Une ficelle, deux clous et un crayon suffisent pour la tracer. On la retrouve pourtant dans le mouvement des planètes, dans les salles qui renvoient les chuchotements et dans les appareils qui brisent les calculs rénaux.
Une seule courbe, beaucoup de visages
Une ellipse est l'ensemble des points M dont la somme des distances à deux points fixes F₁ et F₂, les foyers, reste égale à une longueur donnée 2a. Plus les foyers sont proches, plus elle ressemble à un cercle ; plus ils s'écartent, plus elle s'allonge. L'animation fait varier l'écart des foyers à longueur de ficelle constante.
Foyers en rouge, ficelle en orange, ellipse en bleu. L'excentricité e varie de 0 (cercle) à 0,95.
Grandeur
Notation
Signification
demi-grand axe
a
la moitié de la longueur de la ficelle ; la moitié de la plus grande largeur.
demi-distance focale
c
la distance du centre O à chaque foyer.
demi-petit axe
b = √(a² − c²)
la moitié de la plus petite largeur (Pythagore dans le triangle O, F₂, sommet du haut).
excentricité
e = c / a
un nombre entre 0 (cercle) et 1 (ellipse infiniment aplatie) qui mesure l'allongement.
x²/a² + y²/b² = 1
C'est l'équation de l'ellipse dans un repère centré en O, l'axe des x passant par les foyers.
1
La ficelle du jardinier
Question : pourquoi une ficelle tendue trace-t-elle une ellipse ? Le jardinier plante deux piquets aux foyers, y attache une ficelle de longueur 2a, et la tend avec un bâton. Les deux brins MF₁ et MF₂ changent sans cesse, mais leur somme est toujours la longueur de la ficelle. À droite, une surprise : chacun des deux brins varie en ligne droite avec l'abscisse x du point.
Les deux brins de la ficelle : MF₁ en orange, MF₂ en violet. Le crayon M laisse sa trace en bleu.MF₁ et MF₂ en fonction de x, mesurés sur 4000 points ; droites a + ex et a − ex en pointillé vert ; leur somme (rouge) reste à 2a.
MF₁—
MF₂—
MF₁ + MF₂—
longueur de ficelle 2a—
écart maximal de la somme (4000 points)—
écart maximal à la droite a + ex—
demi-petit axe b = √(a² − c²)—
Ce qu'il faut retenir. Les 4000 points sont calculés par x = a cos t, y = b sin t, sans jamais utiliser la ficelle ; on mesure ensuite MF₁ + MF₂ : la somme vaut 2a à l'arrondi machine près. Les deux brins valent exactement a + ex et a − ex : ils sont des fonctions affines de x. Quand e = 0, les foyers se confondent avec le centre et les deux brins valent a : on retrouve le cercle du compas.
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Un cercle aplati : aire et périmètre
Question : combien mesure une ellipse ? Prenons un cercle de rayon a et écrasons-le verticalement dans le rapport b/a : chaque point (x, y) devient (x, y·b/a). C'est une affinité. Le cercle devient exactement l'ellipse, et toutes les aires sont multipliées par b/a. L'aire se calcule donc d'un coup ; le périmètre, lui, résiste.
Construction de La Hire : deux cercles de rayons a et b. Le point M de l'ellipse prend l'abscisse du grand cercle et l'ordonnée du petit. Le cercle de rayon a (gris) s'écrase en l'ellipse (bleu).Erreur relative de quatre formules approchées du périmètre en fonction de b/a, en échelle logarithmique. Point rouge : rapport courant.
aire mesurée (polygone + Richardson)—
aire πab—
périmètre mesuré (polygone + Richardson)—
périmètre exact 4a·E(e)—
erreur de π(a + b)—
erreur de Ramanujan I—
erreur de Ramanujan II—
L'aire est facile, le périmètre ne l'est pas. L'aire vaut πa² × b/a = πab. Pour le périmètre, aucune formule ne s'écrit avec les fonctions usuelles : il vaut 4a·E(e), où E est l'intégrale elliptique complète de seconde espèce, calculée ici par la moyenne arithmético-géométrique de Gauss. Le nom « fonction elliptique » vient d'ailleurs de là. En 1914, Ramanujan donna deux approximations remarquables ; la seconde, π(a+b)(1 + 3h/(10 + √(4 − 3h))) avec h = ((a−b)/(a+b))², se trompe de moins d'un millionième jusqu'à b/a ≈ 0,2 environ.
3
Le miroir à deux foyers
Question : que devient un rayon parti d'un foyer et réfléchi par l'ellipse ? Il passe toujours par l'autre foyer. Mieux : tous les chemins F₁ → paroi → F₂ ont la même longueur 2a (c'est la ficelle !). Une onde émise en F₁ arrive donc en F₂ en même temps par toutes les directions et s'y concentre. Cliquez sur « Émettre » pour voir le front d'onde.
Rayons émis par la source (rouge) et réfléchis par la paroi. Les points orange forment le front d'onde, qui se referme sur le second foyer.
plus grande distance d'un rayon réfléchi à F₂—
longueurs de chemin : min / max—
dispersion des longueurs—
Le calcul ne suppose rien. Pour chaque rayon, on résout l'intersection avec l'ellipse, on réfléchit la direction sur la normale (gradient de x²/a² + y²/b²), puis on mesure à quelle distance le rayon réfléchi passe de F₂. Avec la source au foyer, l'écart est de l'ordre de 10⁻¹⁵ : tous les rayons passent par F₂. Décalez la source : les rayons s'éparpillent et le front d'onde ne se referme plus en un point. Applications : le lithotripteur place un générateur d'ondes de choc au foyer d'un réflecteur ellipsoïdal et le calcul rénal du patient à l'autre foyer ; les « galeries des murmures » elliptiques renvoient un chuchotement d'un foyer à l'autre ; les lampes de projecteurs utilisent des réflecteurs ellipsoïdaux pour concentrer la lumière.
