Pour indiquer où se trouve un bateau, l’opérateur radar ne donne pas deux distances, mais une distance et une direction. C’est l’idée des coordonnées polaires : un point est repéré par sa distance r à un centre et par l’angle θ qu’il fait avec une demi-droite fixe. Tout ce qui tourne autour d’un centre — radar, disque, micro, antenne, voilier face au vent — s’y décrit simplement.
Distance et direction
On choisit un point O, le pôle, et une demi-droite issue de O, l’axe polaire. Un point M est alors repéré par r = OM et par l’angle θ que fait OM avec l’axe, compté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le passage aux coordonnées cartésiennes est un exercice de trigonométrie.
Des polaires aux cartésiennes
Des cartésiennes aux polaires
Points délicats
x = r cos θ y = r sin θ
r = √(x² + y²) θ = atan2(y, x)
θ n’est défini qu’à un tour près ; au pôle (r = 0), θ n’a pas de sens ; on admet parfois r négatif : (−r, θ) est le point (r, θ + π).
Ce changement de point de vue transforme les cercles centrés en O en équations r = constante, les rayons en θ = constante, les rotations autour de O en simples additions d’angle. Il rend aussi naturelle une nouvelle formule d’aire : la petite part de tarte d’angle dθ a pour aire ½ r² dθ.
PLANCHE 1
L’écran radar : une distance et un angle
Question : l’antenne d’un radar tourne et mesure, pour chaque écho, un temps de retour (donc une distance) et une direction. Comment passer de cette lecture à une carte, et que faut-il surveiller dans la conversion ? Faites glisser l’écho rouge.
Cercles de distance tous les 10 km, directions tous les 30°. La ligne verte balaie l’écran ; chaque écho s’allume à son passage puis s’éteint. L’angle mathématique θ se compte depuis l’est vers le nord ; le relèvement des marins se compte depuis le nord vers l’est.
coordonnées cartésiennes (est, nord)—
coordonnées polaires r, θ—
relèvement des marins (depuis le nord, sens horaire)—
piège : arctan(y/x) seul donnerait—
aller-retour (r cos θ, r sin θ) − (x, y)—
distance entre l’écho rouge et l’écho A, formule polaire—
même distance en cartésiennes—
La fonction atan2(y, x) regarde les signes de x et de y pour placer l’angle dans le bon quadrant ; la seule formule arctan(y/x) confond deux directions opposées dès que x est négatif (erreur de 180°), et échoue quand x = 0. La distance entre deux échos se calcule directement en polaires par la formule d’Al-Kashi : d² = r₁² + r₂² − 2 r₁ r₂ cos(θ₁ − θ₂), sans repasser par les cartes. Radars, sonars, échographes et lidars mesurent tous en polaires ; leurs images sont ensuite converties pour l’affichage.
PLANCHE 2
Les courbes r = f(θ) et l’aire en éventail
Question : comment se dessine une courbe donnée par r = f(θ) ? On fait tourner un rayon issu du pôle et, à chaque angle, on place le point à la distance f(θ). À droite, le même calcul en graphe ordinaire : quand f(θ) devient négatif (orange), le point passe de l’autre côté du pôle.
Le rayon tourne, le point se place à la distance r = f(θ). En bleu, r positif ; en orange, r négatif (point reporté à l’opposé).
Le graphe de f(θ) en coordonnées cartésiennes (θ en abscisse, r en ordonnée), avec l’instant courant. Les deux dessins décrivent la même fonction.
Les rosaces sont la vitrine des polaires : r = cos(kθ) a k pétales si k est impair (chaque pétale est parcouru deux fois) et 2k si k est pair. En cartésiennes, la même rosace à 4 pétales s’écrit (x² + y²)³ = (x² − y²)². L’aire se calcule en éventail : A = ½∫ r² dθ, soit π/4 ou π/2 pour les rosaces, 3π/2 pour la cardioïde, 1 pour la lemniscate. La longueur s’écrit ∫√(r² + r′²) dθ : 8 pour la cardioïde, et pour la lemniscate le nombre 2ϖ ≈ 5,2441, qui demande un changement de variable car l’intégrande devient infini aux deux nœuds. Pour le limaçon à boucle intérieure (b < 1), la formule compte la petite boucle deux fois : elle mesure l’aire balayée, pas l’aire du dessin. La conique r = 1/(1 + e cos θ), foyer au pôle, est une ellipse, une parabole ou une hyperbole selon que e est inférieur, égal ou supérieur à 1.
