ₊₁ = x₁xₙ + D y₁yₙ et yₙ₊₁ = x₁yₙ + y₁xₙ. Les solutions sont donc en nombre infini, mais de plus en plus espacées — chaque nouvelle solution a un nombre fixe de chiffres en plus. La géométrie (une hyperbole) et l'arithmétique (des entiers) se rencontrent : c'est cela, la géométrie diophantienne.

Sur la courbe y² = x³ + c, prenons un point rationnel P. La tangente en P recoupe la courbe en un troisième point, dont les coordonnées sont encore des fractions (l'équation du troisième degré a deux racines rationnelles connues, donc la troisième l'est aussi). On le symétrise par rapport à l'axe horizontal : c'est 2P. La droite passant par P et 2P donne de même 3P, et ainsi de suite. Bachet de Méziriac (1621) avait déjà écrit la formule : pour y² = x³ − 2 et P = (3 ; 5), on obtient 2P = (129/100 ; −383/1000).

Courbe et point de départ

Nombre d'étapes n2

Bleu : la courbe ; rouge : les points kP ; orange : la dernière sécante (ou tangente), le troisième point creux et sa symétrisation. Une flèche au bord signale un point hors du cadre.

Abscisse de nP (fraction exacte)

—

Points vérifiés sur la courbe en fractions exactes

—

Contrôle par la formule de Bachet (n pair)

—

Chiffres du dénominateur ÷ n² (pente mesurée)

—

Ce qu'il faut retenir. La construction par sécantes est une addition de points (Poincaré, 1901) : la géométrie fabrique des solutions que l'arithmétique seule ne laisse pas deviner. Leur taille explose : le nombre de chiffres du dénominateur croît comme n², proportionnellement à une « hauteur » propre à chaque point de départ. Mordell (1922) a prouvé que tous les points rationnels de ces courbes s'obtiennent ainsi à partir d'un nombre fini d'entre eux ; Faltings (1983), que les courbes plus compliquées (de « genre » au moins 2, comme y² = x⁵ + 1) n’en ont qu’un nombre fini.

Changer un seul axiome : les géométries non euclidiennes

Le cinquième postulat d'Euclide revient à dire : par un point extérieur à une droite passe une et une seule parallèle. Pendant vingt siècles, on a cherché à le démontrer à partir des autres. Gauss, Lobatchevski (1829) et Bolyai (1832) ont compris qu'on pouvait le remplacer : on obtient alors des géométries tout aussi cohérentes, où les « droites » sont les chemins les plus courts d'une surface courbe.

Un seul curseur, la courbure K, fait passer de l'une à l'autre. K > 0 : la sphère, où les droites sont des grands cercles. K = 0 : le plan d'Euclide. K < 0 : le plan hyperbolique, dont le bord (cercle gris) est à distance infinie. Grâce à une carte choisie par Beltrami (1868), les droites de chacune de ces géométries sont dessinées par de vrais segments rectilignes : seules les longueurs et les angles sont déformés.

Sommets déplaçables. Les petits anneaux gris sont tous des cercles de même rayon vrai : leur déformation montre comment la carte écrase ou dilate l'espace.

Courbure K−1,00

Somme des angles (loi des cosinus de courbure K)

—

Écart avec les angles mesurés par la métrique aux sommets

—

Aire vraie (intégrée sur la carte)

—

(somme − 180°) en radians ÷ K, contre l'aire

—

Longueurs vraies des côtés a · b · c

—

Ce qu'il faut retenir. Sur la sphère, la somme des angles dépasse 180° ; dans le plan hyperbolique, elle est inférieure ; dans le plan, elle vaut exactement 180°. Et l'écart n'est pas quelconque : somme − π = K × aire (théorème de Gauss-Bonnet), contrôlé ci-dessus par deux calculs qui ne se parlent pas — la trigonométrie d'un côté, une intégrale d'aire sur la carte de l'autre. Un triangle minuscule a une somme très proche de 180° : c'est pourquoi la géométrie d'Euclide est excellente à notre échelle, même sur la Terre ronde.

Déplacez le point P et les deux points bleus qui portent la droite d. Vert : la parallèle unique ; rouge : les deux parallèles limites ; orange : quelques droites qui ne coupent jamais d.

