Géométrie

La lemniscate de Bernoulli

Un huit couché né d'une condition de produit de distances, qu'une bielle de Watt sait tracer, et dont la longueur a mené Fagnano, Euler, Gauss et Abel jusqu'aux fonctions elliptiques.

Un ruban noué

En 1694, Jacques Bernoulli décrit dans les Acta Eruditorum une courbe « en forme de 8 couché, de nœud ou de boucle d'un ruban », qu'il appelle lemniscus, le ruban en latin. Il ignorait qu'elle était un cas particulier des ovales que Jean-Dominique Cassini avait proposés en 1680 pour décrire l'orbite du Soleil autour de la Terre. Dans toute la page, la lemniscate passe par l'origine O, ses deux sommets (points les plus éloignés de O) sont en (±a ; 0), et ses deux foyers F et F′ en (±c ; 0), avec c = a/√2. Les longueurs sont exprimées en prenant a = 1.

Les ovales de Cassini se transforment l'un en l'autre ; à l'instant précis où ils passent par O, ils forment la lemniscate (rouge).
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Un produit de distances constant

L'ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux foyers est constante. Remplaçons la somme par le produit : les points M tels que MF · MF′ = b² forment un ovale de Cassini. Quand b² vaut c², c'est-à-dire le produit des distances du milieu O aux deux foyers, la courbe passe par O : c'est la lemniscate. En coordonnées, MF² · MF′² = b⁴ s'écrit (x² + y²)² − 2c²(x² − y²) = b⁴ − c⁴.

La courbe du rapport b/c choisi (bleu), quelques autres ovales (gris) et la lemniscate (rouge, pointillé). Le point M parcourt la courbe bleue.
forme de la courbe—
MF · MF′ contre b² (point mobile)—
équation de Cassini en M : résidu—
MF et MF′—
Les quatre régimes. Pour b < c, la courbe se coupe en deux ovales autour de chaque foyer ; pour b = c, les deux ovales se touchent en O : la lemniscate ; pour c < b < c√2, un seul ovale « à taille de guêpe », creusé au milieu ; pour b ≥ c√2, un ovale convexe. La lemniscate est la frontière exacte entre deux morceaux et un seul.
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Trois équations pour une même courbe

Avec b = c et c² = a²/2, l'équation de Cassini devient (x² + y²)² = a²(x² − y²). En polaire, x² + y² = r² et x² − y² = r² cos 2θ donnent r² = a² cos 2θ : la courbe n'existe que là où cos 2θ ≥ 0, c'est-à-dire dans les deux secteurs |θ| ≤ 45° et |θ − 180°| ≤ 45°. Enfin la courbe admet un paramétrage par des fractions rationnelles, x = a·t(1 + t²)/(1 + t⁴), y = a·t(1 − t²)/(1 + t⁴), qui la parcourt tout entière quand t décrit les réels (O est atteint pour t = 0 et pour t infini).

Le rayon (orange) tourne ; il ne rencontre la courbe que dans les deux secteurs grisés. Le point violet est M(t) du paramétrage rationnel ; pointillés verts : les tangentes en O, à ±45°.
M(t)—
(x² + y²)² − a²(x² − y²) en M(t)—
r² − a² cos 2θ en M(t)—
direction de OM(t) pour t = 10⁻⁶—
aire du polygone inscrit contre a²—
Une aire étonnante. L'aire d'une boucle vaut ½∫ a² cos 2θ dθ pour θ de −45° à 45°, soit a²/2 : l'aire totale de la lemniscate est exactement a², celle du carré construit sur la distance de O à un sommet. Le polygone inscrit s'en approche ; son écart est divisé par environ 4 quand on double le nombre de côtés.
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Trois façons de la tracer

La bielle de Watt. Deux bras de longueur a tournent autour des foyers F′ et F ; leurs extrémités P et Q sont reliées par une barre de longueur 2c = FF′, montée en croix. Le milieu N de la barre décrit exactement la lemniscate. James Watt cherchait en 1784 un mécanisme qui guide une tige en ligne presque droite ; avec ces dimensions particulières, la courbe obtenue est la lemniscate, dont le croisement en O est la partie quasi rectiligne. L'hyperbole équilatère. Pour l'hyperbole x² − y² = a², le pied N de la perpendiculaire menée de O sur chaque tangente décrit la lemniscate (on dit qu'elle est la podaire de l'hyperbole), et l'image de l'hyperbole par l'inversion de centre O et de rayon a est la même lemniscate.

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Sa longueur, et la constante ϖ

Le long de la courbe, r² = a² cos 2θ ; un calcul de longueur d'arc donne ds = a·dρ/√(1 − ρ⁴) en notant ρ = r/a. La longueur d'un quart de lemniscate, de O à un sommet, vaut donc a·∫₀¹ dρ/√(1 − ρ⁴). Cette intégrale ne s'exprime avec aucune fonction usuelle : on la note ϖ/2 (ϖ se lit « pi lemniscatique »), et la longueur totale est 2ϖa ≈ 5,2441 a. Le changement de variable ρ = sin φ la rend régulière : ϖ = 2∫0π/2 dφ/√(1 + sin²φ). En 1799, Gauss remarque dans son journal que π/ϖ coïncide sur onze décimales avec la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 : on remplace sans fin deux nombres par leur moyenne et leur moyenne géométrique, et les deux suites se rejoignent à une vitesse foudroyante.

