Topologie

Une histoire de la topologie

Leibniz rêvait d'une « géométrie de situation » qui ne mesure rien. Elle est née de questions curieuses : des polyèdres qui défient une formule, des surfaces faites de polygones recollés, une courbe qui remplit un carré, un fil qui tient ou tombe, des nœuds qu'on ne sait pas défaire. Cinq épisodes, d'Euler aux invariants des nœuds, rejoués sur des planches et contrôlés par le calcul.

De quoi parle-t-on ?

La topologie étudie les propriétés des figures qui ne changent pas quand on les déforme sans déchirer ni recoller : nombre de morceaux, nombre de trous, nouage. Le mot est inventé par Listing en 1847 ; Poincaré en fait une grande théorie en 1895 sous le nom d'Analysis situs ; au XXᵉ siècle, elle devient l'un des piliers des mathématiques. Cette page raconte son histoire. La topologie comme « géométrie du caoutchouc » (Jordan, ruban de Möbius, point fixe de Brouwer), ses branches, ses applications et sa version ensembliste (ouverts, adhérence) sont détaillées dans d'autres pages de ce cahier.

Compter	Sommets, arêtes, faces : une formule et ses exceptions. Euler (1752), Cauchy et Lhuilier (1813). Planche 1.
Classer	Toutes les surfaces obtenues en recollant les côtés d'un polygone. Möbius (1863), Jordan (1866), Dehn et Heegaard (1907). Planche 2.
S'étonner	Une courbe continue qui passe par tous les points d'un carré : Peano (1890), Hilbert (1891), puis Brouwer (1911). Planche 3.
Algébriser	Les lacets et leur groupe : Poincaré, Analysis situs (1895). Planche 4.
Distinguer	Les nœuds et leurs invariants : Tait (1877), Reidemeister (1927), Alexander (1928), Fox. Planche 5.

Euler, Cauchy, Lhuilier : une formule et ses exceptions

Leonhard Euler, lettre à Goldbach (1750) et mémoire (1752) · Augustin Cauchy, démonstration (1813) · Simon Lhuilier, « Mémoire sur la polyédrométrie » (1813)

Euler remarque qu'un polyèdre a toujours S − A + F = 2 (sommets moins arêtes plus faces). Cauchy le démontre en 1813 : on retire une face et on aplatit le reste sur un plan, on découpe toutes les faces en triangles, puis on enlève les triangles un à un par le bord ; à chaque étape S − A + F ne change pas, et il finit à 1 pour un seul triangle. La même année, le Genevois Lhuilier publie des polyèdres qui ne vérifient pas la formule. Qui a raison ? Tout dépend de ce qu'on appelle un polyèdre : la formule compte, en réalité, les trous de la surface.

Polyèdre

À gauche, le polyèdre en rotation. À droite, la démonstration de Cauchy pas à pas : la surface privée d'une face, aplatie, découpée en triangles, puis démontée triangle par triangle depuis le bord ; le compteur S − A + F est mis à jour à chaque étape.

Sommets, arêtes, faces

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S − A + F

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Contrôle : S − A + F à chaque étape de Cauchy

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Les huit polyèdres de la liste

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Ce qu'il faut voir. Pour les polyèdres convexes, chaque étape de Cauchy laisse S − A + F inchangé, et la formule d'Euler tombe. Les exemples de Lhuilier sortent du cadre : le cadre, percé d'un tunnel, donne 0 ; le cube creux, fait de deux surfaces, donne 4 ; le cube surmonté d'un cube, dont une face est un anneau, donne 3. Lhuilier en tire une formule corrigée, qui tient compte des tunnels, des cavités et des faces en anneau : pour une seule surface fermée percée de g tunnels, S − A + F = 2 − 2g. C'est la naissance de la caractéristique d'Euler, le premier invariant topologique. Le philosophe Imre Lakatos a fait de cette histoire, en 1976, un modèle de la façon dont les mathématiciens corrigent leurs définitions face aux contre-exemples.

Möbius, Jordan, Dehn et Heegaard : toutes les surfaces en recollant un polygone

Bernhard Riemann (1857) · August Möbius (1863) · Camille Jordan (1866) · Max Dehn et Poul Heegaard (1907) · Henry Brahana (1921)

Prenez un polygone et recollez ses côtés deux à deux, en suivant les flèches. Un mot résume le recollement : on lit les côtés en tournant, une lettre par paire, avec un exposant −1 quand la flèche va à contre-sens. Le carré « a b a⁻¹ b⁻¹ » donne un tore, « a a » donne le plan projectif. Möbius et Jordan montrent dans les années 1860 que deux nombres suffisent à reconnaître la surface obtenue : sa caractéristique d'Euler et le fait qu'elle soit orientable (deux faces) ou non. Dehn et Heegaard en donnent en 1907 la liste complète : sphère, tores à g trous, et surfaces non orientables à k « bonnets croisés ».

