Géométrie

La géométrie euclidienne dans le plan et dans l’espace

La géométrie d’Euclide est celle des distances et des angles. Elle répond à des questions très concrètes : quel hôpital est le plus proche, où poser une antenne, par où passer la route, comment l’araignée rejoint la mouche, comment un récepteur GPS sait où il est, et pourquoi l’épicier empile ses oranges en pyramide.

Du plan à l’espace : les mêmes outils, des réponses différentes

Ce qui fait la géométrie euclidienne, c’est la mesure : la distance entre deux points et l’angle entre deux directions, toutes deux tirées du produit scalaire u·v = ‖u‖·‖v‖·cos θ. Avec ces deux mesures, on définit les objets qui servent partout : la médiatrice (les points à égale distance de deux points), le cercle (à distance fixe d’un centre), la perpendiculaire (angle droit). Dans l’espace, chacun a son jumeau, et le passage du plan à l’espace change souvent la réponse.

Dans le plan	Dans l’espace	Application de cette page
médiatrice d’un segment (une droite)	plan médiateur	zones de desserte (planche 1)
cercle	sphère	antenne (planche 1), GPS (planche 4)
la droite, plus court chemin	sur une surface pliée : la droite du patron déplié	Héron, Fermat (planche 2), araignée (planche 3)
trois cercles se coupent en un point	il faut quatre sphères (la quatrième corrige l’horloge)	GPS (planche 4)
un disque touche au plus 6 disques égaux	une boule touche au plus 12 boules égales	empilements (planche 5)

Les notions de base (équations de droites et de plans, distances, produit scalaire, produit vectoriel) sont traitées dans la page « Les bases de la géométrie dans le plan et dans l’espace » ; celle-ci les met au travail.

PLANCHE 1

Le plus proche : médiatrices, zones de desserte et antenne

Question : huit villages, une caserne de pompiers dans chacun ; quelle caserne intervient où ? Et si l’on ne pose qu’une seule antenne, où la placer pour que le village le plus éloigné soit le moins loin possible ? Les deux réponses sont faites de médiatrices et de cercles.

Faites glisser les villages (points bleus) et la maison rouge. Chaque zone colorée rassemble les lieux plus proches de son village que de tout autre : c’est le diagramme de Voronoï. Le cercle rouge est le plus petit cercle contenant tous les villages.

zones de Voronoï

cercles vides (Delaunay)

antenne

villages · sommets de Voronoï—

sommet de Voronoï / centre du cercle des trois villages voisins—

cercles vides : villages à l’intérieur—

maison : village le plus proche (zone / calcul direct)—

antenne : rayon par l’algorithme de Welzl—

contrôle par essai de tous les couples et triplets—

villages sur le cercle de l’antenne—

La frontière entre deux zones est un morceau de médiatrice ; là où trois zones se rencontrent, le point est à égale distance de trois villages : c’est le centre du cercle passant par eux, et ce cercle ne contient aucun autre village (cercle vide de Delaunay). Pour l’antenne, le meilleur cercle est soit le cercle de diamètre les deux villages les plus éloignés, soit le cercle circonscrit à trois villages : jamais un autre. John Snow a utilisé cette idée en 1854 à Londres en traçant les zones des pompes à eau : le choléra se concentrait dans la zone d’une seule pompe.

PLANCHE 2

Le plus court : le berger de Héron et le point de Fermat

Question : quel est le plus court chemin quand on doit passer par une rivière, ou relier trois villes par un réseau de routes ? La ligne droite reste la réponse, à condition de savoir où la chercher : dans un miroir pour la rivière, dans des triangles équilatéraux pour les trois villes.

Le berger part de A, fait boire ses moutons à la rivière en M, et rentre en B. Faites glisser A, B et M. En pointillé : le symétrique B′ de B par rapport à la rivière.

La longueur AM + MB selon la position de M le long de la rivière. Le minimum est un creux sans angle.

longueur AM + MB actuelle—

par le miroir : longueur AB′—

minimum cherché à l’aveugle (section dorée) / AB′—

angles d’arrivée et de départ en M—

Remplacer B par son symétrique B′ ne change pas la longueur MB, puisque la rivière est la médiatrice de [BB′]. Le chemin A → M → B a donc la longueur de A → M → B′, et ce dernier est le plus court quand il est droit. Conséquence : au point optimal, les deux angles avec la rivière sont égaux. C’est la loi de la réflexion de la lumière, que Héron d’Alexandrie expliquait ainsi au Ier siècle : la lumière prend le chemin le plus court. Même raisonnement au billard pour viser une bande.

