Géométrie

Les tangentes à la lemniscate et leur droite cachée

D'un point M de la lemniscate de Bernoulli partent quatre tangentes à la courbe ; leurs points de contact sont alignés sur une droite D(M), et cette droite enveloppe une hyperbole équilatère. Cinq planches pour le voir et le démontrer.

L'énoncé et la stratégie

Soit Γ la lemniscate de Bernoulli définie, dans un repère orthonormé, par x = a·t/(1 + t⁴), y = a·t³/(1 + t⁴).

De chaque point M de Γ on peut mener à la courbe quatre tangentes autres que la tangente en M (avec des restrictions concernant la réalité).

Montrer que les points de contact de ces tangentes sont situés sur une droite D(M). Trouver l'enveloppe de D(M) quand M décrit Γ.

Deux mots à définir. Une tangente menée de M est une droite qui passe par M et touche Γ en un autre point, appelé point de contact. L'enveloppe d'une famille de droites est la courbe à laquelle chacune de ces droites est tangente : on ne la trace jamais, elle apparaît d'elle-même quand on dessine beaucoup de droites de la famille.

La stratégie, en une phrase : une droite αx + βy + γ = 0 coupe Γ aux paramètres racines de γt⁴ + aβt³ + aαt + γ = 0, un polynôme sans terme en t² et dont les coefficients extrêmes sont égaux. Quatre paramètres sont donc ceux de quatre points alignés exactement quand leur produit vaut 1 et que la somme de leurs produits deux à deux est nulle. Toute la géométrie de l'exercice se ramène à ces deux égalités.

M parcourt la lemniscate (bleu) ; les deux tangentes réelles issues de M (orange) touchent la courbe en deux points de la droite D(M) (rouge), qui reste tangente à l'hyperbole (vert) en E.
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La lemniscate et son paramétrage

La courbe est un huit couché le long de la première bissectrice. En élevant au carré, x² + y² = a²t²/(1+t⁴) et xy = a²t⁴/(1+t⁴)², d'où son équation (x² + y²)² = a²·xy. Le paramétrage révèle ses symétries : changer t en −t donne le point symétrique par rapport à O, changer t en 1/t échange x et y (symétrie par rapport à la droite y = x). Le point O est atteint deux fois, pour t = 0 et pour t infini ; les deux branches y passent tangentes aux axes. Enfin, c'est le lieu des points dont le produit des distances aux deux foyers F(a/(2√2) ; a/(2√2)) et F′ (symétrique de F par rapport à O) vaut a²/4.

M(t) en bleu foncé, ses images M(−t) et M(1/t) en violet, les foyers F et F′ en vert.
M(t)—
(x² + y²)² − a²xy en M—
M(1/t) contre (y ; x) : écart—
MF · MF′ contre a²/4—
À retenir. L'équation (x² + y²)² = a²xy est de degré 4 : une droite coupe Γ en au plus quatre points. C'est cette quartique, vue à travers le paramètre t, qui va porter toute la démonstration. Le réglage de a sert à toute la page ; il ne fait que changer l'échelle.
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L'outil : quand quatre points sont-ils alignés ?

Remplaçons x et y par le paramétrage dans αx + βy + γ = 0 et multiplions par 1 + t⁴ :

γ·t⁴ + aβ·t³ + 0·t² + aα·t + γ = 0.

Les relations entre coefficients et racines donnent aussitôt, pour les quatre paramètres t₁, t₂, t₃, t₄ des points d'intersection (réels ou complexes) : t₁t₂t₃t₄ = 1 (coefficients extrêmes égaux) et σ₂ = Σ tᵢtⱼ = 0 (pas de terme en t²). Réciproquement, si quatre nombres vérifient ces deux relations, le polynôme qui les a pour racines a la forme ci-dessus, et c'est celui d'une droite : les quatre points sont alignés. Faites tourner et glisser la droite pour le vérifier.