Le polygone inscrit (orange) et le point qui parcourt la courbe à vitesse constante ; le ruban du bas déroule la longueur parcourue.
Écart entre la longueur du polygone à n côtés et 2ϖ, en échelle log-log : la pente mesurée donne l'ordre de convergence.
longueur du polygone / 2ϖ—
pente log-log mesurée (n de 50 à 800)—
ϖ par la moyenne arithmético-géométrique—
itérations de la moyenne : écart des deux suites—
ϖ par les trapèzes (4, 8, 16 intervalles) : écart—
Deux convergences très différentes. Le polygone gagne un facteur 4 à chaque doublement (ordre 2) ; la méthode des trapèzes appliquée à l'intégrale régularisée, dont l'intégrande est périodique et lisse, gagne des chiffres à chaque doublement ; la moyenne de Gauss double le nombre de décimales justes à chaque itération.
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Signature : doubler et partager la lemniscate

Notons sl la fonction qui, à une longueur d'arc s comptée depuis O, associe la distance ρ = r/a du point atteint : c'est le sinus lemniscatique, inverse de s = ∫0ρ dx/√(1 − x⁴), comme le sinus est l'inverse de ∫0x dt/√(1 − t²). En 1718, Fagnano découvre qu'on peut doubler un arc à la règle et au compas ; Euler en tire en 1751 une formule d'addition générale, et Abel démontre en 1827 que la lemniscate se partage en n arcs égaux à la règle et au compas pour exactement les mêmes n que Gauss avait trouvés pour le cercle.

Si le point P est à la distance ρ de O, le point Q situé à une longueur d'arc double est à la distance R = 2ρ√(1 − ρ⁴)/(1 + ρ⁴). Cette expression n'utilise que des sommes, des produits, des quotients et une racine carrée : R se construit à la règle et au compas à partir de ρ.

L'arc OP (orange) et l'arc OQ (rouge), de longueur double, parcouru dans le même sens.
arc OP = sl⁻¹(ρ)—
OQ par l'arc double, contre la formule de Fagnano—
écart—
arc OQ mesuré sur un polygone de 40 000 côtés / 2·arc OP—

Pour partager la lemniscate entière en n arcs égaux, il faut placer les points d'arc 2ϖk/n, donc résoudre une équation algébrique. Abel montre que ces points se construisent à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2 multipliée par des nombres premiers de Fermat distincts (3, 5, 17, 257, 65 537) : exactement la condition de Gauss pour les polygones réguliers. Gauss l'avait pressenti, en écrivant en 1801 que sa théorie s'appliquait aussi à l'intégrale ∫dx/√(1 − x⁴).

Les n points de partage ; les arcs sont colorés alternativement.
constructible à la règle et au compas ?—
arcs mesurés sur un polygone de 40 000 côtés : écart relatif max—
longueur de chaque arc (en a)—
Pourquoi c'est profond. Le cercle et la lemniscate se ressemblent par leurs intégrales : ∫dt/√(1 − t²) pour l'un, ∫dx/√(1 − x⁴) pour l'autre. La seconde a ouvert la voie aux intégrales et fonctions elliptiques, dont sl est le premier exemple : une fonction périodique comme le sinus, mais avec deux périodes dans le plan complexe.

Quelques dates

  1. 1680 — Cassini propose ses ovales, lieux des points dont le produit des distances à deux foyers est constant.
  2. 1694 — Jacques Bernoulli décrit le lemniscus dans les Acta Eruditorum, en lien avec un problème de courbe isochrone.
  3. 1718 — Fagnano montre comment doubler ou partager en deux un arc de lemniscate à la règle et au compas.
  4. 1751 — Euler lit les travaux de Fagnano et établit le théorème d'addition des intégrales elliptiques.
  5. 1784 — Watt brevette son mécanisme de mouvement parallèle ; avec des dimensions particulières, il trace la lemniscate.
  6. 1799 — Gauss constate que π/ϖ est la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2.
  7. 1827 — Abel caractérise les n pour lesquels la lemniscate se partage en n arcs égaux à la règle et au compas.

Une frontière

Parmi les ovales de Cassini, la lemniscate est le seul qui passe par O : elle sépare les courbes en deux morceaux de celles qui n'en ont qu'un.

Une aire simple, une longueur savante

Son aire vaut exactement a² ; sa longueur 2ϖa fait intervenir une constante qui ne s'exprime avec aucune fonction usuelle.

Une sœur du cercle

Doublement, addition, partage : tout ce que l'on sait faire sur les arcs du cercle se refait sur la lemniscate, avec le sinus lemniscatique à la place du sinus.

Pour aller plus loin

Le calcul de ds. En polaire, ds² = dr² + r²dθ². Avec r² = a² cos 2θ, on a r dr = −a² sin 2θ dθ, d'où r²dθ² = r⁴dr²/(a⁴ sin² 2θ) = r⁴dr²/(a⁴ − r⁴). Il reste ds² = dr²·a⁴/(a⁴ − r⁴), soit ds = a dρ/√(1 − ρ⁴).

Les tangentes en O. Près de O, l'équation (x² + y²)² = a²(x² − y²) se réduit à x² − y² ≈ 0 : les deux branches passent en O en suivant les droites y = x et y = −x, qui se coupent à angle droit.

D'autres lemniscates. La lemniscate de Gerono, x⁴ = x² − y², a aussi la forme d'un huit mais ne vient pas des ovales de Cassini ; la lemniscate de Booth généralise celle de Bernoulli comme podaire des coniques centrées.

Un exercice voisin. Sur la même courbe tournée de 45°, les points de contact des tangentes menées d'un point M de la courbe sont alignés, et leurs droites enveloppent une hyperbole équilatère.