Trois villes A, B, C (bleu) et un carrefour P (rouge), tous déplaçables. Les routes vont de P à chaque ville. En pointillé vert : la construction de Torricelli par les triangles équilatéraux.

construction de Torricelli

longueur des routes PA + PB + PC—

minimum par itérations de Weiszfeld—

longueur AA′ (segment de Simpson)—

Weiszfeld / intersection des droites de Torricelli—

angles des trois routes au carrefour optimal—

gain sur le meilleur réseau sans carrefour (deux côtés)—

Le carrefour optimal est le point de Fermat : les trois routes y font entre elles des angles de 120°. Torricelli l’obtient en construisant un triangle équilatéral sur chaque côté, à l’extérieur : les trois droites qui joignent chaque sommet au sommet extérieur opposé se coupent en ce point, et la longueur totale minimale est exactement celle de ces segments. Si un angle du triangle dépasse 120°, le carrefour se réduit au sommet de cet angle. On retrouve les angles de 120° dans les films de savon tendus entre trois clous et dans la conception des réseaux (routes, câbles, canalisations) : c’est le problème de Steiner.

PLANCHE 3

L’araignée et la mouche : le plus court chemin sur les murs

Question : une araignée, sur un petit mur d’une pièce, veut rejoindre une mouche sur le mur d’en face, en marchant sur les parois. Quel chemin prendre ? Dans l’espace, la ligne droite traverse l’air ; sur les murs, il faut déplier la pièce à plat : le plus court chemin devient un segment du patron.

La pièce en perspective (faites tourner avec le curseur « vue »). Rouge : le plus court chemin ; gris : le chemin naïf (descendre, traverser le sol, remonter). A : l’araignée, M : la mouche.

Le patron déplié qui donne le plus court chemin : les faces traversées sont mises à plat bout à bout, et le chemin devient une droite.

longueur

largeur

hauteur

araignée : distance au plafond

mouche : distance au sol

vue

plus court chemin (droite du meilleur patron)—

faces traversées—

contrôle : longueur remesurée en 3D, segment par segment—

chemin naïf (par le sol, tout droit)—

patrons valables essayés · deuxième meilleur—

ligne droite à travers l’air (impossible pour l’araignée)—

C’est l’énigme publiée par Henry Dudeney en 1903 : pièce de 30 × 12 × 12, araignée au milieu d’un petit mur à 1 du plafond, mouche au milieu du mur opposé à 1 du sol. Le chemin naïf mesure 1 + 30 + 11 = 42 ; le plus court mesure exactement 40, et il traverse cinq des six faces, dont le plafond, un grand mur et le sol, en biais. Sur une surface faite de morceaux de plans, la géométrie euclidienne s’applique face par face ; le patron les recolle sans déformer ni distances ni angles. Les chaudronniers, les poseurs de câbles et de gaines raisonnent de la même façon.

PLANCHE 4

Le GPS : se situer par des sphères

Question : comment un récepteur GPS sait-il où il est ? Chaque satellite annonce sa position et l’heure d’émission ; le temps de trajet du signal, multiplié par la vitesse de la lumière, donne une distance. Le récepteur est donc sur une sphère centrée sur chaque satellite. Dans le plan, trois cercles suffiraient ; dans l’espace, il faut quatre sphères, car l’horloge du récepteur est elle-même une inconnue.

La Terre (rayon 6 371 km), les satellites sur leur orbite (rayon 26 560 km) et, en fin trait, le contour des sphères de rayon égal à la distance mesurée. Toutes passent par le récepteur rouge. La vue tourne lentement autour de l’axe des pôles.

satellites

décalage de l’horloge du récepteur

bruit sur chaque distance

ciel

erreur de position, moindres carrés (Gauss-Newton)—

solution directe de Bancroft / Gauss-Newton—

décalage d’horloge retrouvé—

erreur si l’on oubliait l’horloge—

dilution géométrique de la précision (GDOP)—

1 microseconde d’horloge, en distance299,792 m

Les quatre inconnues sont les trois coordonnées du récepteur et le décalage de son horloge, qui allonge toutes les distances de la même quantité. Avec quatre satellites, on a quatre équations ‖S_i − R‖ + c·Δt = ρ_i ; on les résout deux fois, par itérations (Gauss-Newton) et par la formule fermée de Bancroft (1985). Sans bruit de mesure, les deux s’accordent à quelques milliardièmes de mètre ; avec du bruit et plus de quatre satellites, elles ne minimisent plus tout à fait la même quantité et diffèrent de quelques décimètres à quelques mètres. Oublier l’horloge coûte des centaines de mètres par microseconde. Enfin la géométrie du ciel compte : des satellites groupés donnent des sphères presque tangentes, qui se coupent mal ; le bruit de mesure est alors amplifié par le GDOP, qui vaut de 2 à 5 pour un ciel bien réparti mais de 95 à 150 pour des satellites groupés : 5 m de bruit deviennent alors des centaines de mètres d’erreur.

