L'ellipse garde constante la somme des distances à deux foyers ; l'hyperbole garde constante leur différence. Cette petite variante ouvre la courbe en deux branches infinies, qu'on retrouve dans les télescopes, la radionavigation et les tours de refroidissement.
Deux branches, deux droites qui les guident
Une hyperbole est l'ensemble des points M dont la différence des distances à deux foyers F₁ et F₂ vaut, en valeur absolue, une longueur fixe 2a : |MF₁ − MF₂| = 2a. Les points plus proches de F₂ forment la branche de droite, ceux plus proches de F₁ la branche de gauche. Loin des foyers, chaque branche se rapproche de deux droites, les asymptotes, sans jamais les toucher.
Foyers en rouge, hyperbole en bleu, asymptotes en gris. L'excentricité e = c/a varie de 1,05 à 3.
Grandeur
Notation
Signification
demi-axe transverse
a
la distance du centre O à chaque sommet ; la différence constante vaut 2a.
demi-distance focale
c
la distance de O à chaque foyer ; ici c > a.
demi-axe non transverse
b = √(c² − a²)
il fixe la pente b/a des asymptotes y = ±(b/a)x.
excentricité
e = c/a
toujours supérieure à 1 ; plus elle est grande, plus les branches s'ouvrent.
x²/a² − y²/b² = 1
Par rapport à l'ellipse, seul un signe change. Ce signe moins explique tout : l'équation n'impose plus aucune borne à x ni à y, et la courbe part à l'infini.
1
La différence constante
Question : que reste-t-il de la « ficelle du jardinier » ? Le point M parcourt les deux branches. Sur la branche de droite, MF₁ − MF₂ = 2a ; sur celle de gauche, MF₂ − MF₁ = 2a. Comme pour l'ellipse, chaque distance varie en ligne droite avec l'abscisse x : MF₁ = |ex + a| et MF₂ = |ex − a|.
MF₁ en orange, MF₂ en violet, M en bleu. Les asymptotes sont en gris pointillé.Sur la branche de droite : MF₁ (orange) et MF₂ (violet) en fonction de x, droites ex ± a en vert pointillé, différence (rouge) constante égale à 2a.
MF₁—
MF₂—
|MF₁ − MF₂|—
2a—
écart maximal sur 4000 points—
écart maximal à |ex + a|—
pente des asymptotes b/a—
Ce qu'il faut retenir. Les 4000 points sont calculés par x = ±a·ch t, y = b·sh t (cosinus et sinus hyperboliques), sans utiliser les foyers. On mesure ensuite |MF₁ − MF₂| : la différence vaut 2a à l'arrondi machine près. Quand e = √2, on a b = a, les asymptotes sont perpendiculaires et l'on parle d'hyperbole équilatère ; c'est, tournée de 45°, la courbe y = k/x des grandeurs inversement proportionnelles.
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Asymptotes, aire et logarithme
Question : que cachent les asymptotes ? À gauche, la tangente en M coupe les deux asymptotes en T₁ et T₂ : M est toujours le milieu de [T₁T₂], et le triangle OT₁T₂ a toujours la même aire ab. À droite, l'hyperbole équilatère y = 1/x : l'aire sous la courbe entre 1 et x est exactement ln x. C'est par cette aire que Grégoire de Saint-Vincent et Sarasa ont relié l'hyperbole aux logarithmes au XVIIᵉ siècle.
Tangente en M (vert) et triangle OT₁T₂ (orange). Les distances de M aux deux asymptotes sont en violet.Aire sous y = 1/x entre 1 et x (bleu). Les bandes alternées ont toutes la même aire ln 2 : chaque doublement de x ajoute la même aire.
aire du triangle OT₁T₂—
ab—
M milieu de [T₁T₂] : écart—
produit des distances aux asymptotes / a²b²/(a² + b²)—
aire sous 1/x (Simpson, 2000 intervalles)—
ln x—
écart—
Pourquoi le logarithme ? Si l'on étire l'axe des x d'un facteur λ et que l'on comprime l'axe des y du même facteur, l'hyperbole y = 1/x ne bouge pas et les aires se conservent. L'aire de 1 à λ est donc égale à l'aire de x à λx, ce qui donne A(xy) = A(x) + A(y) : la propriété fondamentale du logarithme. Ici l'aire est calculée par la méthode de Simpson, sans utiliser ln, puis comparée à Math.log. À gauche, l'aire du triangle et la position du milieu sont calculées en intersectant réellement la tangente avec les asymptotes.
