Trigonométrie

Les fonctions circulaires

Cosinus, sinus et tangente ne sont pas seulement des rapports dans un triangle rectangle : ce sont des fonctions d’un nombre réel, nées du cercle de rayon 1. Cinq planches pour voir comment on les fabrique, pourquoi elles se répètent, comment elles varient, et pourquoi trois définitions très différentes mènent au même nombre π.

L’idée en une phrase. On enroule la droite des nombres réels autour du cercle de rayon 1 : chaque réel x vient se poser sur un point M du cercle, et l’on appelle cosinus de x l’abscisse de M, sinus de x son ordonnée. Comme le cercle est « circulaire », ces fonctions s’appellent les fonctions circulaires.

M(x) = (cos x ; sin x)    cos² x + sin² x = 1    tan x = sin x / cos x

Les pages voisines du cahier traitent du triangle (trigonométrie générale, triangles quelconques), des formules d’addition et des fonctions réciproques. Celle-ci regarde les trois fonctions en tant que fonctions : définition par enroulement, symétries, comportement près de zéro, dérivées, courbes, et enfin la surprise de la dernière planche.

Code des couleurs, valable dans toute la page : sinus   cosinus   tangente ou image transformée   point M, objet principal, valeur calculée   élément de symétrie, quantité secondaire   repères.

Planche 1

Enrouler la droite des réels sur le cercle

Question : que veut dire « cosinus de 2,5 » quand il n’y a plus de triangle ? On pose un fil gradué (la droite des réels) verticalement, tangent au cercle au point (1 ; 0), puis on l’enroule : le nombre t atterrit au point M(t) situé à la distance t le long du cercle, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre si t > 0. L’unité d’angle qui en découle est le radian : un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon. Un tour complet mesure donc 2π radians.

fil de longueur t, déroulé sur la droite et enroulé sur le cercle (une spirale s’écarte un peu à chaque tour pour rester visible) · cos t · sin t
Les mêmes valeurs portées en fonction de t : sinus, cosinus. Le trait bleu pointillé suit t.
t
t en degrés (× 180/π)
nombre de tours t / 2π
mesure principale (dans ]−π ; π])
cos t
sin t
longueur du fil mesurée en suivant le cercle (4096 cordes)
écart à |t| (prévu : −|t|³ / 24N²)
contrôle cos² t + sin² t − 1
À retenir. Le réel t n’est pas « un angle en degrés » : c’est une longueur d’arc. La longueur mesurée en suivant le cercle par de petites cordes redonne t, à un écart minuscule près dont la valeur prévue −|t|³/(24N²) est retrouvée. Des réels qui diffèrent d’un multiple de 2π (t, t + 2π, t − 2π…) tombent sur le même point M : c’est l’origine de la périodicité.
Planche 2

Les angles associés : des formules qui se voient

Question : faut-il apprendre par cœur cos(π − x), sin(π/2 + x)… ? Non : chaque formule traduit une symétrie du cercle. Remplacer x par −x, c’est prendre le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses ; remplacer x par π − x, le symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; et ainsi de suite. Choisissez une transformation : le point M′ est construit géométriquement par la symétrie, puis comparé au point obtenu par le calcul direct de cos et sin.

M(x) · M′ obtenu par la symétrie · élément de symétrie
Courbe de la fonction choisie (trait plein) et de la fonction composée avec la transformation (pointillés orange).
x
transformation
courbe

M(x) = (cos x ; sin x)
M′ construit par la symétrie
(cos ; sin) de l’angle transformé, calculés directement
écart entre les deux
épreuve sur 1000 valeurs de x tirées au hasard dans [−50 ; 50] : écart maximal
À retenir. Six formules, une seule méthode : dessiner M, appliquer la symétrie, lire les coordonnées de M′. Sur la courbe, la même symétrie se lit aussi : cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées), sinus est impaire (symétrique par rapport à l’origine), et les deux sont périodiques de période 2π.
Planche 3

Le sinus près de zéro, puis la dérivée

Question : pourquoi la dérivée de sin est-elle cos ? Tout repose sur un petit fait géométrique : pour un petit angle h, sin h et h sont presque égaux, au point que sin h / h tend vers 1. On le démontre en coinçant le secteur circulaire entre deux triangles. Ensuite, la dérivée se voit comme une vitesse : un point qui parcourt le cercle à vitesse 1 a une vitesse perpendiculaire au rayon, dont les composantes sont −sin t et cos t.

Trois aires emboîtées : le triangle OAM (hauteur sin h), le secteur OAM (aire h/2, par définition du radian), le triangle OAT (hauteur tan h). D’où sin h ≤ h ≤ tan h, puis en divisant par sin h et en inversant : cos h ≤ sin h / h ≤ 1. Quand h tend vers 0, cos h tend vers 1 et le rapport est pris en tenaille.

triangle OAM · secteur (arc de longueur h) · triangle OAT
L’encadrement en fonction de h : sin h / h entre cos h et la droite y = 1 (gris).
h
aire du triangle OAM = sin h / 2
aire du secteur mesurée (4000 triangles, formule du lacet)
écart à h/2 (prévu : −h³ / 12N²)
aire du triangle OAT = tan h / 2
sin h / h
(1 − sin h / h) / h² → 1/6 = 0,166667
(1 − cos h) / h² → 1/2
À retenir. sin h / h → 1 : près de zéro, sin h ≈ h (et l’erreur relative vaut environ h²/6, comme le montre la lecture rouge). C’est le seul endroit où le radian est indispensable : en degrés, le rapport tendrait vers π/180 et toutes les formules de dérivation seraient encombrées de ce facteur.

