Des points, des déplacements, des droites et des parallèles, sans origine privilégiée ; puis ce qu’ajoute une distance : les angles, la perpendicularité et le cercle.
Un espace affine est un ensemble de points dans lequel on sait se déplacer : entre deux points A et B, il existe un déplacement, le vecteur AB, et tout déplacement peut s’appliquer à n’importe quel point. Aucun point n’y joue un rôle particulier : il n’y a pas d’origine.
Un espace euclidien est un espace affine auquel on ajoute un produit scalaire, c’est-à-dire une façon de mesurer les longueurs des vecteurs et les angles entre eux. Tout ce qui était vrai à l’étage affine le reste ; on gagne en plus les distances, les angles droits, les cercles.
Point − point = vecteur : deux points A, B définissent le vecteur AB.
Point + vecteur = point : pour tout point A et tout vecteur u, il existe un unique point B tel que AB = u.
Relation de Chasles : AB + BC = AC.
En revanche, point + point n’a aucun sens : il n’y a pas de « somme » de deux villes.
Un produit scalaire u · v sur les vecteurs. Il donne la longueur ‖u‖ = √(u · u), donc la distance AB = ‖AB‖.
Il donne l’angle par cos θ = u · v / (‖u‖ ‖v‖), donc la perpendicularité (u · v = 0).
Il permet enfin de définir le cercle comme le lieu des points à une distance donnée d’un centre — une phrase impossible à écrire à l’étage affine.
Pourquoi séparer les deux étages ? Parce que beaucoup de théorèmes n’utilisent que le premier : l’alignement, le parallélisme, le milieu, le théorème de Thalès, les rapports de longueurs sur une même droite. Savoir qu’un résultat est affine, c’est savoir qu’il résiste à toutes les déformations qui gardent les droites droites et les parallèles parallèles — et il y en a beaucoup plus que des isométries.
Code des couleurs, identique partout : bleu = objet principal ou résultat, orange = origine ou repère choisi arbitrairement, rouge = point d’attention ou ce qui se casse, vert = contrôle, violet = objet secondaire.
Pour calculer, on choisit une origine O et l’on repère chaque point par le vecteur OA. Mais ce choix est arbitraire. Une construction n’a de sens affine que si son résultat ne dépend pas de l’origine choisie. Essayons avec la combinaison O + λ OA + μ OB.
Changeons d’origine : O′A = O′O + OA. Alors O′ + λ O′A + μ O′B = O + λ OA + μ OB + (1 − λ − μ) OO′.
Le résultat se décale de (1 − λ − μ) OO′ : il ne dépend pas de l’origine si et seulement si λ + μ = 1.
λ + μ = 1 : on obtient un point bien défini, le barycentre (le milieu pour λ = μ = ½).
λ + μ = 0 : la combinaison λ OA + μ OB = μ AB est un vecteur bien défini.
Autrement — par exemple la « somme » A + B (λ = μ = 1) — le résultat bouge avec l’origine : il n’a aucun sens géométrique.
Un vecteur est un déplacement qui s’applique à tous les points à la fois : c’est une translation. Chaque point de la figure se déplace de la même flèche, quel que soit l’endroit où il se trouve.
Se déplacer de u puis de v revient à se déplacer de u + v : c’est la relation de Chasles. Et l’ordre n’importe pas : u + v = v + u.
Les quatre points H, H + u, H + u + v, H + v forment un parallélogramme. On le reconnaît sans aucune mesure : ses diagonales ont le même milieu.
Une droite est l’ensemble des points A + t u, où t parcourt les réels : un point de départ et une direction. Deux droites sont parallèles quand elles ont la même direction. Tout cela se dit sans jamais mesurer une longueur.
Les droites de directions u et w sont parallèles si et seulement si u et w sont colinéaires, c’est-à-dire det(u, w) = 0. Sinon, elles se coupent en un point unique, obtenu en résolvant un système de deux équations.
Par un point donné passe une et une seule parallèle à une droite : c’est le postulat d’Euclide, qui devient ici une évidence.
Si M est sur (AB), il existe un unique réel t avec AM = t AB. Ce rapport de deux vecteurs colinéaires est une notion affine. Le rapport de deux vecteurs non colinéaires, lui, n’a pas de sens.