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Le télescope de Cassegrain
Question : à quoi sert un miroir hyperbolique ? Un rayon qui vise le foyer F₁ d'un miroir hyperbolique convexe est renvoyé vers l'autre foyer F₂. En 1672, Laurent Cassegrain propose de placer un tel miroir devant le foyer d'un grand miroir parabolique : la lumière repart en arrière, traverse un trou percé au centre du miroir principal et converge derrière lui. Le tube est court, mais la focale est longue.
Lumière d'une étoile (rouge) arrivant de la droite, miroir primaire parabolique (bleu), miroir secondaire hyperbolique (violet), rayons réfléchis (orange). F₁ : foyer du primaire, que les rayons n'atteignent pas ; F₂ : foyer final, derrière le primaire.
plus grande distance d'un rayon au foyer final—
dispersion des chemins optiques—
grandissement du secondaire (mesuré)—
grandissement prédit (c + a)/(c − a)—
focale équivalente (primaire de focale 1)—
Le calcul suit chaque rayon. On réfléchit chaque rayon sur la parabole, puis on cherche son point d'impact sur l'hyperbole et on le réfléchit encore, avec la normale de chaque surface. Tous les rayons passent par F₂ à l'arrondi machine près, et leurs chemins optiques sont égaux. Le grandissement est mesuré sur un rayon très proche de l'axe, à partir de sa pente avant et après le secondaire. Le télescope spatial Hubble utilise une variante, la combinaison Ritchey-Chrétien, où les deux miroirs sont hyperboliques pour élargir le champ net.
4
Se repérer par différence de temps
Question : comment situer un émetteur sans connaître l'heure d'émission ? Trois stations A, B et C reçoivent le même signal. On ne sait pas quand il est parti, mais on mesure les écarts entre les heures d'arrivée. Un écart tA − tB fixe la différence des distances aux stations A et B : l'émetteur est sur une hyperbole de foyers A et B. Deux écarts donnent deux hyperboles, et l'émetteur est à leur intersection.
Stations en rouge. Hyperbole A–B en bleu, hyperbole A–C en violet. Émetteur réel (étoile verte, à déplacer), position calculée (croix orange), et nuage de 200 positions calculées avec des mesures bruitées (gris).
écarts mesurés tA − tB / tA − tC—
erreur de position sans bruit—
erreur de position avec bruit—
dispersion du nuage (écart-type)—
équivalent en distance d'une microseconde—
Comment on calcule. Les ondes radio parcourent environ 0,3 km par microseconde. Les heures d'arrivée sont calculées à partir de la position réelle de l'émetteur, éventuellement bruitées ; la page cherche ensuite la position par une grille grossière, puis par la méthode de Gauss-Newton sur les deux différences de distances. Sans bruit, la position est retrouvée à l'arrondi près. Avec du bruit, le nuage s'étire dans certaines directions : là où les deux hyperboles se coupent presque tangentiellement, une petite erreur de temps déplace beaucoup l'intersection. C'est le principe des systèmes de radionavigation hyperbolique comme LORAN (né pendant la Seconde Guerre mondiale) ou Decca, et aussi celui de la localisation des éclairs par réseaux de capteurs et des épicentres de séismes.
5
Signature : l'hyperboloïde fait de fils droits
Question : peut-on construire une surface courbe uniquement avec des lignes droites ? Tendez des fils entre deux cercles horizontaux, puis tournez le cercle du haut d'un angle φ. Les fils restent droits, et pourtant ils dessinent une taille de guêpe : un hyperboloïde à une nappe, dont chaque coupe verticale passant par l'axe est une hyperbole. C'est ce qui permet de bâtir des tours courbes avec des poutres rectilignes.
