Une histoire de la géométrie

Papyrus Rhind, problèmes 48 et 50 (vers −1650) · Papyrus de Moscou, problème 14 (vers −1850)

Pour l'aire d'un champ rond de diamètre 9, le scribe d'Ahmès retire 1/9 du diamètre et met le reste au carré : 8 × 8 = 64. Le problème 48 laisse deviner d'où vient la règle : dans un carré de côté 9 découpé en neuf cases, on coupe les quatre coins en diagonale ; l'octogone qui reste a une aire de 63, très proche de celle du cercle, et proche de 64 = 8². Cela revient à prendre π ≈ 256/81.

Le tronc de pyramide du papyrus de Moscou

Le problème 14 calcule le volume d'une pyramide tronquée à base carrée de côté 4, de sommet carré de côté 2 et de hauteur 6, par une règle qui revient à V = h/3 · (a² + ab + b²). C'est la formule exacte — un exploit, car la démonstration demande de découper la pyramide en tranches, ce qu'aucun texte égyptien ne fait. Faites varier les dimensions.

Euclide d'Alexandrie, Éléments, vers −300 · 13 livres, 465 propositions

Euclide part de cinq postulats, des affirmations admises sans preuve : on peut tracer une droite par deux points, prolonger un segment, tracer un cercle de centre et de rayon donnés, tous les angles droits sont égaux, et le fameux cinquième, sur les parallèles. Tout le reste doit être démontré ou construit avec ces seuls outils : la règle (sans graduation) et le compas. Déplacez les points A et B : la construction se refait et reste juste.

Aristarque de Samos (vers −270) · Ératosthène de Cyrène (vers −240)

Ératosthène sait qu'à Syène, le jour du solstice, le Soleil éclaire le fond des puits : il est à la verticale. Au même moment, à Alexandrie, plus au nord, un bâton vertical (un gnomon) donne une ombre : les rayons font avec lui un angle de 1/50 de tour, soit 7,2°. Comme les rayons du Soleil sont parallèles, cet angle est aussi l'angle au centre de la Terre entre les deux villes. La distance Syène–Alexandrie, 5 000 stades, est donc 1/50 de la circonférence.

Aristarque : à quelle distance est le Soleil ?

Quand la Lune est exactement à moitié éclairée, le triangle Terre–Lune–Soleil est rectangle à la Lune. Il suffit de mesurer l'angle entre la Lune et le Soleil vu de la Terre : le rapport des distances Soleil/Lune vaut 1/cos(angle). Aristarque mesure 87° et conclut que le Soleil est 18 à 20 fois plus loin que la Lune. Le raisonnement est juste ; la mesure, impossible à l'œil nu, ne l'est pas.

René Descartes, La Géométrie, 1637 · Pierre de Fermat, Ad locos planos et solidos isagoge, vers 1636

Pour les Grecs, le produit de deux longueurs est une aire, pas une longueur. Descartes lève l'obstacle en choisissant un segment unité : avec deux droites parallèles (le théorème de Thalès), le produit a × b devient une longueur constructible. Les longueurs se calculent alors comme des nombres, et une courbe peut se décrire par une équation entre coordonnées.

Un lieu d'Apollonius mis en équation

Apollonius (vers −200) savait que les points P dont les distances à deux points fixes A et B sont dans un rapport constant k forment un cercle, mais il le prouvait par de longs raisonnements de proportions. Avec les coordonnées de Descartes, PA² = k² PB² devient une équation du second degré en x et y ; on y lit directement le centre et le rayon. Déplacez A et B.

Saccheri (1733) · Gauss · Lobatchevski (1829) · Bolyai (1832) · Beltrami (1868) · Poincaré (1882)

Le cinquième postulat d'Euclide équivaut à dire : par un point hors d'une droite passe une seule parallèle. Pendant deux mille ans, on a tenté de le démontrer à partir des quatre autres. Au XIXᵉ siècle, Lobatchevski et Bolyai osent le nier : par un point passent une infinité de parallèles. Ils obtiennent une géométrie sans contradiction, où la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180°. Le disque de Poincaré en donne une image : les « droites » y sont les arcs de cercle perpendiculaires au bord, et les distances grandissent à l'infini en s'approchant du bord.