Cahier de géométrie

La géométrie hyperbolique

Que se passe-t-il si l'on garde tous les axiomes d'Euclide sauf un, celui des parallèles ? On obtient un monde cohérent, aussi rigoureux que le plan, où les triangles ont moins de 180°, où les cercles grandissent de façon exponentielle et où l'on peut paver avec des heptagones. Le disque de Poincaré permet de le voir.

Une carte qui déforme, mais honnêtement

Le disque de Poincaré est une carte du plan hyperbolique tout entier, posée dans un disque de rayon 1. Comme une carte du monde, elle déforme : plus un objet est proche du bord, plus il est dessiné petit. Précisément, une longueur réelle vaut la longueur dessinée multipliée par le facteur 2/(1 − r²), où r est la distance au centre du dessin. Ce facteur vaut 2 au centre et devient infini au bord : le bord du disque est donc infiniment loin, il n'appartient pas au plan hyperbolique, c'est « l'horizon ».

Deux règles suffisent pour lire la carte. Les droites (les chemins les plus courts, appelés géodésiques) sont dessinées comme des arcs de cercle qui coupent le bord à angle droit, ou comme des diamètres. Les angles, eux, sont dessinés sans déformation : l'angle que l'on voit est l'angle vrai (on dit que la carte est conforme).

	Sphère (courbure +1)	Plan d'Euclide (courbure 0)	Plan hyperbolique (courbure −1)
Parallèles à une droite par un point extérieur	aucune	une seule	une infinité
Somme des angles d'un triangle	plus de 180°	exactement 180°	moins de 180°
Aire d'un triangle	excès : (α+β+γ) − π	sans lien avec les angles	défaut : π − (α+β+γ), jamais plus que π
Périmètre d'un cercle de rayon ρ	2π sin ρ	2π ρ	2π sinh ρ, croissance exponentielle
Triangles semblables de tailles différentes	impossible	possible	impossible : les angles fixent la taille

Dans toute la page : bleu = l'objet étudié, rouge = point d'attention ou notion clé, vert = référence exacte, orange = variante, gris pointillé = repères euclidiens. Les points ronds se déplacent à la souris ou au doigt.

Par un point, une infinité de parallèles

L'idée : dans le plan d'Euclide, par un point P hors d'une droite d passe une seule droite qui ne la rencontre pas. Ici, il en passe une infinité. Deux d'entre elles sont particulières : les parallèles limites (en vert), qui rejoignent d « à l'infini », sur le bord du disque. Toutes les droites comprises entre elles, du côté opposé à d, ne coupent jamais d (en orange) ; celles qui pointent vers d la coupent (en rouge). L'angle entre la perpendiculaire PH et une parallèle limite s'appelle l'angle de parallélisme Π ; Lobatchevski a découvert qu'il ne dépend que de la distance δ de P à d :

Π(δ) = 2 arctan(e^−δ)

Déplacez P. La droite d est le diamètre horizontal ; ses deux extrémités sur le bord sont des « points à l'infini ». La droite épaisse tourne avec le curseur.

Angle de parallélisme selon la distance δ : formule de Lobatchevski (vert) et mesure faite sur la figure (point rouge). En gris, la valeur euclidienne 90°.

Direction de la droite par P

distance δ de P à d (formule)—

δ par recherche directe du point le plus proche—

Π mesuré à droite / à gauche—

Π par la formule · écart—

part des directions qui ne coupent pas d (3600 essais)—

droite choisie—

Ce qu'on vient de voir. Quand P est tout près de d, Π est presque 90° : de près, la géométrie hyperbolique ressemble à celle d'Euclide, et une seule parallèle semble exister. Quand P s'éloigne, Π se referme vers 0 et presque toutes les directions évitent d. Le cinquième postulat n'est donc pas une conséquence des autres : c'est un choix, et ce choix-ci est cohérent.

Une règle qui rétrécit

L'idée : pour mesurer un chemin sur la carte, on additionne ses petits morceaux, chacun multiplié par le facteur 2/(1 − r²). Le chemin le plus court entre A et B n'est donc pas le segment dessiné (il passe trop près du bord, là où tout « coûte » cher) mais l'arc qui se rapproche du centre. Sa longueur a une formule fermée :

d(A, B) = arcosh ( 1 + 2|A − B|² / ((1 − |A|²)(1 − |B|²)) )

Arc bleu : la géodésique de A à B, graduée en rouge selon le pas choisi (toutes les graduations sont à la même distance réelle). Pointillé gris : le segment euclidien, plus long en réalité.