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Les orbites de Kepler
Question : comment une planète parcourt-elle son ellipse ? En 1609, Kepler énonce que l'orbite est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer, et que la planète balaie des aires égales en des temps égaux : elle accélère près du Soleil (périhélie) et ralentit loin de lui (aphélie). Sa position se calcule par l'équation de Kepler M = E − e sin E, que l'on résout ici par la méthode de Newton.
Soleil (rouge) au foyer, planète (bleu). Les douze secteurs alternés sont balayés en des durées égales : un douzième de période chacun.
aire de chaque secteur (mesurée) / attendue πab/12—
écart relatif maximal entre les 12 secteurs—
écart position Kepler / intégration RK4—
orbites parcourues—
vitesse max / min (mesurée par RK4)—
prédiction (1 + e)/(1 − e)—
La troisième loi : T² / a³ est le même pour toutes les planètes
Deux calculs indépendants. D'un côté, la formule de Kepler donne la position à chaque instant. De l'autre, on intègre pas à pas la loi de Newton (attraction en 1/r²) par la méthode de Runge-Kutta, sans rien savoir des ellipses. Après plusieurs orbites, les deux positions coïncident encore à environ 10⁻¹¹ unité astronomique près : la gravitation de Newton produit l'ellipse de Kepler. Pour la comète de Halley, l'écart monte vers 10⁻⁴ : au périhélie la vitesse est soixante fois plus grande qu'à l'aphélie, et chaque passage y ajoute un peu d'erreur d'intégration. Le rapport des vitesses extrêmes mesuré par l'intégration retrouve la prédiction (1 + e)/(1 − e).
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Signature : les sphères de Dandelin
Question : pourquoi la coupe d'un cône par un plan possède-t-elle des foyers ? Les Grecs savaient que cette coupe est une ellipse, mais la raison profonde n'est apparue qu'en 1822, avec Germinal Pierre Dandelin. Glissons dans le cône deux sphères qui touchent à la fois le cône (le long d'un cercle) et le plan de coupe (en un point). Ces deux points de contact sont exactement les foyers.
Cône (bleu), plan de coupe (gris), ellipse (rouge), sphères de Dandelin (violet). Le segment vert est la génératrice du cône qui passe par M, entre les deux cercles de contact. Faites tourner la scène à la souris ou au doigt.La même coupe vue de face, dans son plan. Les points de contact des sphères (F₁, F₂) jouent le rôle des clous du jardinier.
MF₁ + MF₂ en M—
longueur de génératrice entre les deux cercles—
écart maximal sur 2000 points de l'ellipse—
excentricité mesurée c/a—
excentricité prédite sin θ / cos α—
nature de la coupe—
La démonstration tient en une ligne. Depuis un point M, toutes les tangentes menées à une même sphère ont la même longueur. Or MF₁ est tangente à la petite sphère (dans le plan), tout comme le morceau de génératrice qui va de M au petit cercle de contact ; de même MF₂ et le morceau qui va au grand cercle. Donc MF₁ + MF₂ = longueur de génératrice entre les deux cercles, qui est la même pour tous les points M. C'est exactement la ficelle du jardinier. Quand θ atteint 90° − α, le plan devient parallèle à une génératrice, la grande sphère part à l'infini et l'ellipse devient une parabole : e = 1.
Repères historiques
vers −350Ménechme découvre les sections du cône en cherchant à dupliquer le cube.
vers −200Apollonius de Perge consacre huit livres aux Coniques et donne à l'ellipse son nom (du grec « manque »).
1609Kepler publie l'Astronomia nova : l'orbite de Mars est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer, et les aires balayées sont proportionnelles aux temps.
1687Newton démontre dans les Principia que l'attraction en 1/r² produit des orbites coniques.
1822Dandelin fait apparaître les foyers comme points de contact de deux sphères inscrites dans le cône.
1914Ramanujan publie ses deux approximations du périmètre de l'ellipse.
1980Premier traitement d'un calcul rénal par lithotripsie extracorporelle, à Munich, avec un réflecteur ellipsoïdal.
En résumé
Une définition
MF₁ + MF₂ = 2a. Les deux brins valent a + ex et a − ex. L'excentricité e = c/a mesure l'allongement : 0 pour le cercle, proche de 1 pour une ellipse très plate.
Des mesures
Aire πab, obtenue en écrasant un cercle. Périmètre 4a·E(e), sans formule élémentaire ; l'approximation de Ramanujan est remarquablement précise.
Des usages
Orbites des planètes et des comètes, réflecteurs qui concentrent ondes et lumière d'un foyer à l'autre, sections de cône dont les foyers sont les contacts des sphères de Dandelin.
Pour aller plus loin
Foyer et directrice. L'ellipse est aussi l'ensemble des points dont le rapport des distances à un foyer et à une droite fixe (la directrice, d'équation x = a/e) vaut e. Cette définition, valable pour e < 1, donne la parabole pour e = 1 et l'hyperbole pour e > 1 : c'est elle qui unifie les trois coniques.
Équation polaire. Avec l'origine au foyer, r = p / (1 + e cos θ) où p = b²/a est le paramètre. C'est la forme que donne directement la mécanique de Newton.
Vitesse sur l'orbite. La formule de l'énergie (vis-viva) v² = μ(2/r − 1/a) donne le rapport des vitesses extrêmes (1 + e)/(1 − e), mesuré dans la planche 4.
Lien avec les ovales de Cassini. En remplaçant la somme des distances par leur produit, on obtient les ovales de Cassini, sujet d'une page voisine.