Mot du polygone

À gauche, le polygone : chaque côté porte sa lettre et sa flèche ; les sommets qui se retrouvent au même point après recollement ont la même couleur. À droite, le calcul de la caractéristique d'Euler, ou, pour le carré du tore, l'animation du recollement : on roule le carré en cylindre, puis on courbe le cylindre en anneau.

Sommets après recollement, arêtes, face

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Caractéristique d'Euler et orientabilité

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Surface reconnue et forme normale

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Contrôle : surface triangulée, 3 000 mots tirés au hasard

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Ce qu'il faut voir. Des mots très différents donnent la même surface : « a b c a⁻¹ b⁻¹ c⁻¹ » est un tore, comme « a b a⁻¹ b⁻¹ », et « a a b b » est une bouteille de Klein, comme « a b a⁻¹ b ». Pour le vérifier, la page construit la vraie surface en triangles et compte à nouveau ses sommets, ses arêtes et ses faces, puis cherche à orienter tous les triangles de façon cohérente : les deux méthodes s'accordent sur chaque mot. Cette classification est le premier grand théorème de la topologie ; son analogue en dimension 3 occupera tout le XXᵉ siècle.

Peano et Hilbert : une courbe qui remplit le carré

Georg Cantor, lettre à Dedekind (1877) · Giuseppe Peano, « Sur une courbe qui remplit toute une aire plane » (1890) · David Hilbert (1891) · Luitzen Brouwer, invariance de la dimension (1911)

En 1877, Cantor montre qu'il y a autant de points dans un carré que sur un segment. Mais sa correspondance saute dans tous les sens. Peano, en 1890, fait bien pire pour l'intuition : il construit une courbe continue, tracée d'un seul trait, qui passe par tous les points du carré. Hilbert en donne l'année suivante une version dessinée : à chaque étape, on découpe le carré en quatre et on parcourt les quatre morceaux dans le bon ordre. La courbe limite remplit tout. Qu'est-ce alors que la dimension ?

Courbe

Étape4

À gauche, la courbe à l'étape choisie, tracée progressivement et colorée selon le temps de parcours (du bleu au rouge). À droite, la courbe vue comme une application t ↦ (x, y) : les deux coordonnées en fonction de t, continues mais de plus en plus agitées.

Points de passage et longueur de la courbe

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Cases de la grille traversées

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Contrôle de continuité : plus grand rapport distance / √(écart de temps)

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Le même rapport aux étapes successives

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Ce qu'il faut voir. À chaque étape, la courbe traverse toutes les cases de la grille, et sa longueur double (Hilbert) ou triple (Peano) : la courbe limite est infiniment longue. Elle reste pourtant continue : deux instants proches donnent deux points proches, et la distance ne dépasse jamais un nombre fixe fois la racine carrée de l'écart de temps, quelle que soit l'étape. Un segment peut donc recouvrir un carré. Mais pas sans repasser par certains points : Brouwer démontre en 1911 qu'aucune correspondance à la fois continue et bijective n'existe entre des espaces de dimensions différentes. La dimension est bien un invariant topologique.

Poincaré, 1895 : les lacets forment un groupe

Henri Poincaré, Analysis situs (1895) et ses cinq compléments (1899–1904) · Max Dehn, le problème des mots (1911) · une énigme devenue classique : le tableau suspendu à deux clous

Poincaré associe à chaque espace le groupe de ses lacets (son « groupe fondamental ») : deux lacets sont égaux si l'on peut déformer l'un en l'autre, et on les multiplie en les parcourant l'un après l'autre. Autour de deux clous a et b, un fil qui fait un tour autour de a dans le sens des aiguilles d'une montre s'écrit a, dans l'autre sens a⁻¹, et le groupe est le groupe libre sur a et b : aucune simplification autre que a a⁻¹ = 1. Une énigme en découle : suspendre un tableau à deux clous de sorte qu'il tombe si l'on retire n'importe lequel des deux. Retirer un clou, c'est effacer sa lettre ; le tableau tombe si ce qui reste se simplifie entièrement.

Enroulement

À gauche, le fil et les clous : chaque passage autour d'un clou est numéroté, la flèche indique le sens. À droite, le mot, puis l'effacement des lettres du clou retiré et les simplifications x x⁻¹ = 1 faites une à une (en rouge, la paire qui disparaît).

