Ce qui reste vrai quand on regarde une figure en perspective — et les points « à l'infini » qu'il faut ajouter au plan pour que deux droites, même parallèles, se rencontrent toujours.
Regarder une figure en perspective, c'est la remplacer par son image sur une vitre, un tableau ou le capteur d'un appareil photo : chaque point est envoyé là où le rayon qui le relie à l'œil traverse la vitre. Cette opération s'appelle une projection centrale. Elle déforme beaucoup de choses : les longueurs, les angles, le parallélisme. La géométrie projective étudie ce qu'elle ne déforme pas.
Une voie ferrée en donne l'image classique : ses rails sont parallèles dans la réalité, mais semblent se rejoindre à l'horizon. Pour que ce point de rencontre ait un sens, on ajoute au plan des points à l'infini, un par direction. Avec eux, deux droites distinctes se coupent toujours en un point et un seul — une règle sans exception, beaucoup plus simple que celle de la géométrie ordinaire.
| Ce que la perspective conserve | Ce que la perspective ne conserve pas |
|---|---|
| Les droites restent des droites ; trois points alignés restent alignés. | Les longueurs : un rail de 10 m peut mesurer 3 cm ou 3 mm sur la photo. |
| Les rencontres : si deux droites se coupent, leurs images se coupent (l'incidence). | Les angles : un carrelage à angles droits devient un réseau de losanges. |
| Le contact : une droite tangente à une courbe reste tangente à son image. | Le parallélisme : les rails se rejoignent. |
| Le birapport de quatre points alignés (un « rapport de rapports »). | Le milieu d'un segment et le type de conique (ellipse, parabole, hyperbole). |
Les cinq planches suivent ce chemin : on observe les rails (1), on fabrique les points à l'infini (2), on apprend à calculer avec eux (3), on découvre qu'on peut échanger les mots « point » et « droite » (4), puis on voit à quoi tout cela sert — comprendre pourquoi ellipse, parabole et hyperbole sont une seule courbe, et retrouver la position d'un appareil photo à partir d'une image (5).
Deux droites parallèles ne se coupent jamais. Pourquoi, sur une photographie, les deux rails d'une voie se rejoignent-ils ?
L'idée : l'appareil note, pour chaque point de la voie, l'endroit où le rayon venu de ce point traverse le capteur. Un point situé à la profondeur z devant l'objectif et à l'écart x de l'axe arrive à
x′ = f · x / z
où f est la focale, la distance de l'objectif au capteur. Plus le point est loin, plus z est grand et plus l'image se tasse. Les points lointains des deux rails viennent s'accumuler près d'un même point V, le point de fuite. Aucun point de la voie n'arrive exactement en V : V est la trace d'une direction, celle de la voie. Pour une voie tournée d'un angle θ et un appareil incliné vers le bas d'un angle φ :
V = ( f · tan θ / cos φ ; f · tan φ )
Qu'est-ce, au juste, qu'un « point à l'infini » ?
L'idée : au lieu de regarder les points de la photo, regardons les rayons qui partent de l'œil O. Chaque point M de la photo (le plan π) correspond à un rayon, la droite (OM). Inversement, presque chaque droite passant par O perce le plan π en un point — sauf les droites parallèles à π, qui ne le percent jamais. Ce sont elles qui fournissent les points manquants : on décide qu'une droite passant par O et parallèle à π représente un point à l'infini de π.
Si le rayon fait un angle γ avec le plan π (placé à la distance 1 de l'œil), il le perce à la distance
OM′ = 1 / tan γ
du pied de la perpendiculaire. Quand γ tend vers 0, cette distance devient infinie ; quand γ change de signe, le point revient… de l'autre côté. Le plan projectif est simplement l'ensemble de toutes les droites passant par O : les points ordinaires plus les points à l'infini, sans distinction.
Comment calculer avec des points à l'infini, sans jamais diviser par zéro ?
L'idée : on écrit un point du plan (x ; y) avec trois nombres (x : y : 1), et l'on convient que (x : y : w) et (λx : λy : λw) désignent le même point, pour tout λ non nul. Ce sont les coordonnées homogènes — ni plus ni moins que la direction du rayon de la planche 2. Le point ordinaire se retrouve en divisant par w ; quand w = 0, on obtient un point à l'infini, de direction (x ; y).
Une droite ax + by + c = 0 s'écrit elle aussi avec trois nombres (a : b : c), et tout se fait avec une seule opération, le produit vectoriel × :
droite passant par P et Q = P × Q point commun de ℓ₁ et ℓ₂ = ℓ₁ × ℓ₂
Pas de cas particulier : si les droites sont parallèles, le calcul donne simplement w = 0.
Pourquoi, en géométrie projective, chaque théorème en donne-t-il un second gratuitement ?
