Une géométrie qui a oublié les distances et les angles, mais qui garde l’alignement, le parallélisme et les milieux. Ce qu’elle perd en finesse, elle le gagne en puissance : il suffit de trois points pour tout décider, une preuve faite sur un triangle équilatéral vaut pour tous les triangles, et quelques applications affines suffisent à dessiner une fougère.
Ce que garde la géométrie affine
Une application affine du plan transforme chaque point M en f(M) = A·M + b, où A est un tableau 2×2 de nombres réels (la partie linéaire) et b un vecteur (une translation). Dit simplement : on étire, on penche, on retourne et on déplace le plan, mais sans jamais courber une droite. La géométrie affine étudie ce qui ne change pas dans ces transformations — exactement comme la géométrie euclidienne étudie ce que ne changent pas les déplacements.
Conservé par toute application affine (bijective)
Perdu en général
l’alignement : une droite devient une droite
les longueurs
le parallélisme
les angles (un angle droit peut devenir aigu)
les milieux, et plus généralement les barycentres
les cercles (ils deviennent des ellipses)
les rapports de longueurs sur une même droite ou sur des droites parallèles
les rapports de longueurs dans des directions différentes
les rapports d’aires (tout est multiplié par le même nombre |det A|)
les aires elles-mêmes
Le mot « réelle » précise que les coordonnées et les coefficients sont des nombres réels : c’est la géométrie du papier, de l’écran et de l’ombre au soleil. Les pages voisines du cahier traitent le barycentre et l’opposition entre espace affine et espace euclidien ; celle-ci regarde ce que l’on fait avec la géométrie affine.
PLANCHE 1
Trois points suffisent
Question : combien d’informations faut-il pour connaître une application affine du plan ? Réponse : l’image de trois points non alignés. Déplacez les trois sommets bleus de droite : tout le reste de la figure suit, sans aucun autre choix possible.
Avant : le quadrillage, une maison, un cercle et le triangle de référence A, B, C.
Après : faites glisser A′, B′, C′. Les droites restent droites, les parallèles restent parallèles, les milieux restent des milieux ; le cercle devient une ellipse.
déterminant de A (aire signée)—
rapport des aires mesuré sur la maison—
écart milieu de l’image / image du milieu—
murs images : sinus de leur angle (parallèles ⇔ 0)—
angle droit du coin de la maison, après—
rapport largeur / hauteur de la maison (avant 1,333)—
demi-axes de l’ellipse σ₁, σ₂ (en rayons)—
contrôle σ₁σ₂ − |det A|—
Avec trois points non alignés, on fabrique un repère affine : tout point s’écrit A + x·AB + y·AC et son image est obligatoirement A′ + x·A′B′ + y·A′C′. Les six coordonnées de A′, B′, C′ sont les six nombres qui définissent l’application. Le déterminant mesure le facteur d’aires ; négatif, il signale un retournement (la maison se lit dans un miroir) ; nul, il écrase tout le plan sur une droite. Les longueurs et les angles, eux, changent sans aucune règle simple.
PLANCHE 2
Prouver sur l’équilatéral, transporter partout
Question : à quoi sert de savoir que tous les triangles se ressemblent ? Deux triangles quelconques sont toujours l’image l’un de l’autre par une application affine. Donc toute propriété affine vraie pour le triangle équilatéral — où la symétrie la rend évidente — est vraie pour tous les triangles.
Faites glisser A, B, C. Le curseur t déforme continûment l’équilatéral (t = 0) vers votre triangle (t = 1) ; le cercle inscrit et ses trois points de contact le suivent.
aire de l’ellipse / aire du triangle—
valeur sur l’équilatéral : π / (3√3)0,604600
écart entre les deux—
point de contact sur chaque côté : écart au milieu—
tangence : écart au niveau 1 de l’ellipse—
centre de l’ellipse / centre de gravité—
intersection de deux médianes / centre de gravité—
Dans l’équilatéral, le cercle inscrit touche chaque côté en son milieu, et son centre est le centre de gravité : la symétrie l’impose. Une application affine conserve les milieux, le contact (une droite qui touche une courbe en un seul point la touche encore après) et les rapports d’aires. D’où, sans aucun calcul, l’ellipse de Steiner : dans tout triangle, il existe une ellipse tangente aux trois côtés en leurs milieux, centrée au centre de gravité, et son aire vaut toujours π/(3√3) ≈ 60,46 % de celle du triangle. Même raisonnement pour les médianes concourantes au tiers. En revanche, « l’ellipse est un cercle » n’est pas une propriété affine : elle ne se transporte pas.
PLANCHE 3
Le bestiaire des applications affines
Question : quelles sortes de transformations la géométrie affine contient-elle ? Bien plus que les déplacements : homothéties, affinités (étirement dans une direction), cisaillements, symétries et projections obliques. Pour les reconnaître, on cherche ce qui ne bouge pas : le point fixe et les directions propres.