Le point M(t) = (cos t ; sin t) parcourt le cercle à la vitesse 1 (en un temps t, il parcourt un arc de longueur t). Son vecteur vitesse v est tangent au cercle, donc perpendiculaire au rayon : v = (−sin t ; cos t). La composante verticale de v est la vitesse à laquelle l’ordonnée sin t change : c’est la dérivée de sinus. La composante horizontale est la dérivée de cosinus.

M(t) · flèche noire : vitesse v, de longueur 1 · flèche colorée : la composante qui fait varier la fonction choisie
Courbe de la fonction et sa tangente au point d’abscisse t ; la pente de la tangente est la composante lue sur le cercle.
t
fonction
pente mesurée (f(t+h) − f(t−h)) / 2h, h = 0,01
composante de la vitesse lue sur le cercle
écart (pente mesurée − composante)
écart / h², mesuré puis prévu f‴(t)/6
À retenir. (sin)′ = cos et (cos)′ = −sin. La pente mesurée sur la courbe diffère de la composante de vitesse d’un écart proportionnel à h², dont le coefficient mesuré coïncide avec f‴(t)/6 : l’écart n’est pas une erreur de la formule, c’est le reste de Taylor de la méthode de mesure.
Planche 4

La tangente, puis toutes les sinusoïdes

Question : à quoi ressemblent les autres fonctions circulaires ? La tangente, quotient sin/cos, n’est pas définie là où cos s’annule : sa courbe se brise en branches séparées par des asymptotes verticales, et sa période n’est que π. Les sinusoïdes A·sin(ωx + φ), elles, sont la forme sous laquelle les fonctions circulaires apparaissent en physique : amplitude A, pulsation ω, phase φ.

Sur le cercle, tan x se lit sur la droite verticale d’abscisse 1 : c’est l’ordonnée du point T où la droite (OM) la coupe. Quand M approche du haut du cercle, (OM) devient verticale et T s’enfuit à l’infini.

M(x) · T(1 ; tan x) sur la droite d’abscisse 1
y = tan x, asymptotes en gris pointillé, tangente à la courbe de pente 1 + tan² x
x
tan x (ordonnée de T, par intersection de droites)
écart à sin x / cos x
pente : 1 + tan² x = 1 / cos² x
pente mesurée par différence centrée (h ≤ 10⁻⁴, réduit près des asymptotes), écart relatif
période π : tan(x + π) − tan x
À retenir. tan est définie partout sauf en π/2 + kπ, impaire, de période π (et non 2π, car M et le point diamétralement opposé donnent la même droite (OM)), et toujours croissante sur chaque branche puisque sa dérivée 1 + tan² x est au moins égale à 1.

Un vecteur de longueur A tourne à la vitesse angulaire ω, en partant de l’angle φ : la hauteur de son extrémité au temps x vaut A·sin(ωx + φ). Le cercle et la courbe sont deux vues du même mouvement.

Vecteur tournant de longueur A ; sa hauteur
y = A·sin(ωx + φ), en gris pointillé y = sin x pour comparer ; une période mesurée
A
ω
φ
période 2π/ω (formule)
période mesurée entre deux zéros montants (dichotomie)
écart
amplitude mesurée (maximum par section dorée), écart à A
premier zéro montant : mesuré · prévu (2kπ − φ)/ω
fréquence ω/2π (tours par unité de temps)
À retenir. A étire verticalement, ω comprime horizontalement (période 2π/ω), φ décale la courbe de −φ/ω. Toute combinaison a·cos ωx + b·sin ωx est encore de cette forme, avec A = √(a² + b²) : c’est pourquoi les oscillations de la physique s’écrivent toutes ainsi.
Planche 5

Trois définitions, un seul sinus, un seul π

Question : le sinus a-t-il vraiment besoin du cercle ? On peut le définir de trois façons qui n’ont, en apparence, rien à voir : comme la solution de l’équation s″ = −s partie de s(0) = 0, s′(0) = 1 ; comme la somme de la série x − x³/3! + x⁵/5! − … ; ou par la géométrie du cercle, comme Archimède. Dans chaque onglet, la page calcule sans jamais appeler la fonction sinus de la machine, puis cherche le premier zéro positif, c’est-à-dire π.

π par l’équation s″ = −s
π par la série
π par les polygones d’Archimède
valeur de référence

Une fonction dont l’accélération est l’opposé de la position : c’est un ressort idéal. On la calcule pas à pas par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4, avec seulement des additions et des multiplications. Surprise à gauche : si l’on place le point de coordonnées (s′ ; s), il redessine le cercle trigonométrique. Le cercle n’était pas une hypothèse : il ressort de l’équation.