Les fils (bleu) et les deux cercles d'appui (gris). En option, la seconde famille de fils (orange), tordue dans l'autre sens, qui engendre la même surface. Faites tourner la scène à la souris ou au doigt.Profil : distance à l'axe r en fonction de la hauteur z, mesurée le long des fils (points bleus), et hyperbole r²/a² − z²/c² = 1 (rouge). Le cercle de gorge, de rayon a, est le plus étroit.
rayon de gorge mesuré (fil le plus proche de l'axe)—
rayon de gorge prédit R·cos(φ/2)—
résidu de r²/a² − z²/c² − 1 sur les fils—
distance entre les deux familles (fils croisés)—
c = H / tan(φ/2)—
Pourquoi des droites donnent une hyperbole. Un fil va du point (R, 0, −H) au point (R cos φ, R sin φ, H). Au milieu de sa hauteur, il passe à la distance R cos(φ/2) de l'axe : c'est le rayon de gorge a. Le carré de la distance à l'axe le long du fil est un polynôme du second degré en z, de la forme a² + (z/c)²·a², exactement l'équation d'une hyperbole. La seconde famille, tordue de −φ, couvre la même surface : chaque fil d'une famille croise chaque fil de l'autre. Applications : la tour de Vladimir Choukhov à Nijni Novgorod (1896), sa tour radio de Moscou (1922), les tours de refroidissement des centrales, la tour du port de Kobe et la cathédrale de Brasília d'Oscar Niemeyer. Le béton armé y est renforcé par des barres droites, et la double courbure rend la paroi très rigide pour peu de matière.
Repères historiques
vers −200Apollonius de Perge nomme l'hyperbole, du grec « excès », par opposition à l'ellipse (« manque ») et à la parabole.
1637Descartes montre qu'une lentille à face hyperbolique concentre un faisceau parallèle sans aberration.
1647Grégoire de Saint-Vincent publie sa quadrature de l'hyperbole ; Alphonse Antonio de Sarasa y reconnaît la propriété des logarithmes.
1672Laurent Cassegrain propose son télescope à miroir secondaire convexe.
1896Vladimir Choukhov construit la première tour hyperboloïde, à Nijni Novgorod.
1940-1945Le système LORAN guide navires et avions par différences de temps de réception, donc par hyperboles.
1990Lancement du télescope spatial Hubble, de type Ritchey-Chrétien à deux miroirs hyperboliques.
2017ʻOumuamua, premier objet interstellaire observé, traverse le Système solaire sur une orbite hyperbolique (e ≈ 1,2).
En résumé
Une définition
|MF₁ − MF₂| = 2a, deux branches, deux asymptotes de pente ±b/a. Excentricité e = c/a > 1 ; hyperbole équilatère pour e = √2.
Des propriétés
Triangle tangent-asymptotes d'aire constante ab ; aire sous y = 1/x égale au logarithme ; réflexion d'un foyer vers l'autre.
Des usages
Télescopes de Cassegrain et Ritchey-Chrétien, radionavigation par différence de temps, tours hyperboloïdes en fils droits, orbites des objets non liés au Soleil.
Pour aller plus loin
Trajectoires hyperboliques. Un corps qui passe près du Soleil avec une vitesse supérieure à la vitesse de libération suit une branche d'hyperbole dont le Soleil est un foyer. La déviation totale vaut 2·arcsin(1/e) : c'est le principe de l'assistance gravitationnelle des sondes spatiales, et, avec une force répulsive, celui de la diffusion de Rutherford qui révéla le noyau atomique.
Fonctions hyperboliques. Le point (ch t, sh t) parcourt l'hyperbole x² − y² = 1 comme (cos t, sin t) parcourt le cercle ; t est alors le double de l'aire du secteur hyperbolique, comme l'angle t est le double de l'aire du secteur circulaire.
Relativité. Dans l'espace-temps de Minkowski, les points à « distance » constante de l'origine forment des hyperboles, et les changements de référentiel les font glisser le long d'elles.