Le théorème de Thalès n’utilise que ces rapports : deux sécantes issues de S coupent deux parallèles selon le même rapport k.
Une application affine déforme le plan en gardant les droites droites : f(M) = f(Q) + L(QM), où L est une application linéaire (une matrice 2 × 2). Elle respecte toute la structure affine. Mais regardez ce que devient le cercle.
L’alignement, le parallélisme, les milieux et barycentres, le rapport t sur une droite. Même les rapports d’aires sont conservés : toutes les aires sont multipliées par le même nombre |det L|.
Les longueurs, les angles, les angles droits. Le carré devient un parallélogramme quelconque, et le cercle devient une ellipse. Pour l’espace affine, un cercle n’est qu’une ellipse parmi d’autres : il ne sait pas le distinguer.
Pour parler de cercle, il faut choisir un produit scalaire. Ce choix n’est pas unique : le même plan affine peut recevoir bien des produits scalaires, et chacun a ses propres cercles et ses propres angles droits. Enfin, toutes les distances ne proviennent pas d’un produit scalaire — et sans lui, pas d’angle.
On déclare orthonormée une base (e₁, e₂) : e₁ fait l’angle φ avec l’horizontale, e₂ lui est perpendiculaire (au sens usuel) et de longueur usuelle s. Le produit scalaire correspondant donne à un vecteur de coordonnées (p ; q) dans cette base la longueur √(p² + q²).
Le cercle de centre C et de rayon r est alors l’ensemble des M tels que ‖CM‖ = r pour ce produit scalaire.
Pour s = 1, on retrouve la distance usuelle et le cercle habituel. Pour s ≠ 1, ce « cercle » nous paraît être une ellipse ; pourtant tous ses points sont à la même distance de C, et la tangente y est perpendiculaire au rayon — au sens du nouveau produit scalaire.
Les droites et les parallèles, elles, n’ont pas bougé : elles appartiennent à l’étage affine.
On peut mesurer un vecteur u = (x ; y) par ‖u‖ₚ = (|x|ᵖ + |y|ᵖ)^(1/p). Pour p = 1, c’est la distance du chauffeur de taxi à Manhattan ; pour p = ∞, max(|x|, |y|), la distance du roi aux échecs. Chacune donne une distance honnête, et son « cercle » : losange, carré, forme arrondie.
Une longueur provient d’un produit scalaire si et seulement si, pour tous vecteurs, ‖u + v‖² + ‖u − v‖² = 2‖u‖² + 2‖v‖² (théorème de Jordan et von Neumann). Seul p = 2 la vérifie.
Pour les autres, la formule u · v = (‖u + v‖² − ‖u − v‖²)/4 ne donne pas un vrai produit scalaire : il n’y a pas d’angle. L’espace euclidien, c’est une distance qui vient d’un produit scalaire.
| Notion | Étage | Ce qu’il faut pour la définir | Planche |
|---|---|---|---|
| point, vecteur, translation | affine | point − point = vecteur, Chasles | 1, 2 |
| milieu, barycentre | affine | combinaison de coefficients de somme 1 | 1, 4 |
| droite, alignement, parallélisme | affine | un point et une direction ; det(u, w) = 0 | 3 |
| rapport de vecteurs colinéaires, Thalès | affine | AM = t AB | 3, 4 |
| rapport d’aires | affine | déterminant | 4 |
| longueur, distance | euclidien (ou simplement normé) | une norme | 5 |
| angle, perpendicularité | euclidien | un produit scalaire | 5 |
| cercle, médiatrice, isométrie | euclidien | un produit scalaire | 4, 5 |
Des points et des déplacements. On y parle de droites, de parallèles, de milieux et de rapports sur une même droite, sans jamais choisir d’origine ni mesurer de longueur.
Le même espace, plus un produit scalaire. Il apporte la distance et l’angle, et avec eux la perpendicularité, le cercle, la médiatrice, Pythagore.
Face à un théorème, se demander : utilise-t-il des longueurs ou des angles ? Sinon, il est affine, et il reste vrai après n’importe quelle déformation qui garde les droites et les parallèles.