La droite (rouge) et ses points réels d'intersection avec Γ ; les paramètres complexes n'ont pas de point dessiné.
paramètres tᵢ (réels ou complexes)—
produit t₁t₂t₃t₄—
σ₂ = Σ tᵢtⱼ—
points réels : distance max à la droite—
Le critère d'alignement. Quatre points de paramètres t₁, …, t₄ sont alignés si et seulement si t₁t₂t₃t₄ = 1 et Σ tᵢtⱼ = 0. Le critère vaut aussi quand deux paramètres sont complexes conjugués : c'est ce qui permettra de parler de « droite D(M) » même lorsque deux points de contact ne sont pas réels.
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La tangente en un point et ses deux autres points

Une droite est tangente en M(u) quand u est racine double de son polynôme. Ses racines sont alors u, u, v, w, et le critère de la planche 2 s'écrit u²vw = 1 et u² + 2u(v + w) + vw = 0, d'où

v·w = 1/u²,    v + w = −(1 + u⁴)/(2u³).

v et w sont réels quand (v + w)² ≥ 4vw, c'est-à-dire u⁴ − 4u² + 1 ≥ 0 : u² ≤ 2 − √3 = tan 15° ou u² ≥ 2 + √3 = tan 75°. Comme y/x = u², cela veut dire que l'angle polaire de M(u) est au plus 15° ou au moins 75° (à 180° près). Aux deux bornes v = w = −1/u : la tangente touche aussi l'autre boucle, c'est une tangente commune aux deux boucles, parallèle à la bissectrice.

La tangente en M(u) (orange) et ses deux autres points d'intersection v, w (rouge) quand ils sont réels. Pointillés verts : les deux tangentes communes aux boucles.
v et w (racines du polynôme de la tangente)—
v·w contre 1/u²—
v + w contre −(1+u⁴)/(2u³)—
u⁴ − 4u² + 1 (signe de la réalité)—
angle polaire de M(u) (bornes 15° et 75°)—
u⁴ − 4u² + 1 aux bornes u² = tan 15°, tan 75°—
À retenir. Quand l'angle polaire de M est compris entre 15° et 75° (la partie de la boucle la plus éloignée de O), la tangente ne recoupe plus la courbe en aucun point réel : les deux autres intersections sont complexes conjuguées. C'est la première trace des « restrictions concernant la réalité » de l'énoncé.
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Question 1 : les tangentes issues de M et la droite D(M)

Fixons M = M(m) et cherchons les points de contact u des tangentes passant par M. La tangente en u a pour racines u, u, m, w ; le critère donne u²mw = 1, donc w = 1/(u²m), puis u² + 2um + 2uw + mw = 0. En remplaçant w et en multipliant par u²m :

m·u⁴ + 2m²·u³ + 0·u² + 2·u + m = 0.

C'est exactement le polynôme d'une droite (coefficients extrêmes égaux, pas de terme en u²) : avec γ = am, β = 2m², α = 2, ses quatre racines sont les points de Γ sur la droite D(M) : 2x + 2m²y + am = 0. Réalité : pour m > 0, tous les coefficients sont positifs, donc aucune racine positive ; le polynôme en −u n'a que deux changements de signe (règle de Descartes), donc au plus deux racines négatives ; et f(−1) = −2(m² − m + 1) < 0 < f(0) = m en garantit deux, de part et d'autre de −1. On peut donc toujours mener exactement deux tangentes réelles, qui touchent la boucle opposée ; les deux autres sont imaginaires (même conclusion pour m < 0 par symétrie).

M (bleu foncé), tangente en M (gris), les deux tangentes réelles issues de M (orange), leurs points de contact (rouge) et la droite D(M) (rouge).
Le polynôme f(u) = m u⁴ + 2m² u³ + 2u + m : ses deux racines réelles encadrent −1 (ou +1 si m < 0), où f prend le signe contraire de f(0).
les quatre racines u—
contacts réels : distance max à D(M)—
M sur les tangentes en ces contacts : écart max—
∏ u et Σ uᵢuⱼ (attendus 1 et 0)—
Σ u contre −2m—
f(0) et f(∓1)—
À retenir. On n'a jamais eu à résoudre l'équation de degré 4 : il a suffi de remarquer qu'elle avait la forme du polynôme d'une droite. D(M) ne rencontre jamais la boucle de M (pour M dans le premier quadrant, 2x + 2m²y y est positif alors que −am est négatif) ; elle coupe la boucle opposée en deux points réels, et ses deux autres points sont imaginaires.
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Signature : l'enveloppe est une hyperbole équilatère

La famille D(m) : 2x + 2m²y + am = 0 dépend d'un paramètre. Le point où D(m) touche son enveloppe s'obtient en annulant aussi la dérivée par rapport à m : 4my + a = 0. On trouve E(m) = (−am/4 ; −a/(4m)), d'où xy = a²/16 : l'enveloppe est une hyperbole équilatère, d'asymptotes les axes. Ces axes sont d'ailleurs les deux droites D(O) obtenues pour m = 0 et m infini.

