La géométrie descriptive et ses applications

L'idée : un point A de l'espace a une image a sur le plan horizontal (on le regarde d'en haut) et une image a′ sur le plan frontal (on le regarde de face). La distance de a′ à la ligne de terre est la cote z de A ; la distance de a à la ligne de terre est son éloignement y. Quand on rabat le plan horizontal, a et a′ se retrouvent sur une même perpendiculaire à la ligne de terre : la ligne de rappel.

Faites varier le rabattement de 0 % (les deux plans à angle droit, comme un coin de pièce) à 100 % (la feuille à plat). Déplacez A avec les trois curseurs, ou affichez une petite maison : sa vue de dessus et sa vue de face sont exactement les deux vues d'un dessin technique.

L'idée : un segment incliné paraît plus court sur les deux vues. Sa vue de dessus mesure la distance horizontale ℓ entre ses extrémités, sa vue de face ne montre que la différence de hauteur Δz et le décalage en x. Pour lire la vraie grandeur, on fait tourner le segment autour d'un axe vertical passant par A jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan frontal : à ce moment-là, sa vue de face n'est plus raccourcie.

Sur l'épure, cette rotation est une construction simple : b décrit un arc de cercle de centre a jusqu'à la parallèle à la ligne de terre ; b′ glisse horizontalement, à cote constante. La longueur a′b₁′ est alors la vraie longueur L = √(ℓ² + Δz²), et l'angle de a′b₁′ avec l'horizontale est la pente du segment. Déplacez a et b sous la ligne de terre, et a′, b′ verticalement au-dessus.

L'idée : un toit en croupe couvre un rectangle par quatre pans de même pente α. Vu de dessus, c'est un dessin très simple : le faîtage au milieu, et quatre arêtiers (les arêtes inclinées qui descendent aux angles) tracés à 45°, car deux pans de même pente se coupent sur la bissectrice de leur angle au sol. Mais aucune des deux vues ne montre la vraie longueur d'un arêtier, ni l'angle entre deux pans : il faut les construire.

Le charpentier lit sur l'épure la hauteur du faîtage, h = (l/2)·tan α, puis rabat l'arêtier pour obtenir sa longueur réelle. Une autre règle de l'épure sert au couvreur : la surface d'un pan est sa surface vue de dessus divisée par cos α, et comme les quatre pans ont la même pente, la surface totale à couvrir vaut la surface au sol divisée par cos α.

L'idée : pour fabriquer un tuyau qui en rejoint un autre, on découpe une tôle plate puis on la roule. Il faut donc connaître la forme exacte de la découpe : c'est le patron, ou développement. Le chaudronnier divise le cercle du tuyau en n parts égales, trace les n génératrices (les droites du tuyau parallèles à son axe), relève sur l'épure la hauteur où chacune rencontre l'autre pièce, puis reporte ces hauteurs sur un rectangle de longueur 2πr.

Deux cas d'atelier. Le piquage en T : un tuyau de rayon r débouche à angle droit sur un tuyau de rayon R ≥ r ; la génératrice d'angle θ s'arrête à la hauteur √(R² − r² sin²θ). Le coude à onglet : deux tronçons coupés en biais forment un coude d'angle φ ; chaque coupe suit une sinusoïde de hauteur r·tan(φ/2)·cos θ.

L'idée : le Soleil est si loin que ses rayons sont parallèles. L'ombre d'un point est l'endroit où le rayon qui passe par ce point touche le sol. Sur l'épure, c'est une construction à deux étapes : sur la vue de face, on suit le rayon depuis a′ jusqu'à la ligne de terre (le sol vu de face) ; on redescend par une ligne de rappel, et on coupe la vue de dessus du rayon. L'ombre de toute la maison est l'enveloppe des ombres de ses sommets.

La direction des rayons se calcule à partir de la latitude, de la date et de l'heure solaire. Architectes et urbanistes font exactement ce calcul pour vérifier qu'un immeuble ne prive pas ses voisins de soleil, ou pour dessiner un brise-soleil. La tradition de l'épure utilise aussi une lumière conventionnelle, dirigée selon la diagonale d'un cube : ses deux projections sont inclinées à 45°, ce qui rend les ombres faciles à tracer à l'équerre.