Plan (s′ ; s) : trajectoire calculée, cercle de rayon 1 en pointillé (référence)
s(t) calculée pas à pas (points = pas de calcul), sinus de la machine en pointillé, premier zéro
pas h
premier zéro positif de s (π calculé)
écart à π
ordre mesuré : log₂(écart(h) / écart(h/2))
dérive de s² + s′² − 1 au temps 4π
écart maximal |s − sin| sur [0 ; 4π]

Euler (1748) écrit sin x comme un polynôme « de degré infini ». Chaque terme ajouté prolonge la zone où le polynôme colle au sinus ; au-delà, il s’en écarte brutalement. Le premier zéro positif du polynôme approche π d’autant mieux qu’on prend de termes, et l’écart reste sous la borne du reste de Lagrange.

somme partielle SN(x) · sin x en pointillé · bande verte : zone où l’écart reste inférieur à 10⁻³
N (termes au-delà du premier)
degré du polynôme
zone d’accord à 10⁻³ près
premier zéro dans [2,6 ; 3,6]
écart à π
|SN(π)| mesuré · borne de Lagrange π2N+3/(2N+3)!

Archimède (IIIᵉ siècle avant notre ère) enferme le cercle entre deux polygones réguliers, l’un inscrit, l’autre circonscrit, et double le nombre de côtés en partant de l’hexagone. Le côté du polygone doublé se tire du précédent par Pythagore seul : c2n = cn / √(2 + √(4 − cn²)). Les demi-périmètres encadrent π.

polygone inscrit · polygone circonscrit · cercle en gris
Largeur de l’encadrement à chaque doublement (échelle logarithmique) ; droite de pente « divisé par 4 à chaque doublement »
doublements k
nombre de côtés n = 6 × 2ᵏ
demi-périmètre inscrit (minorant)
demi-périmètre circonscrit (majorant)
largeur de l’encadrement
largeur × n² → π³/2 = 15,503138
décimales communes aux deux bornes
La signature. Un ressort, un polynôme infini, des polygones : trois objets sans rapport apparent, trois calculs qui n’utilisent jamais la fonction sinus, et le même premier zéro, π. C’est la raison profonde pour laquelle les fonctions circulaires sont partout : elles sont les solutions de s″ = −s, l’équation de toute oscillation, et la solution partie de (0 ; 1), tracée dans le plan (s′ ; s), est un cercle.

Des cordes aux fonctions

vers −150Hipparque dresse une table de cordes : pour chaque angle au centre, la longueur de la corde qu’il sous-tend. C’est l’ancêtre du sinus (corde de 2x = 2 sin x dans un cercle de rayon 1).
vers 150Ptolémée, dans l’Almageste, publie une table de cordes de demi-degré en demi-degré, calculée avec ce qui deviendra les formules d’addition.
499Aryabhata travaille avec la demi-corde (jyā), c’est-à-dire directement le sinus. Le mot, transcrit en arabe puis mal compris lors de la traduction latine, devient sinus (« pli, repli »).
vers 1400Madhava, au Kerala, obtient les développements en série du sinus, du cosinus et de l’arc tangente, deux siècles avant l’Europe.
1464Regiomontanus, dans De triangulis omnimodis, fait de la trigonométrie une discipline autonome, détachée de l’astronomie.
1748Euler, dans l’Introductio in analysin infinitorum, prend un cercle de rayon 1 et traite sin et cos comme des fonctions d’un nombre, avec leurs séries et la formule eix = cos x + i sin x.
1822Fourier, dans la Théorie analytique de la chaleur, montre que des fonctions très générales s’écrivent comme sommes de sinus et de cosinus : les fonctions circulaires deviennent les briques de l’analyse.

Définir

cos x et sin x sont les coordonnées du point M(x) obtenu en enroulant la droite des réels sur le cercle de rayon 1 ; x est une longueur d’arc, mesurée en radians.

Lire les symétries

Parité, périodicité 2π, angles associés : chaque formule est une symétrie du cercle. La tangente, quotient sin/cos, a pour période π et des asymptotes en π/2 + kπ.

Dériver

sin h / h → 1 donne (sin)′ = cos et (cos)′ = −sin ; donc sin″ = −sin. Les fonctions circulaires sont les solutions de l’équation des oscillations.

Pour aller plus loin

Le lien avec l’exponentielle. La série de cos x + i sin x est celle de eix : les fonctions circulaires sont l’exponentielle d’un nombre imaginaire. Les formules d’addition deviennent alors ei(a+b) = eia·eib.

Les fonctions hyperboliques. En remplaçant s″ = −s par s″ = +s, on obtient ch et sh, et le point (ch t ; sh t) parcourt l’hyperbole x² − y² = 1 : d’où leur nom.

Pourquoi l’écart d’Archimède est divisé par 4. La largeur de l’encadrement vaut n(tan(π/n) − sin(π/n)) ≈ π³/(2n²) : doubler n la divise par 4, ce que la planche 5 mesure.

Le prolongement aux complexes. Définis par leurs séries, sin et cos existent pour tout nombre complexe ; ils cessent alors d’être bornés (cos(i) = ch 1 ≈ 1,543).