PLANCHE 5 · SIGNATURE

Empiler des sphères : l’épicier avait raison

Question : comment ranger le plus d’oranges (ou de boulets, ou d’atomes) dans un volume donné ? La question se pose dans le plan avec des disques, puis dans l’espace avec des boules. Johannes Kepler affirma en 1611 que la pyramide de l’épicier est la meilleure ; il a fallu attendre 1998 pour une démonstration, due à Thomas Hales.

Des pièces de monnaie posées en rangées. Le curseur décale une rangée sur deux et laisse les rangées descendre dans les creux : de la grille carrée à la grille hexagonale.

Densité (part du plan couverte) selon le décalage. Points : mesures de Monte-Carlo ; courbe : calcul exact sur la maille.

décalage des rangées

densité exacte de la maille—

densité mesurée (Monte-Carlo, 100 000 points)—

voisins qui touchent chaque disque—

gain sur la grille carrée—

Dans la grille carrée, chaque disque touche 4 voisins et couvre π/4 ≈ 78,54 % du plan. En glissant les rangées dans les creux, on gagne de la place : la grille hexagonale, où chaque disque touche 6 voisins, couvre π/√12 ≈ 90,69 %, soit 15,5 % de pièces en plus sur la même surface. Thue a démontré au début du XXᵉ siècle que c’est le maximum dans le plan. Les alvéoles des abeilles et les canettes dans un carton suivent la même géométrie.

Un bloc de boules rangées selon le réseau choisi. Faites tourner avec le curseur ; la boule rouge est une boule centrale, ses voisines au contact sont en orange.

rangement

vue

densité exacte—

densité mesurée (Monte-Carlo, 200 000 points)—

voisins au contact (comptés dans le réseau)—

écart à la borne de Kepler π/√18—

rangement	voisins	densité	exemples
cubique simple	6	π/6 ≈ 52,36 %	rare (polonium)
cubique centré	8	π√3/8 ≈ 68,02 %	fer α, sodium
faces centrées	12	π/√18 ≈ 74,05 %	cuivre, or, oranges
hexagonal compact	12	π/√18 ≈ 74,05 %	zinc, magnésium

La pyramide de l’épicier pose chaque couche dans les creux de la précédente : on obtient le réseau cubique à faces centrées, où chaque boule touche 12 voisines, et la densité π/√18 ≈ 74,05 %. Dans le plan la réponse tenait en une ligne ; dans l’espace, on peut empiler les couches de plusieurs façons (faces centrées, hexagonal compact, et une infinité de mélanges) qui donnent toutes la même densité, et rien n’interdisait a priori un rangement irrégulier meilleur. Gauss a traité les réseaux réguliers en 1831 ; le cas général, la conjecture de Kepler, a été démontré par Thomas Hales en 1998 avec l’aide de l’ordinateur, puis vérifié formellement en 2014. La même géométrie organise les métaux, et les codes correcteurs d’erreurs, qui empilent des sphères en grande dimension.

Repères historiques

vers −300Euclide rassemble dans les Éléments la géométrie des distances et des angles à partir de quelques axiomes.

Ier siècleHéron d’Alexandrie explique la réflexion de la lumière par le plus court chemin.

1611Kepler, dans L’Étrenne ou la neige sexangulaire, affirme que l’empilement de l’épicier est le plus dense.

vers 1640Fermat propose de trouver le point qui minimise la somme des distances à trois points ; Torricelli le construit.

1854John Snow trace autour des pompes de Soho les zones qu’on appelle aujourd’hui de Voronoï (1908).

1903Henry Dudeney publie l’énigme de l’araignée et de la mouche.

1978 – 1995Lancement des premiers satellites GPS, puis mise en service complète du système.

1998 – 2014Hales démontre la conjecture de Kepler ; la preuve est vérifiée formellement par ordinateur.

Distance

Médiatrice, cercle, sphère : tous les lieux « à distance donnée » servent à partager un territoire, à couvrir une zone ou à se repérer.

Plus court chemin

La droite reste la réponse, pourvu qu’on la cherche au bon endroit : dans un miroir, dans des triangles équilatéraux, sur un patron déplié.

Plan contre espace

Trois cercles contre quatre sphères, six voisins contre douze : l’espace ajoute une inconnue et rend certaines questions beaucoup plus difficiles.

Pour aller plus loin

Le diagramme de Voronoï se généralise à l’espace (cellules polyédriques), où il décrit les grains d’un métal ou les zones d’influence de cristaux. Le problème de Steiner (relier n points par le réseau le plus court, en ajoutant des carrefours à 120°) est difficile en général : on ne connaît pas d’algorithme rapide. Le GPS réel corrige en plus la traversée de l’ionosphère et deux effets de relativité (environ 38 microsecondes par jour, soit plus de 10 km d’erreur cumulée si on les oubliait). Les empilements optimaux sont connus en dimension 8 et 24 (Viazovska, 2016), mais toujours pas en dimension 4 ou 5.