PLANCHE 3
Les spirales : le disque microsillon et le nautile
Question : quelle différence entre le sillon d’un disque, qui s’écarte d’une même largeur à chaque tour, et la coquille du nautile, qui grandit d’un même facteur ? Deux spirales, deux lois simples en polaires : r = a θ (Archimède) et r = ebθ (logarithmique).
Une spirale d’Archimède (le pas est exagéré). Le point rouge montre la tangente (rouge) et le rayon (gris) ; l’angle entre les deux s’approche de 90° quand on s’éloigne du centre.
disque 33 tours : face de 22 min, rayon 14,6 → 6,0 cm733 tours
pas du sillon (écart entre deux tours)—
longueur du sillon, formule exacte d’Archimède—
même longueur par Simpson sur ∫√(r² + r′²) dθ—
approximation par 733 cercles de rayon moyen—
angle rayon-tangente au point rouge · formule arctan(r/r′)—
Dans r = aθ, chaque tour ajoute 2πa au rayon : les spires sont équidistantes. C’est la forme du sillon d’un disque (environ 0,12 mm entre deux tours), d’un ressort spiral de montre, d’un rouleau de papier, des cames qui transforment une rotation régulière en avance régulière. La longueur du sillon, près de 474 m sur une face, se calcule exactement ; l’approximation par 733 cercles concentriques n’en diffère que d’environ un centième de millimètre, car l’angle entre le sillon et le rayon est presque droit (il s’en écarte de moins de deux centièmes de degré).
Une spirale logarithmique qui tourne sur elle-même. Faire tourner la spirale revient à l’agrandir : elle semble immobile, comme une coquille qui grandit sans changer de forme.
angle rayon-tangente, formule arctan(1/b)—
même angle mesuré sur le dessin en 8 points (écart max)—
facteur d’agrandissement par tour e2πb—
longueur depuis le centre jusqu’au rayon 1 : √(1 + b²)/b—
même longueur par Simpson (θ de −40/b à 0)—
Dans r = ebθ, l’angle entre le rayon et la tangente est le même partout : arctan(1/b). D’où son nom de spirale équiangle, et sa propriété d’auto-similarité : tourner d’un angle φ revient à agrandir de ebφ. Jacques Bernoulli, fasciné, demanda qu’on la grave sur sa tombe à Bâle avec la devise Eadem mutata resurgo (« changée, je renais la même ») ; le graveur y tailla par erreur… une spirale d’Archimède. On la retrouve dans le nautile, les bras des galaxies, la trajectoire d’un insecte qui garde un angle constant avec une lampe, et le piqué du faucon qui garde sa proie sous un angle fixe. Elle fait une infinité de tours vers le centre, mais sa longueur reste finie. La « spirale d’or » (b ≈ 0,3063, agrandie d’un facteur φ à chaque quart de tour) en est un cas particulier.
PLANCHE 4
Diagrammes polaires : micros et antennes
Question : un micro entend-il aussi bien de derrière que de devant ? Une antenne envoie-t-elle partout la même puissance ? On le dessine en polaires : dans chaque direction θ, on trace une distance proportionnelle à la sensibilité. L’échelle est en décibels, de 0 dB (le maximum, au bord) à −40 dB (au centre).
Le diagramme de directivité f(θ) = a + (1 − a) cos θ, en décibels. Le micro regarde vers le haut. Les directions muettes (où f s’annule) sont marquées en rouge.
direction muette : formule arccos(−a/(1 − a))—
même direction par dichotomie sur f(θ) = 0—
sensibilité vers l’arrière (180°)—
part du bruit ambiant captée, formule a² + (1 − a)²/3—
même part par intégration sur toutes les directions—
indice de directivité—
Mélanger un capteur omnidirectionnel (qui entend tout) et un capteur en huit (qui entend devant et derrière en opposition) donne toute la famille a + (1 − a) cos θ. Le cardioïde (a = ½) est le micro de scène : il est sourd vers l’arrière, là où sont les retours de son. L’hypercardioïde (a = ¼) capte le moins de bruit ambiant : un quart seulement, soit un indice de directivité de 6 dB, le maximum de la famille. Le diagramme polaire se lit d’un coup d’œil : c’est pourquoi tous les fabricants de micros, d’enceintes et de projecteurs l’impriment dans leurs notices.