Pas des graduations

d(A, B) par la formule—

longueur de l'arc, additionnée (Simpson)—

écart entre les deux—

longueur réelle du segment dessiné—

le segment est plus long de—

longueur sur le dessin |AB|—

Le marcheur qui n'arrive jamais

Un rayon du disque, du centre (à gauche) au bord (à droite). Le marcheur avance à vitesse constante ; les repères marquent chaque unité de distance parcourue.

distance parcourue t—

position sur le dessin r = tanh(t/2)—

ce qui reste jusqu'au bord, 1 − r—

(1 − r)·eᵗ/2 → 1—

Ce qu'on vient de voir. La formule et l'addition des petits morceaux tombent d'accord à 10⁻¹⁰ près ou mieux : la formule n'est que le résultat exact de cette addition le long de l'arc. Et le marcheur ne touche jamais le bord : à chaque unité parcourue, la part qui lui reste à franchir sur le dessin est divisée par e ≈ 2,718. Le plan hyperbolique est infini dans toutes les directions.

Des cercles trop grands pour leur rayon

L'idée : un cercle est l'ensemble des points situés à la distance ρ d'un centre C. Sur la carte, il est dessiné comme un vrai cercle, mais son centre dessiné n'est pas C (il est décalé vers le bord). Surtout, son périmètre et son aire dépassent de loin les valeurs d'Euclide :

périmètre = 2π sinh ρ aire = 2π (cosh ρ − 1)

Déplacez le centre C (rouge). Les douze rayons bleus ont tous la même longueur ρ. La croix grise marque le centre du cercle dessiné.

Rayon ρ

Périmètre selon le rayon : plan hyperbolique (bleu), plan d'Euclide (gris), sphère de rayon 1 (orange). Point rouge : périmètre mesuré sur la figure.

périmètre mesuré (intégrale sur le dessin)—

2π sinh ρ · écart—

aire mesurée (formule de Green)—

2π(cosh ρ − 1) · écart—

périmètre dans le plan d'Euclide, 2πρ—

« π » de ce cercle : périmètre / (2ρ)—

aire / périmètre = tanh(ρ/2)—

Ce qu'on vient de voir. Pour un rayon ρ = 4, le périmètre vaut déjà près de 7 fois celui d'Euclide (et 27 fois pour ρ = 6), et le rapport périmètre/diamètre n'est plus π : il dépend de la taille du cercle. Le rapport aire/périmètre tend vers 1 : presque toute l'aire d'un grand disque hyperbolique se trouve dans une mince couronne près de son bord. C'est cet espace « en trop » qui permettra de loger les pavages de la planche 5.

Des triangles qui maigrissent

L'idée : un triangle hyperbolique a trois côtés géodésiques, donc légèrement creusés vers l'intérieur. Ses angles sont toujours trop petits, et ce qui manque à 180° — le défaut — n'est pas une erreur : c'est exactement son aire (théorème de Gauss-Bonnet, en courbure −1). Un triangle ne peut donc jamais avoir une aire supérieure à π, même si ses sommets s'en vont à l'infini.

aire = π − (α + β + γ)

Déplacez les trois sommets. Les angles sont lus directement sur le dessin, puisque la carte ne les déforme pas.

Triangle équilatéral de rayon

Somme des angles d'un triangle équilatéral selon son rayon : formule exacte (vert), mesures sur des triangles construits (points bleus), triangle actuel (pointillé rouge).

angles α · β · γ—

somme des angles—

défaut π − somme—

aire mesurée (formule de Green)—

écart aire − défaut—

côtés a · b · c—

Ce qu'on vient de voir. Un petit triangle a presque 180° : il ressemble à un triangle d'Euclide. Un triangle dont on pousse les sommets vers le bord voit ses angles fondre vers zéro et son aire plafonner à π ≈ 3,1416. Comme les angles déterminent l'aire, deux triangles de mêmes angles ont même taille : en géométrie hyperbolique, il n'existe pas d'agrandissement sans déformation, donc pas de maquette à l'échelle.

Signature — le pavage infini

L'idée : dans le plan d'Euclide, on ne peut paver qu'avec des triangles, des carrés ou des hexagones réguliers, car les angles autour d'un sommet doivent faire 360°. Ici, les angles d'un polygone régulier rétrécissent quand il grandit (planche 4) : on peut choisir sa taille pour que q polygones à p côtés se rejoignent exactement en chaque sommet. C'est possible dès que (p − 2)(q − 2) > 4. Le pavage est construit en réfléchissant la tuile centrale par-dessus ses côtés, puis les nouvelles tuiles, et ainsi de suite ; on le fait ensuite glisser par une isométrie (un déplacement qui conserve toutes les distances), de la forme z ↦ (e^iφz + a)/(1 + ā e^iφz).

Tuile centrale en rouge, une tuile repère en orange. Faites glisser le pavage avec le doigt : toutes les tuiles ont la même taille réelle.

Le même pavage, au même instant, dans un autre modèle : le demi-plan supérieur, où l'horizon est l'axe horizontal (plus un point à l'infini). Les droites y sont des demi-cercles centrés sur l'axe ou des demi-droites verticales.

