La géométrie différentielle et ses applications

L'idée : la courbure κ d'une courbe est l'angle dont tourne la direction par mètre parcouru, en radians par mètre. Une droite a une courbure nulle ; un cercle de rayon R a une courbure constante 1/R. En chaque point, le cercle osculateur est le cercle qui épouse le mieux la courbe : son rayon vaut 1/κ.

Pour un conducteur, la courbure n'est pas une abstraction : l'angle du volant lui est proportionnel, et l'accélération latérale qui pousse les passagers vaut a = v²κ. Raccorder une ligne droite directement à un arc de cercle ferait sauter κ de 0 à 1/R : il faudrait tourner le volant d'un coup, et a passerait de zéro à sa valeur maximale en un instant. On intercale donc une clothoïde (ou spirale de Cornu), la courbe dont la courbure croît proportionnellement à la longueur parcourue : κ(s) = s / (R L) sur une longueur L. Ses coordonnées sont les intégrales de Fresnel x(s) = ∫cos(u²/2RL) du, y(s) = ∫sin(u²/2RL) du.

L'idée : en chaque point d'une courbe de l'espace on attache trois flèches perpendiculaires de longueur 1. T suit la direction de la courbe, N pointe vers le centre du cercle osculateur, et B = T × N complète le trièdre. C'est le repère de Frenet. Sa variation donne deux nombres : la courbure κ, qui fait tourner T vers N, et la torsion τ, qui fait tourner N autour de T et mesure la vitesse à laquelle la courbe quitte son plan (formules de Frenet-Serret : T′ = κN, N′ = −κT + τB, B′ = −τN).

Application : pour modéliser un tuyau, poser les traverses d'un rail de montagnes russes ou orienter une caméra le long d'un trajet, il faut un repère en chaque point. Le repère de Frenet paraît naturel, mais il tourne sur lui-même au rythme de la torsion, et il devient instable là où la courbure s'annule (point d'inflexion) : N y bascule d'un demi-tour. Les logiciels de 3D utilisent plutôt le repère sans rotation de Bishop (1975), transporté le long de la courbe sans jamais tourner autour de T. L'écart d'angle entre les deux repères est exactement l'intégrale de la torsion, ∫τ ds.

L'idée : en un point d'une surface, coupons-la par des plans contenant la verticale. Chaque coupe donne une courbe avec sa courbure ; les deux valeurs extrêmes, κ₁ et κ₂, sont les courbures principales (Euler, 1760), et leur produit est la courbure de Gauss K = κ₁κ₂. Positive pour un dôme, nulle pour un cylindre, négative pour une selle.

Le « théorème remarquable » de Gauss (1827) : K peut se mesurer sans sortir de la surface. Une fourmi trace un cercle en marchant tout droit à la distance r d'un point (un cercle géodésique) et en mesure le tour C. Sur un plan, C = 2πr ; sur une surface, C = 2πr − (π/3) K r³ + … Il manque du tour quand K > 0, il y en a trop quand K < 0. Conséquence pratique : on ne peut pas courber une feuille sans l'étirer, sauf en gardant K = 0. C'est pourquoi on plie une part de pizza en gouttière : la courbure imposée en travers (κ₁ ≠ 0) oblige κ₂ à rester nulle, et la pointe ne peut plus s'affaisser.

L'idée : une géodésique est la trajectoire de quelqu'un qui marche droit devant lui sur une surface, sans jamais tourner ni à gauche ni à droite : son accélération est entièrement perpendiculaire à la surface. Entre deux points proches, c'est le plus court chemin.

Sur une surface de révolution, Clairaut (1733) a trouvé une loi de conservation : si r est la distance à l'axe et ψ l'angle entre la trajectoire et le méridien, alors r sin ψ = c reste constant. La géodésique ne peut donc jamais entrer là où r < c : elle rebrousse chemin exactement sur le parallèle de rayon c. Application industrielle : les réservoirs à hydrogène et les corps de fusée sont fabriqués en enroulant sous tension une fibre de carbone sur un mandrin. Une fibre tendue qui n'est pas posée sur une géodésique glisse de côté. L'ouverture polaire de rayon r₀ (le trou du bouchon) fixe donc l'angle d'enroulement sur le cylindre : sin ψ = r₀ / R.

L'idée : chaque point d'une courbe fermée avance vers son centre de courbure, à une vitesse égale à la courbure κ. Les bosses très courbées reculent vite, les parties presque droites bougent à peine. C'est l'équation ∂γ/∂t = κN, la version géométrique de l'équation de la chaleur.

Deux théorèmes surprenants. Gage et Hamilton (1986), puis Grayson (1987) : toute courbe fermée qui ne se recoupe pas devient convexe, ne se recoupe jamais, et finit par disparaître en un point en ayant pris la forme d'un cercle. Et l'aire perdue par unité de temps est la même pour toutes les formes : dA/dt = −∮κ ds = −2π, car la tangente d'une courbe simple fait exactement un tour. La durée de vie est donc connue d'avance : T = A₀/2π. Applications : lissage des contours en traitement d'images, contours actifs, croissance des grains dans les métaux recuits (Mullins, 1956), et, en dimension supérieure, le flot de Ricci qui a permis à Perelman de démontrer la conjecture de Poincaré.