Mot de l'enroulement

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Si l'on retire a / si l'on retire b

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Contrôle : simplification contre calcul de matrices (Sanov, 1947)

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Solutions les plus courtes pour deux clous

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Ce qu'il faut voir. « a » tombe dès qu'on retire a, mais « a b » tient encore si l'on retire a. La solution « a b a⁻¹ b⁻¹ » (un « commutateur ») ne se simplifie pas tant que les deux clous sont là : le tableau tient. Retirez un clou : le mot s'effondre en 1 et le tableau tombe. Le lacet est donc impossible à défaire autour des deux clous, mais trivial autour d'un seul. Pour vérifier qu'un mot ne se simplifie pas, la page le calcule aussi comme un produit de matrices 2 × 2 qui engendrent un groupe libre (Sanov, 1947) : le mot vaut 1 exactement quand le produit vaut la matrice identité. Le groupe de Poincaré est l'outil de sa célèbre conjecture de 1904, démontrée par Perelman en 2003.

Les nœuds : de Tait à Alexander, comment prouver qu'un nœud est noué

Lord Kelvin, atomes-tourbillons (1867) · Peter Guthrie Tait, tables de nœuds (1876–1885) · Kurt Reidemeister (1927) · James Alexander, polynôme (1928) · Ralph Fox, colorations (vers 1960) · Vaughan Jones (1984)

Kelvin imagine en 1867 que les atomes sont des tourbillons noués dans l'éther ; Tait entreprend alors de classer tous les nœuds. Mais comment prouver que deux dessins représentent des nœuds différents, ou qu'un nœud ne se dénoue pas ? Reidemeister montre en 1927 que trois mouvements locaux suffisent à passer d'un dessin à tout autre dessin du même nœud. Un invariant est une quantité qui ne change par aucun de ces mouvements. Le plus simple est celui des colorations de Fox : colorier chaque brin avec un nombre de 0 à p − 1 de sorte qu'à chaque croisement, deux fois la couleur du brin du dessus égale la somme des deux autres (modulo p).

Nœud

Nombre de couleurs p

À gauche, le dessin du nœud : la courbe passe dessous aux interruptions ; chaque brin (d'un passage dessous au suivant) porte sa couleur. Les colorations valides défilent ; une coloration d'une seule couleur est toujours valide (« triviale »). À droite, le tableau des colorations et le polynôme d'Alexander calculé à partir du dessin.

Croisements et brins détectés sur le dessin

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Colorations valides (énumération de toutes)

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Polynôme d'Alexander et contrôles Δ(1) = 1, |Δ(−1)|

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Contrôle : colorations comptées par le rang d'une matrice modulo p

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Ce qu'il faut voir. Le nœud trivial n'a que les 3 colorations d'une seule couleur ; le trèfle en a 9 : il ne peut donc pas être dénoué, c'est la preuve la plus simple qui soit. Le nœud de huit n'a que les colorations triviales pour p = 3, mais en a d'autres pour p = 5 : il est noué lui aussi, et différent du trèfle. Le nœud 5₁ a exactement les mêmes nombres de colorations que le nœud de huit : les colorations ne suffisent pas à les séparer. Le polynôme d'Alexander (1928) y parvient, et contient les colorations : p a des colorations non triviales exactement quand p divise |Δ(−1)|, le « déterminant » du nœud. En 1984, le polynôme de Jones ouvre une nouvelle ère, et la topologie des nœuds sert aujourd'hui à comprendre l'ADN et certaines théories physiques.

Frise : vingt-huit jalons de la topologie

En trois idées

Des invariants

Caractéristique d'Euler, orientabilité, dimension, groupe fondamental, colorations, polynômes : la topologie avance en inventant des quantités qui ne changent pas par déformation.

Des contre-exemples

Les polyèdres de Lhuilier, la courbe de Peano, les nœuds qui partagent les mêmes colorations : chaque surprise a obligé à préciser les définitions et à trouver de meilleurs invariants.

De la figure à l'algèbre

Avec Poincaré, la topologie se met à calculer : des nombres, puis des groupes, puis des polynômes, qui transforment des questions de forme en questions de calcul.

Pour aller plus loin

D'autres pages de ce cahier approfondissent la topologie : la topologie comme « géométrie du caoutchouc » (courbes de Jordan, classes des lettres, caractéristique d'Euler, ruban de Möbius, point fixe de Brouwer, boule chevelue) ; les branches de la topologie ; ses applications ; la topologie et la théorie des ensembles (ouverts, adhérence, frontière, homéomorphismes) ; la théorie des graphes (ponts de Königsberg).

Lectures : Imre Lakatos, Preuves et réfutations ; Jean Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology 1900–1960 ; Henri Poincaré, Analysis situs ; Colin Adams, Le livre des nœuds ; David Richeson, Euler's Gem.

Précautions : les dessins de nœuds de la planche 5 sont tracés à partir de courbes paramétrées ; les croisements et les brins sont détectés par le calcul, puis les colorations et le polynôme en sont déduits. Le polynôme d'Alexander n'est défini qu'au signe et à une puissance de t près ; la page le présente sous sa forme symétrique, avec Δ(1) = 1.