Pavage {p, q}

Élan du glissement

Rayon de comptage ρ

tuiles construites—

aire d'une tuile mesurée (Green)—

(p − 2)π − 2πp/q · écart—

angle au sommet mesuré, × q—

tuiles à moins de ρ · aire du disque / aire d'une tuile—

pente de ln N(ρ) de 1,5 à ρ · pente de ln(aire du disque)—

longueur du glissement 2 artanh|a|—

distance centrale ↔ repère : avant / après glissement—

même distance calculée dans le demi-plan · écart—

Ce qu'on vient de voir. Les tuiles se tassent vers le bord sur le dessin, mais elles sont toutes identiques : le glissement le prouve, chaque tuile pouvant venir au centre sans changer de forme, et la distance mesurée entre deux tuiles reste la même avant et après, comme dans l'autre modèle. Le nombre de tuiles à moins de ρ croît comme e^ρ : la pente de ln N, mesurée sur le pavage lui-même, suit celle du logarithme de l'aire du disque (qui tend vers 1 quand ρ grandit), et le nombre de tuiles reste proche de l'aire du disque divisée par celle d'une tuile. Dans le plan, il croîtrait seulement comme ρ². C'est la géométrie que Coxeter fit découvrir à Escher en 1958, d'où naquit la série des Limites circulaires.

Deux mille ans autour d'un postulat

vers −300Euclide énonce cinq postulats ; le cinquième, sur les parallèles, est nettement plus compliqué que les autres. Pendant vingt siècles, on tente de le démontrer à partir des quatre premiers.
1733Gerolamo Saccheri suppose le postulat faux pour aboutir à une contradiction. Il obtient en fait les premiers théorèmes hyperboliques, mais conclut à tort qu'ils sont « répugnants à la nature de la droite ».
1766Johann Heinrich Lambert remarque que l'aire d'un triangle serait proportionnelle à son défaut, comme sur une sphère de rayon imaginaire.
vers 1824Carl Friedrich Gauss est convaincu de la cohérence de cette géométrie, mais ne publie rien.
1829 – 1832Nikolaï Lobatchevski à Kazan, puis János Bolyai en Hongrie publient indépendamment une géométrie complète où passent une infinité de parallèles.
1868Eugenio Beltrami construit les premiers modèles : la géométrie hyperbolique est aussi cohérente que celle d'Euclide, puisqu'on peut la représenter à l'intérieur de celle-ci.
1871Felix Klein propose le modèle projectif (droites dessinées droites, angles déformés) et le nom de géométrie « hyperbolique ».
1882Henri Poincaré rencontre ces géométries en étudiant les fonctions fuchsiennes et introduit le disque et le demi-plan qui portent son nom.
1901David Hilbert démontre qu'aucune surface lisse de l'espace ordinaire ne réalise tout le plan hyperbolique : il faut des cartes.
1958 – 1960Harold Coxeter envoie à M. C. Escher une figure de pavage du disque ; Escher en tire ses gravures Limite circulaire I à IV.

En trois idées

Un postulat indépendant

Remplacer « une seule parallèle » par « une infinité » ne crée aucune contradiction. Il existe plusieurs géométries également cohérentes ; la question de savoir laquelle décrit l'espace physique relève de la mesure, pas de la logique.

Les angles commandent les tailles

Le défaut d'un triangle est son aire. Il existe donc une unité de longueur naturelle, fixée par la courbure, et aucune figure ne peut être agrandie sans être déformée.

La place croît exponentiellement

Périmètres et aires grandissent comme eᵖ. C'est ce qui permet les pavages par heptagones, et qui rend cette géométrie utile pour représenter des arbres et des réseaux, dont le nombre de nœuds croît lui aussi exponentiellement.

Pour aller plus loin

Autres modèles. Le modèle de Klein (ou de Beltrami-Klein) dessine les droites comme de vraies cordes du disque, au prix d'angles déformés ; on passe du disque de Poincaré à lui par z ↦ 2z/(1 + |z|²). Le modèle de l'hyperboloïde place le plan sur la nappe x² + y² − t² = −1 de l'espace de Minkowski ; c'est lui qui explique le nom « hyperbolique » et le lien avec la relativité : l'ensemble des vitesses possibles d'un corps forme un plan hyperbolique, et la « rapidité » en est la distance.

La pseudosphère. Beltrami a montré qu'une surface de révolution de l'espace, engendrée par la tractrice, a une courbure constante −1 : elle réalise un morceau du plan hyperbolique, mais pas tout entier (théorème de Hilbert).

Les formules utilisées dans cette page. Élément de longueur ds = 2|dz|/(1 − |z|²), élément d'aire 4 dx dy/(1 − |z|²)², calculé par la formule de Green avec la forme 2(x dy − y dx)/(1 − |z|²). Distance d'un point z au diamètre réel : sinh δ = 2|Im z|/(1 − |z|²). Polygone régulier à n côtés d'angle α et de rayon R : cosh R = cot(π/n)·cot(α/2). Passage au demi-plan : w = i(1 + z)/(1 − z), où la distance devient arcosh(1 + |w₁ − w₂|²/(2 Im w₁ Im w₂)).

Voir aussi dans le cahier : « Le théorème magique de Conway », dont la signature fait basculer un même triangle entre sphère, plan et disque, et « Les cinq réseaux », qui rencontre le demi-plan modulaire.