L'idée : un point s'écrit (x : y : w), une droite s'écrit (a : b : c), et « le point est sur la droite » s'écrit ax + by + cw = 0, formule parfaitement symétrique. On peut donc échanger les mots point et droite dans tout énoncé qui ne parle que d'incidence : « deux points déterminent une droite » devient « deux droites déterminent un point ». C'est la dualité.
Un cercle de rayon ρ rend cet échange visible. À chaque point P = (x₀ ; y₀) il associe une droite, sa polaire :
polaire de P : x₀ x + y₀ y = ρ² — en coordonnées homogènes (x₀ : y₀ : −ρ²)
Si P est à l'extérieur du cercle, sa polaire joint les deux points de contact des tangentes issues de P.
Blaise Pascal, à seize ans (1640) : si six points sont sur un cercle, les trois points de rencontre des côtés opposés de l'hexagone sont alignés. Par dualité, on remplace les six points par les six tangentes : les trois grandes diagonales de l'hexagone circonscrit sont concourantes. C'est le théorème de Brianchon (1806), obtenu sans aucune démonstration nouvelle.
À quoi servent les points à l'infini ? À voir qu'ellipse, parabole et hyperbole sont une seule courbe — et à retrouver d'où une photographie a été prise.
Un cercle est peint sur le sol ; l'appareil, à 1,60 m de hauteur, le photographie. Sur le sol, les points qui ont la même profondeur que l'objectif forment une droite, la droite limite (en rouge) : leurs rayons sont parallèles au capteur, leur image est donc à l'infini. Tout dépend du nombre de points que le cercle partage avec elle :
0 point → ellipse 1 point (tangence) → parabole 2 points → hyperbole
Pour le contrôle, la page calcule aussi l'équation de l'image : si le cercle a pour matrice C et la projection pour matrice H, l'image est la conique de matrice C′ = H⁻ᵀ C H⁻¹, dont le signe du discriminant donne le type. Remarque : la droite limite passe derrière les pieds du photographe ; pour obtenir une hyperbole, il faut donc se tenir au-dessus du cercle, ou tout près de son bord.
Problème inverse, celui de la photogrammétrie et de la vision par ordinateur : on connaît un carré posé au sol (un carreau, une dalle, une feuille de papier), on clique ses quatre coins sur la photo, et l'on veut savoir où se trouvait l'appareil. Quatre correspondances suffisent pour trouver l'homographie H qui envoie le sol sur la photo (huit équations, huit inconnues). Ses colonnes contiennent l'orientation et la position de l'appareil :
H ∝ [ r₁ r₂ t ] d'où la position C = −(r₁·t ; (r₂×r₁)·t ; r₂·t)
Mais un clic est toujours un peu imprécis. La page répète l'expérience 400 fois avec des clics bruités pour mesurer l'incertitude.
Le point de fuite des rails est l'image d'une direction. En ajoutant au plan un point à l'infini par direction, deux droites distinctes se coupent toujours en un seul point.
Avec les coordonnées homogènes (x : y : w), points et droites se calculent par produit vectoriel, sans cas particulier ; w = 0 marque les points à l'infini.
Alignement, incidence, tangence et birapport survivent à la perspective. C'est pourquoi une photographie permet de mesurer le monde et de retrouver l'appareil qui l'a prise.
Le birapport. Quatre points alignés A, B, C, D donnent le nombre (CA/CB) / (DA/DB), qui ne change pas en perspective. C'est l'unique invariant numérique d'une rangée de points ; il est étudié en détail dans la page sur le fondement mathématique de la perspective.
Le théorème de Desargues. Deux triangles en perspective depuis un point ont leurs côtés correspondants qui se coupent sur une même droite. Il ne parle que d'incidence : c'est un théorème projectif, dont le dual est sa propre réciproque.
Homographies. Les transformations du plan projectif qui envoient les droites sur des droites s'écrivent p ↦ H p avec une matrice 3 × 3 inversible, définie à un facteur près : huit paramètres, donc quatre points suffisent à la fixer. C'est le calcul utilisé pour redresser une façade photographiée de biais ou pour « coller » une affiche dans une vidéo.
Caméras. Un appareil photo idéal est une application de l'espace projectif de dimension 3 vers le plan projectif : une matrice 3 × 4 à onze paramètres. Avec deux photographies, les points correspondants vérifient une relation bilinéaire (matrice fondamentale ou essentielle) qui permet de reconstruire la scène en relief.
Au-delà. Le plan projectif réel est une surface sans bord qu'on ne peut pas plonger dans l'espace ordinaire sans qu'elle se recoupe ; il contient un ruban de Möbius. Sur les nombres complexes, deux coniques se coupent toujours en exactement quatre points (théorème de Bézout), à condition de compter les points à l'infini.