Courbure K−1,00

Parallèles à d passant par P

—

Distance vraie de P à d

—

Angle de parallélisme mesuré

—

Formule de Lobatchevski 2·arctan(e^(−d√−K)) et écart

—

La signature de la page. Aucune parallèle sur la sphère (deux grands cercles se coupent toujours), une seule dans le plan, une infinité dans le plan hyperbolique, comprises entre deux parallèles limites qui ne rejoignent d au bord qu'« à l'infini ». L'angle qu'elles font avec la perpendiculaire — l'angle de parallélisme — ne dépend que de la distance de P à d, exactement comme l'avait calculé Lobatchevski : plus P est loin, plus l'angle se ferme. Quand K tend vers 0, cet angle tend vers 90° et l'on retrouve Euclide.

Vingt-trois siècles de regards

−300Euclide, Éléments : définitions, cinq postulats, déduction. Le modèle de toute démonstration pendant deux millénaires.
250Diophante, Arithmetica : solutions en fractions d'équations polynomiales ; il obtient de nouvelles solutions à partir d'anciennes.
628Brahmagupta compose deux solutions de x² − Dy² = 1 en une troisième.
1621Bachet de Méziriac publie Diophante en latin et la formule de duplication sur y² = x³ + c.
1637Descartes, La Géométrie ; Fermat au même moment : les courbes deviennent des équations.
1765Euler : O, G et H sont alignés.
1829Lobatchevski, puis Bolyai (1832) : une géométrie où passent une infinité de parallèles. Gauss y pensait sans publier.
1844Grassmann, Ausdehnungslehre : calculer directement sur les grandeurs orientées ; Hamilton (1843) puis Gibbs fixent le calcul vectoriel.
1854Riemann : la géométrie d'un espace est donnée par la façon d'y mesurer les longueurs ; la courbure peut varier d'un point à l'autre.
1868Beltrami construit des modèles concrets du plan hyperbolique : il est aussi cohérent que le plan d'Euclide.
1872Klein, programme d'Erlangen : une géométrie, c'est un groupe de transformations et ce qu'il laisse invariant.
1899Hilbert réécrit les axiomes d'Euclide sans aucun recours à la figure.
1922Mordell : les points rationnels d'une courbe y² = x³ + ax + b s'engendrent à partir d'un nombre fini d'entre eux.
1983Faltings : une courbe de genre au moins 2 n'a qu'un nombre fini de points rationnels.

Synthétique

Euclide et la géométrie non euclidienne partagent la même méthode : des axiomes, puis des déductions. Changer un axiome, c'est changer de monde — sans contradiction.

Calculatoire

Analytique et vectorielle remplacent l'idée ingénieuse par un calcul. L'analytique a besoin d'un repère ; la vectorielle calcule directement sur les déplacements, et ses preuves sont souvent les plus courtes.

Arithmétique

La géométrie diophantienne regarde les mêmes courbes avec des yeux d'arithméticien : la forme de la courbe décide s'il y aura aucun, une infinité ou un nombre fini de points rationnels.

Pour aller plus loin : les autres géométries

Affine : on garde les droites, le parallélisme et les milieux, mais on oublie distances et angles (page « L'espace affine et l'espace euclidien »). Projective : on ajoute les points à l'infini, et deux droites du plan se coupent toujours (page « La géométrie projective »). Différentielle : on étudie courbes et surfaces par leur courbure, qui peut varier d'un point à l'autre — c'est la généralisation de Riemann, et le langage de la relativité générale. Algébrique : les ensembles de solutions d'équations polynomiales ; la géométrie diophantienne en est la branche arithmétique (page « Quatre géométries, une même figure »).

Dans la carte de la planche 5, les distances se calculent par une seule formule pour toutes les courbures : avec ⟨u, v⟩ = 1 + K u·v, on a cos(d√K) = ⟨u, v⟩ / √(⟨u, u⟩⟨v, v⟩) si K > 0, et la même formule avec cosh si K < 0. L'élément d'aire vaut dx dy / (1 + K r²)^(3/2). Pour K > 0 c'est la projection gnomonique de la sphère (depuis son centre), pour K < 0 le modèle de Beltrami-Klein.

Les contrôles affichés sur la page sont tous indépendants : construction au compas contre système de Cramer (planche 2), somme vectorielle contre intersection des hauteurs (planche 3), récurrence de Brahmagupta contre vérification x² − Dy² = 1 en entiers exacts et recherche exhaustive (planche 4), addition par sécantes contre formule de Bachet (planche 4), loi des cosinus contre angles mesurés par la métrique, et excès angulaire contre intégrale d'aire (planche 5).