Gris : la lettre F de départ. Bleu : son image. Violet : l’image du quadrillage. Rouge : l’orbite du point M (M, f(M), f(f(M))…), déplaçable. Vert : le point fixe calculé. Orange : les directions propres.
nature—
det A · trace A—
valeurs propres—
point fixe, solution de (I − A)x = b—
contrôle ‖f(Ω) − Ω‖—
orbite de M après 12 pas—
Tout se lit sur deux objets. Le point fixe s’obtient en résolvant le système (I − A)x = b : il est unique dès que 1 n’est pas valeur propre de A ; sinon il n’y en a aucun (translation) ou une droite entière (affinité, symétrie, projection, transvection). Les valeurs propres disent ce que devient chaque direction propre : multipliée par k, renversée (−1), écrasée (0). Si toutes deux sont de module inférieur à 1, l’orbite rouge plonge vers le point fixe : c’est une contraction, l’ingrédient de la planche 5. Un cisaillement a une seule valeur propre, 1, et une seule direction propre : il fait glisser le plan parallèlement à son axe.
PLANCHE 4
Deux applications : l’ombre au soleil et la carte ancienne
Question : où rencontre-t-on des applications affines sans les chercher ? Partout où des rayons arrivent parallèles (le soleil, le dessin en perspective cavalière) et partout où l’on doit superposer deux relevés d’un même terrain.
Une maison, un bâton de 1 m (rouge) et un mât de 2 m (violet) au soleil. L’ombre de chaque point s’obtient en le faisant glisser le long du rayon solaire jusqu’au sol.
ombre du bâton de 1 m—
contrôle 1 / tan(hauteur)—
ombre du mât / ombre du bâton (hauteurs : 2)—
ombre du milieu du faîtage / milieu des ombres—
ombre de la façade : écart des milieux des diagonales—
angle droit au pied du mur, dans l’ombre—
L’ombre au sol est une projection parallèle de l’espace sur le plan du sol : une application affine. Elle garde les milieux et les parallèles (la façade rectangulaire projette un parallélogramme) et les rapports de longueurs sur des segments parallèles : deux objets verticaux ont des ombres proportionnelles à leurs hauteurs. C’est la méthode prêtée à Thalès pour mesurer la grande pyramide : comparer son ombre à celle d’un bâton. Les angles ne se conservent pas : l’angle droit du coin s’ouvre ou se ferme avec l’heure. La perspective cavalière des manuels est la même opération, avec des rayons fixés une fois pour toutes.
La carte ancienne, en centimètres de papier : dix clochers repérés, déformés par le levé et le papier. En pointillé, ce que deviendrait le quadrillage kilométrique moderne.
Après recalage : positions modernes (croix vertes) et clochers recalés (bleu : servant au calcul ; orange : contrôles). Les flèches rouges, agrandies 5 fois, sont les écarts.
écart quadratique moyen aux clochers utilisés—
écart moyen aux clochers de contrôle (non utilisés)—
équations normales contre Gram-Schmidt—
orthogonalité des résidus ‖Xᵀr‖—
erreur maximale sur les six coefficients—
échelle retrouvée (km par cm)—
Recaler (ou géoréférencer) une carte, c’est chercher l’application affine X = a·u + b·v + c, Y = d·u + e·v + f qui envoie les coordonnées sur papier vers les coordonnées réelles. Six inconnues : trois points communs suffisent (planche 1), mais alors les erreurs du levé passent intégralement dans le résultat et les écarts aux points utilisés sont nuls — ce qui ne prouve rien, comme le montrent les points de contrôle. Avec davantage de points, on choisit l’application qui rend la somme des carrés des écarts la plus petite (moindres carrés) ; les résidus deviennent alors orthogonaux aux données, contrôle affiché ci-dessus. C’est le calcul que font les logiciels de cartographie pour superposer un cadastre napoléonien à une photo aérienne.
PLANCHE 5 · SIGNATURE
Des fractales faites d’applications affines
Question : que se passe-t-il si l’on applique plusieurs contractions affines à la fois, encore et encore ? On obtient une figure unique, l’attracteur, qui est la réunion de ses propres images réduites. Quelques nombres suffisent à décrire des formes d’une complexité infinie.
Jeu du chaos : on part d’un point, on choisit au hasard l’un des trois sommets et l’on applique l’homothétie de rapport r centrée sur ce sommet ; on recommence. Les points dessinent l’attracteur.
Comptage de boîtes : nombre N de cases de côté ε touchées par l’attracteur, en échelles logarithmiques. La pente est la dimension fractale mesurée.
points tracés—
dimension de Moran : ln 3 / ln(1/r)—
dimension mesurée (pente des boîtes)—
aire restante après n étapes : 3ⁿ·r²ⁿ·aire (n = 20)—
Trois homothéties de rapport r : l’attracteur est formé de trois copies de lui-même réduites d’un facteur r. Une figure de dimension s, réduite d’un facteur r, voit sa « taille » multipliée par rˢ ; trois copies qui la reconstituent donnent 3·rˢ = 1, d’où s = ln 3 / ln(1/r) : 1,585 pour r = ½. Ni une ligne (dimension 1), ni une surface (dimension 2) : son aire est nulle et sa longueur infinie. Le comptage de boîtes, mené sur 177 147 points de l’attracteur et sur quatre positions de la grille, retrouve cette valeur sans la connaître, à un ou deux centièmes près : la mesure d’une dimension fractale est toujours approximative, la formule de Moran est exacte.
