Géométrie

La géométrie en coordonnées paramétriques

Au lieu de dire quels points forment une courbe, on raconte comment un point la parcourt : à chaque instant t, une position M(t) = (x(t), y(t)). Cette idée simple décrit les trajectoires, donne la vitesse et la longueur, pilote les machines, place les planètes sur leur orbite et, avec deux paramètres au lieu d’un, dessine les surfaces.

Trois façons d’écrire une courbe

Le cercle de centre O et de rayon 1 peut s’écrire de trois manières. Chacune a ses usages.

Écriture	Pour le cercle	Ce qu’elle dit bien	Ce qu’elle dit mal
cartésienne explicite y = f(x)	y = √(1 − x²) … et l’autre moitié	une valeur de y pour chaque x	impossible pour une courbe qui revient sur ses pas
implicite F(x, y) = 0	x² + y² − 1 = 0	tester si un point est sur la courbe	difficile de produire des points de la courbe
paramétrique M(t) = (x(t), y(t))	x = cos t, y = sin t	produire les points dans l’ordre, avec une vitesse, un sens, un instant	tester si un point donné est sur la courbe

Le paramètre t est une variable auxiliaire : souvent le temps, parfois un angle, une longueur ou un nombre sans signification physique. Le même dessin admet une infinité de paramétrages ; ce que le paramétrage ajoute au dessin, c’est un mouvement. Dérivé par rapport à t, il donne le vecteur vitesse M′(t) = (x′(t), y′(t)), tangent à la courbe. Les pages voisines du cahier détaillent des courbes célèbres (cycloïde, épicycloïdes, Lissajous, Bézier, clothoïde) ; celle-ci montre la méthode et ce qu’on en fait.

PLANCHE 1

Un point qui se déplace : une courbe, plusieurs paramétrages

Question : qu’est-ce qui distingue deux paramétrages d’une même courbe ? Le dessin est identique, mais le mouvement change : vitesse, sens, nombre de tours, portion parcourue. Les points noirs sont placés à intervalles de temps égaux : serrés quand le point ralentit, espacés quand il accélère.

Gris : la courbe. Bleu : la partie déjà parcourue. Rouge : le point M(t) et son vecteur vitesse M′(t). Noir : positions aux instants régulièrement espacés.

paramétrage

instant

équation cartésienne obtenue en éliminant t—

contrôle : plus grand écart à cette équation (2 001 points)—

position M(t)—

vitesse ‖M′(t)‖ par la formule—

vitesse par différence finie (pas 10⁻⁵)—

écartement des points noirs : plus grand / plus petit—

Les quatre paramétrages du cercle donnent tous x² + y² = 1 (l’écart est de l’ordre de 10⁻¹⁶, l’erreur d’arrondi de la machine). Mais le deuxième fait deux tours à vitesse double, le troisième tourne dans l’autre sens, et le paramétrage rationnel, sans aucune fonction trigonométrique, ne fait jamais tout à fait le tour : le point (−1, 0) n’est atteint que si u devient infini. La parabole (t³, t⁶) est le même dessin que (t, t²), mais le point s’y arrête en t = 0 : la vitesse s’annule et la tangente n’est plus donnée par le vecteur vitesse. Éliminer t donne l’équation cartésienne ; on y perd le mouvement.

PLANCHE 2

La trajectoire d’un projectile et la parabole de sûreté

Question : sous quel angle lancer pour aller le plus loin, et quelle zone un jet peut-il atteindre ? Le paramétrage par le temps vient directement des lois du mouvement : vitesse horizontale constante, chute accélérée par la pesanteur.

Gris : les trajectoires lancées tous les 5°. Bleu : la trajectoire choisie, avec la balle et son vecteur vitesse (rouge). Tirets rouges : l’enveloppe de toutes les trajectoires, la « parabole de sûreté ».