Un alignement de N antennes identiques, horizontal, alimentées avec un décalage de phase réglable. Diagramme du rayonnement en décibels dans le demi-plan supérieur. Flèche rouge : la direction visée.
direction du lobe principal, mesurée—
largeur du faisceau à −3 dB (dichotomie)—
premier lobe secondaire (limite −13,26 dB quand N est grand)—
lobes parasites (« de réseau »)—
Chaque antenne émet la même onde ; dans une direction θ, les ondes arrivent décalées de 2π d cos θ et s’ajoutent ou se détruisent. En retardant électroniquement chaque antenne, on choisit la direction où elles s’ajoutent : on oriente le faisceau sans rien faire tourner. C’est le principe des radars à balayage électronique, des antennes de satellites et de la 5G. Plus il y a d’antennes, plus le faisceau est fin (sa largeur varie comme 1/N). Si l’espacement dépasse une demi-longueur d’onde, des lobes parasites aussi forts que le principal apparaissent : la géométrie fixe la règle de construction d ≤ λ/2.
PLANCHE 5 · SIGNATURE
La polaire du voilier : remonter au vent en zigzag
Question : un voilier ne peut pas avancer face au vent ; comment atteindre une bouée placée exactement au vent ? Les marins dessinent la polaire de leur bateau : pour chaque angle θ entre la route et le vent, la vitesse V(θ) portée dans cette direction. La meilleure façon de remonter se lit alors par une construction géométrique simple : la tangente horizontale à la polaire.
La polaire de vitesse (vent venant du haut). Vert : la droite horizontale la plus haute qui touche la polaire ; le point de contact donne le meilleur angle de remontée et la vitesse utile vers le vent (VMG). Gris : la zone interdite face au vent.
Le plan d’eau : la bouée est 1 mille au vent. Bleu : le bateau qui tire des bords à l’angle optimal ; orange : un bateau qui « serre » trop le vent ; violet : un bateau qui navigue trop ouvert.
meilleur angle de remontée (section dorée)—
contrôle : point le plus haut de la polaire tracée (20 000 points)—
vitesse du bateau · VMG (vitesse utile vers le vent)—
temps jusqu’à la bouée : optimal · trop serré (angle mort + 4°) · trop ouvert (60°)—
meilleur angle au portant (vent arrière)—
au portant : VMG · vent arrière direct (180°)—
La vitesse utile vers le vent est la projection V(θ) cos θ du vecteur vitesse sur l’axe du vent, c’est-à-dire la hauteur du point de la polaire. La maximiser revient à chercher le point le plus haut de la courbe : la droite horizontale qui y touche la polaire est tangente, et l’angle optimal se lit au point de contact (environ 44° ici). Serrer davantage le vent fait perdre trop de vitesse ; ouvrir fait perdre trop de cap. Au portant, la même construction vers le bas montre qu’il vaut mieux tirer des bords de vent arrière vers 140° que descendre droit sous le vent. Les logiciels de routage des courses au large n’utilisent pas autre chose que ces polaires, combinées aux prévisions de vent.
Repères historiques
vers −225Archimède étudie, dans Des spirales, la courbe décrite par un point qui avance à vitesse constante sur une droite qui tourne à vitesse constante.
1638Descartes décrit la spirale équiangle ; Torricelli calcule peu après la longueur finie de ses spires infinies.
1691Jacques Bernoulli emploie systématiquement une distance et un angle pour décrire des courbes, et s’éprend de la spirale logarithmique.
1748Euler, dans l’Introductio, présente les coordonnées polaires avec les formules de passage modernes.
1935 – 1945Le radar naît ; l’écran circulaire à balayage (PPI) affiche directement les échos en coordonnées polaires.
XXᵉ siècleDiagrammes de directivité des micros et des antennes, polaires de vitesse des voiliers : le dessin polaire devient un langage d’ingénieur.
Le bon repère
Dès qu’un problème tourne autour d’un centre, les polaires le simplifient : cercles et rayons deviennent r = constante et θ = constante.
Une aire en éventail
½∫r² dθ remplace l’aire sous une courbe ; la longueur s’écrit ∫√(r² + r′²) dθ ; l’angle avec le rayon se lit par arctan(r/r′).
Un langage graphique
Radar, micro, antenne, voilier : le diagramme polaire montre d’un coup d’œil ce qui se passe dans chaque direction.
Pour aller plus loin
En polaires, l’élément d’aire du plan est r dr dθ. C’est l’astuce de Poisson pour calculer ∫e−x²dx : son carré est l’intégrale de e−(x²+y²) sur tout le plan, qui vaut, en polaires, ∫∫e−r² r dr dθ = π ; d’où √π. Dans l’espace, on prolonge les polaires par les coordonnées cylindriques (r, θ, z) et sphériques (r, θ, φ), celles de la géographie et de l’astronomie. Les nombres complexes s’écrivent eux aussi en polaires, z = r eiθ, et la multiplication y devient : multiplier les modules, ajouter les angles.