lemniscate ΓD(M) actuellehyperbole xy = a²/16 et point Efamille des droites D
m—
E par la formule—
D(m) ∩ D(m+h) contre E, h = 10⁻³ puis 10⁻⁴—
16·xy/a² en E—
discriminant de D(m) ∩ hyperbole (relatif)—

Comparons E à M. En écriture complexe, M = z et E = −i·a²/(4z) : OE est la symétrique de la droite OM par rapport à la seconde bissectrice y = −x, et OM·OE = a²/4. E se déduit donc de M par une inversion de centre O et de rayon a/2 suivie d'une symétrie. L'enveloppe de D(M) est, à cette symétrie près, l'inverse de la lemniscate elle-même : on retrouve le résultat classique selon lequel l'inverse d'une lemniscate par rapport à son centre est une hyperbole équilatère.

Cercle d'inversion de rayon a/2 (violet), seconde bissectrice (gris). Chaque point bleu de Γ a son image verte, qui tombe sur l'hyperbole.
OM·OE contre a²/4—
−i a²/(4z) contre E(m) : écart—
angles de OM et OE avec y = −x—
images des points de Γ : écart max à xy = a²/16—
La réponse. Quand M décrit Γ, la droite D(M) : 2x + 2m²y + am = 0 enveloppe l'hyperbole équilatère xy = a²/16, qu'elle touche au point E(−am/4 ; −a/(4m)). Le point de contact E est situé du côté opposé à M ; il se déduit de M par une inversion de rayon a/2 composée avec la symétrie par rapport à y = −x.

Le fil de la solution

  1. Une droite αx + βy + γ = 0 coupe Γ aux racines de γt⁴ + aβt³ + aαt + γ = 0.
  2. Critère d'alignement : t₁t₂t₃t₄ = 1 et Σ tᵢtⱼ = 0.
  3. Tangente en u passant par M(m) : racines u, u, m, w ; on élimine w = 1/(u²m).
  4. Les contacts sont racines de m u⁴ + 2m² u³ + 2u + m = 0, polynôme de la droite D(M) : 2x + 2m²y + am = 0.
  5. Réalité : règle de Descartes et signe de f(−1) : exactement deux tangentes réelles, toujours.
  6. Enveloppe : D(m) et sa dérivée en m donnent E(−am/4 ; −a/(4m)), sur l'hyperbole xy = a²/16, inverse de Γ à une symétrie près.

Un critère en deux lignes

Le paramétrage transforme l'alignement de quatre points en deux relations symétriques sur les paramètres : produit égal à 1, somme des produits deux à deux nulle.

Reconnaître sans résoudre

L'équation des points de contact n'est jamais résolue : on reconnaît qu'elle a la forme d'une équation de droite, et la droite D(M) se lit sur ses coefficients.

Une hyperbole cachée

Les droites D(M) dessinent l'hyperbole xy = a²/16, image de la lemniscate par une inversion de centre O : deux courbes classiques réunies par un seul exercice.

Pour aller plus loin

Le point O. Pour m = 0 ou m infini, M est en O et le raisonnement dégénère : D(O) devient l'axe des y (m = 0) ou l'axe des x (m infini). Ce sont les asymptotes de l'hyperbole, ce qui est cohérent avec E qui part à l'infini.

Les tangentes communes. Les deux tangentes communes aux boucles, touchant Γ aux points d'angle polaire 15° et 75° (paramètres u et −1/u avec u² = tan 15°), sont parallèles à y = x ; leurs points de contact (a/(4u) ; au/4) sont d'ailleurs sur l'hyperbole xy = a²/16 de la planche 5. Elles marquent la frontière entre les tangentes qui recoupent la courbe et celles qui ne la recoupent pas.

La lemniscate comme ovale de Cassini. Le produit MF·MF′ = a²/4 fait de Γ l'ovale de Cassini limite, celui qui passe par le milieu des foyers. La constante a²/4 est aussi la puissance de l'inversion qui envoie M sur E.

La règle de Descartes. Le nombre de racines positives d'un polynôme réel est au plus égal au nombre de changements de signe de la suite de ses coefficients (et de même parité). Appliquée à f(u) puis à f(−u), elle borne à zéro les racines positives et à deux les négatives.