vitesse de lancement

angle

hauteur de lâcher

équations : x = v cos α · t, y = h + v sin α · t − g t²/2g = 9,81 m/s²

portée par la formule—

portée par dichotomie sur y(t) = 0—

temps de vol · hauteur maximale—

angle de portée maximale : formule · recherche à l’aveugle—

enveloppe : écart au plus haut point atteignable (40 abscisses)—

Éliminer t donne la parabole y = h + x tan α − g x² / (2 v² cos² α). Pour un lancer depuis le sol, la portée maximale est obtenue à 45° ; lâché d’une hauteur h, l’angle optimal baisse, tan α* = v / √(v² + 2gh) : environ 42° pour un lanceur de poids (14 m/s, 2,1 m), ce que les entraîneurs constatent. Toutes les trajectoires restent sous la parabole de sûreté y = h + v²/(2g) − g x²/(2v²), qui les touche chacune en un point : c’est la limite de la zone dangereuse d’un feu d’artifice, la portée d’une lance d’incendie, le dôme des jets d’eau des fontaines. Ici, la résistance de l’air est négligée.

PLANCHE 3

Longueur et abscisse curviligne : parcourir à vitesse constante

Question : une fraiseuse, un robot de peinture ou une caméra de cinéma doivent suivre une courbe à vitesse régulière. Avec le paramétrage naturel, les points à pas égaux se serrent et s’écartent. Comment avancer de longueurs égales ? En changeant de paramètre : on prend pour paramètre la longueur parcourue s, l’abscisse curviligne.

Orange : 40 points à pas égaux en t. Bleu : 40 points à pas égaux en longueur. Le mobile rouge parcourt la courbe à vitesse constante.

La vitesse ‖M′(t)‖ au cours d’un tour (orange) et la longueur parcourue s(t) (vert) : s est l’aire sous la courbe de la vitesse.

courbe

pas égaux en t

pas égaux en longueur

longueur L = ∫‖M′(t)‖ dt (Simpson, 4 000 pas)—

valeur exacte—

pas égaux en t : arc le plus long / le plus court—

pas égaux en s : écart des 40 arcs à L/40 (remesurés)—

aire ½∮(x dy − y dx) · exacte—

La longueur d’un petit morceau parcouru pendant dt vaut ‖M′(t)‖ dt ; en ajoutant tous les morceaux, on obtient la longueur L = ∫ ‖M′(t)‖ dt (16 pour la cardioïde, 18 pour l’astroïde). Pour l’ellipse, il n’existe pas de formule élémentaire : la valeur exacte vient ici de la moyenne arithmético-géométrique de Gauss, et l’approximation de Ramanujan, π[3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))] = 15,8654376, n’est fausse qu’au septième chiffre. On construit ensuite le tableau s(t) et on l’inverse (dichotomie et méthode de Newton) : les nouveaux points sont équidistants le long de la courbe, à 10⁻⁸ près même aux pointes de l’astroïde. C’est ce que calculent les commandes numériques des machines-outils et les logiciels d’animation. La même formule d’aire, ½∮(x dy − y dx), est celle du planimètre des géomètres.

PLANCHE 4

Kepler : le bon paramètre n’est pas le temps

Question : où se trouve une planète à une date donnée ? L’orbite est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. Elle se paramètre facilement par un angle auxiliaire E, l’anomalie excentrique : x = a(cos E − e), y = b sin E. Mais la planète ne tourne pas à vitesse constante en E : pour passer du temps à E, il faut résoudre l’équation de Kepler.

Le Soleil (orange) au foyer, la planète (bleu) et les secteurs balayés pendant douze intervalles de temps égaux. Pointillé : le cercle auxiliaire qui définit E.

excentricité e

découpage

équation de Kepler : E − e sin E = 2π·t/Trésolue par Newton

résidu de Newton (pire des cas)—

aires des 12 secteurs : plus grande / plus petite—

aire balayée (Simpson) / formule ½ab(E − e sin E)—

vitesse au périhélie / à l’aphélie, mesurée—

formule (1 + e)/(1 − e)—

L’aire balayée depuis le périhélie se calcule directement sur le paramétrage : ½∫(x dy − y dx) = ½ab(E − e sin E). La deuxième loi de Kepler (aires égales en temps égaux) dit que cette aire est proportionnelle au temps, d’où l’équation de Kepler E − e sin E = 2π t / T. Elle n’a pas de solution en formule ; on la résout par la méthode de Newton en quelques itérations. Avec douze durées égales, les douze secteurs ont la même aire ; avec douze pas égaux en E, ils sont très inégaux. Changer de paramètre, c’est changer d’horloge : E est commode pour dessiner, t pour prévoir. C’est encore ainsi que l’on calcule la position des satellites et des planètes.

