La géométrie non commutative

Question : si l'on ne nous donne que des matrices, sans aucun point, peut-on retrouver l'espace ? Oui, tant que les matrices commutent.

Prenons n points du plan. Une fonction sur ces points est une liste de n nombres, que l'on range sur la diagonale d'une matrice. Les deux coordonnées x et y deviennent deux matrices diagonales X et Y. On les brouille ensuite par un changement de base orthogonal Q tiré au hasard : X′ = QXQᵀ et Y′ = QYQᵀ sont des tableaux pleins où plus aucun point n'est lisible. Pourtant X′Y′ = Y′X′. Or deux matrices symétriques qui commutent se diagonalisent dans une même base : chaque vecteur v de cette base donne un point (vᵀX′v , vᵀY′v). Les points sont revenus.

Le curseur ε remplace Y′ par Y′ + εK, où K est une matrice symétrique fixe qui ne commute pas avec X′. Les spectres de X′ et de Y′ existent toujours séparément (des abscisses, des ordonnées), mais on ne peut plus les apparier : il n'existe plus de base commune. On diagonalise alors X′ + cY′ (c = 0,618…) et l'on mesure, pour chaque vecteur propre, la dispersion σₓ² = vᵀX′²v − (vᵀX′v)² : elle est nulle pour un vrai point, positive dès que ε > 0.

Question : à quoi ressemble un « plan » dont les deux coordonnées ne commutent pas ? C'est exactement l'espace des phases de la mécanique quantique.

En 1925, Born, Heisenberg et Jordan remplacent la position x et l'impulsion p d'une particule par des opérateurs vérifiant XP − PX = iħ·I (ħ est la constante de Planck réduite ; ici ħ = 1). Le plan (x, p) devient un plan non commutatif. Première surprise : aucune paire de matrices finies ne peut vérifier cette relation, car la trace d'un commutateur est toujours nulle (tr AB = tr BA), alors que tr(iħ·I) = iħN. Il faut une infinité de dimensions.

Le second canevas mesure la conséquence géométrique. Pour toute onde, σₓ·σₚ ≥ ħ/2 : c'est l'inégalité de Heisenberg, conséquence directe du commutateur. L'impulsion est calculée de deux façons indépendantes : par la dérivée (σₚ² = ∫ψ′² dx, l'opérateur P agissant comme −i d/dx) et par la transformée de Fourier (σₚ² = ∫p²|φ|² dp). La gaussienne atteint exactement ½ ; la sécante donne π/6 = 0,5236 ; les deux bosses, très loin de la borne, montrent qu'une onde « en deux endroits » occupe beaucoup de surface. Le produit ne dépend jamais de la largeur a : changer d'échelle étire x et comprime p. Pour la bosse à support borné, la transformée de Fourier décroît lentement ; le calcul côté p, forcément tronqué, ne s'accorde alors qu'à 10⁻⁷ près.

Question : que faire d'un espace si mal fait qu'aucune fonction continue ne le distingue ? Le remplacer par une algèbre non commutative, qui, elle, est parfaitement saine.

Sur le tore (le carré dont on recolle les bords opposés), traçons la droite de pente θ. Si θ = p/q est rationnel, elle se referme après q tours. Si θ est irrationnel, elle ne se referme jamais et remplit tout le tore. Les points où elle recoupe le bord gauche sont les multiples kθ modulo 1 : une orbite de la rotation d'angle θ sur le cercle. L'« espace des feuilles » (on identifie deux points de la même droite) n'a alors aucune fonction continue non constante : chaque orbite est dense. Connes et Rieffel le remplacent par l'algèbre engendrée par deux unitaires U, V vérifiant UV = e^(2iπθ) VU : le tore non commutatif A_θ.

Fait surprenant, contrôlé ici pour 2 000 valeurs de N : les arcs n'ont jamais plus de trois longueurs différentes, et quand il y en a trois, la plus grande est la somme des deux autres (théorème des trois distances, conjecturé par Steinhaus et démontré par Vera Sós en 1958). L'orbite est donc très régulière, mais irrationnellement entrelacée.

Approcher A_θ par des matrices finies

Pour θ = p/q, deux matrices q×q suffisent : U « horloge » (diagonale de racines q-ièmes de l'unité ωⁿ, ω = e^(2iπp/q)) et V « décalage » (permutation circulaire). Pour θ irrationnel c'est impossible : en prenant le déterminant des deux côtés, det(UV) = ω^q det(VU) impose ω^q = 1, donc qθ entier. Les fractions de Fibonacci 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13 approchent φ − 1 de mieux en mieux : chacune donne un « tore flou » de taille finie.

Question : comment parler de distance quand il n'y a plus de points ? En retournant le problème : au lieu de mesurer des chemins, on mesure des pentes de fonctions.

Connes introduit un opérateur D (l'opérateur de Dirac, qui dérive) et pose, pour deux états φ, ψ :

Sur le cercle, D = −i d/dx, et [D, f] est la multiplication par −i f′ : la condition ‖[D,f]‖ ≤ 1 dit simplement « la pente de f ne dépasse jamais 1 ». La formule ne parle plus de chemins, seulement de l'algèbre et de D : elle s'applique donc telle quelle aux espaces non commutatifs et aux espaces finis.

Question : pourquoi la conductance de Hall, mesurée en 1980 par von Klitzing, est-elle un multiple entier de e²/h avec une précision d'un milliardième, malgré les impuretés de l'échantillon ? Parce que c'est un nombre de Chern, et que la géométrie non commutative garantit qu'il reste entier.

Un électron saute de site en site sur un réseau carré traversé par un champ magnétique ; θ est le flux par maille, compté en quanta de flux. Les translations d'un site vers la droite et vers le haut, U et V, ne commutent plus : UV = e^(2iπθ) VU, exactement le tore non commutatif de la planche 3. L'énergie est H = U + U* + V + V* (modèle de Harper). Pour θ = p/q, son spectre se compose de q bandes, calculées ici par diagonalisation de matrices q×q ; tracé pour toutes les fractions, il dessine le papillon de Hofstadter (1976).