Quatre applications affines, tirées au hasard avec des probabilités proportionnelles à leur facteur d’aire. La tige, la foliole basse gauche, la foliole basse droite et la copie entière réduite de la fougère.
points tracés—
auto-similarité : images f₁…f₄ tombant sur la fougère—
nombres nécessaires4 × 6 = 24
La fougère de Michael Barnsley (1988) est entièrement contenue dans ce petit tableau : 24 coefficients. L’application f₄, presque une similitude de rapport 0,85, envoie la fougère entière sur la fougère privée de sa base ; f₂ et f₃ l’envoient sur les deux folioles du bas ; f₁ écrase tout sur la tige (déterminant nul, d’où une probabilité minimale imposée de 1 %). Le contrôle vérifie que les quatre images d’un nuage de points de la fougère retombent bien sur la fougère : c’est l’équation F = f₁(F) ∪ f₂(F) ∪ f₃(F) ∪ f₄(F). Cette compression extrême a nourri, dans les années 1990, des méthodes de compression d’images dites fractales.
En gris l’attracteur de Sierpiński ; en bleu la figure de départ K à laquelle on applique n fois les trois homothéties de rapport ½ (3ⁿ copies réduites de K).
Distance de Hausdorff entre la figure obtenue et l’attracteur, en échelle logarithmique. Pointillé : la borne ½ⁿ·d₀ donnée par le théorème du point fixe.
distance de Hausdorff dₙ—
rapport dₙ / dₙ₋₁ (borne : 0,5)—
rapport moyen mesuré de n = 1 à 5—
plancher de la mesure (grille 512 × 512)—
Pourquoi un attracteur unique ? L’opération « remplacer une figure K par la réunion de ses trois images » rapproche deux figures quelconques d’un facteur au moins ½, mesuré par la distance de Hausdorff (la plus grande distance qu’il faut parcourir pour aller d’un point de l’une à l’autre). C’est le théorème du point fixe de Banach appliqué aux figures, démontré par John Hutchinson en 1981 : quel que soit le départ — carré, cercle, lettre, simple point — la suite converge vers la même figure, et l’écart se divise au moins par deux à chaque étape. Mesuré, le rapport vaut 0,50 à quelques centièmes près : la borne est pratiquement atteinte, l’écart est divisé par deux à chaque étape, jusqu’à ce que la finesse de la grille de mesure (environ 0,003) brouille le résultat vers n = 6 ou 7.
Repères historiques
vers −600Thalès, selon la tradition rapportée par Plutarque et Diogène Laërce, mesure la hauteur d’une pyramide par la proportion de son ombre à celle d’un bâton : le premier usage connu d’une projection parallèle.
1748Euler, dans l’Introductio in analysin infinitorum, appelle « affines » des courbes déduites l’une de l’autre en étirant inégalement les deux coordonnées.
1827Möbius publie le Calcul barycentrique : les coordonnées barycentriques et les transformations qui conservent les rapports de partage.
1872Felix Klein, dans le programme d’Erlangen, définit une géométrie par son groupe de transformations : la géométrie affine devient celle du groupe affine, entre l’euclidienne et la projective.
1981 – 1988Hutchinson démontre l’existence et l’unicité des attracteurs de systèmes de contractions ; Barnsley en tire la fougère et les « fractales partout ».
Six nombres
Une application affine du plan est fixée par l’image de trois points non alignés. Son déterminant est le facteur d’aires et dit si elle retourne la figure.
Prouver une fois
Tous les triangles sont affinement équivalents ; tous les parallélogrammes aussi ; toutes les ellipses aussi. Une propriété affine se démontre sur le cas le plus symétrique, puis se transporte.
Des usages concrets
Ombres et perspective cavalière, recalage de cartes et d’images, infographie, et fractales par systèmes de fonctions itérées.
Pour aller plus loin
En dimension 3, une application affine est fixée par l’image de quatre points non coplanaires (douze nombres), et le déterminant est le facteur de volumes. Sur ordinateur, on écrit le point (x, y) sous la forme (x, y, 1) : l’application affine devient une matrice 3×3 et la composition devient un simple produit de matrices — c’est la convention de toutes les cartes graphiques. La géométrie affine se place entre la géométrie euclidienne (qui ajoute distances et angles) et la géométrie projective (qui ajoute les points à l’infini et oublie le parallélisme) : voir les pages du cahier sur l’espace affine et euclidien, sur le barycentre et sur la géométrie projective.