PLANCHE 5 · SIGNATURE

Deux paramètres : une surface est une carte

Question : comment décrire une surface ? Avec deux paramètres u et v, comme la longitude et la latitude d’un globe : chaque couple (u, v) donne un point M(u, v) de l’espace. Les courbes à u fixé et à v fixé forment un quadrillage tracé sur la surface. Deux vecteurs tangents, leur produit vectoriel, et l’on obtient la normale, l’aire et le volume.

La surface et son quadrillage (u, v). Au point M(u, v) : le vecteur tangent M_u (rouge, dérivée en u), M_v (orange, dérivée en v) et la normale (vert). En bleu foncé, les deux courbes du quadrillage qui passent par M.

Le domaine des paramètres (u, v), à plat. Chaque petit rectangle est coloré selon l’aire du morceau de surface qui lui correspond, |M_u × M_v| du dv : du plus petit (clair) au plus grand (foncé). Faites glisser le point.

surface

vue

paramétrage—

aire ∬|M_u × M_v| du dv (Simpson 120 × 120)—

formule exacte—

volume ⅓∬ M·(M_u × M_v) du dv · exact—

normale contre gradient de l’équation implicite (sinus de leur angle)—

au point choisi : aire élémentaire |M_u × M_v|—

Le vecteur M_u × M_v est perpendiculaire à la surface, et sa longueur est l’aire du petit parallélogramme découpé par un pas du et un pas dv : en ajoutant tous ces parallélogrammes, on obtient l’aire (4π²Rr pour le tore, 4πR² pour la sphère). La formule de la divergence donne même le volume enfermé, à partir de la seule surface (2π²Rr² pour le tore). La carte (u, v) déforme les aires : sur le globe, un degré carré près du pôle couvre bien moins de terrain qu’à l’équateur (facteur cos de la latitude) ; sur l’escalier à vis, les marches sont plus larges au mur qu’au noyau. C’est ainsi que les logiciels de conception, les imprimantes 3D et les jeux vidéo décrivent les formes : des carreaux de surfaces paramétrées, découpés en petits rectangles.

Repères historiques

1609Kepler publie les deux premières lois des orbites planétaires dans l’Astronomia nova, avec l’équation qui porte son nom.

1638Galilée établit dans les Discours que la trajectoire d’un projectile, composée d’un mouvement uniforme et d’une chute accélérée, est une parabole.

1659Huygens, Neil et Van Heuraet rectifient les premières courbes : la longueur d’un arc devient un calcul.

XVIIIᵉ siècleEuler et Lagrange écrivent systématiquement courbes et surfaces au moyen de paramètres ; Euler étudie l’ellipse, dont la longueur résiste à toute formule simple.

1827Gauss, dans ses Recherches générales sur les surfaces courbes, fonde la géométrie des surfaces sur les coordonnées (u, v).

1960 – 1970Bézier chez Renault et de Casteljau chez Citroën décrivent les carrosseries par des carreaux de surfaces paramétrées.

Un mouvement, pas seulement un dessin

Le paramétrage ajoute à la courbe un sens, une vitesse et un horaire. Éliminer le paramètre donne l’équation cartésienne, mais efface le mouvement.

Dériver et intégrer

M′(t) donne la tangente ; ∫‖M′‖dt la longueur ; ½∮(x dy − y dx) l’aire ; M_u × M_v la normale et l’aire d’une surface.

Changer de paramètre

L’abscisse curviligne pour avancer régulièrement, le temps de Kepler pour prévoir : le bon paramètre dépend de la question.

Pour aller plus loin

Un paramétrage est dit régulier si sa vitesse ne s’annule jamais ; c’est alors que la tangente et l’abscisse curviligne sont bien définies (la parabole (t³, t⁶) de la planche 1 et les pointes de la cardioïde ou de l’astroïde ne le sont pas). Toute conique admet un paramétrage rationnel, comme le cercle de la planche 1 ; la plupart des cubiques n’en ont pas, ce qui ouvre la porte aux courbes elliptiques. Dans l’espace, une courbe paramétrée t ↦ (x(t), y(t), z(t)) porte un repère mobile (tangente, normale, binormale) étudié dans les pages de géométrie différentielle du cahier.