Le conjugué harmonique d'un point d'inflexion
Une droite tourne autour d'un point d'inflexion d'une cubique et la recoupe en deux points. Le conjugué harmonique du point d'inflexion décrit… une droite. Voici pourquoi, et ce que cette droite cache.
L'énoncé et le plan de route
Trois mots à fixer avant de commencer. Une cubique plane est une courbe d'équation F(x, y) = 0 où F est un polynôme de degré 3. Une droite la coupe donc en trois points au plus (en substituant l'équation de la droite, on obtient une équation de degré 3) ; ici l'un des trois est I, les deux autres sont P et Q. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la tangente y touche la courbe « trois fois », c'est-à-dire que I est racine triple quand on coupe Γ par cette tangente. Enfin, M est le conjugué harmonique de I par rapport à P et Q lorsque M divise [PQ] dans le même rapport que I, mais de l'autre côté : MP/MQ = IP/IQ, avec un signe opposé. La planche 2 détaille cette notion.
Le chemin suivi : on regarde d'abord (planche 1), on définit proprement l'outil (planche 2), on démontre par le calcul (planche 3), on vérifie que l'hypothèse d'inflexion est indispensable (planche 4), puis on découvre la raison profonde du résultat : une symétrie de la cubique qu'on ne voit pas à l'œil nu (planche 5).
L'expérience : faire tourner la droite
Avant tout calcul, on regarde. La droite pivote autour de I ; pour chaque position, la page cherche P et Q en résolvant numériquement F = 0 le long de la droite, puis place M. Que dessinent les points M ?
Le conjugué harmonique, un outil projectif
Sur une droite, quatre points I, M, P, Q forment une division harmonique quand M partage [PQ] dans le même rapport que I, mais avec le signe opposé. Mesurée depuis I, cette condition prend une forme très simple : l'inverse de IM est la moyenne des inverses de IP et IQ.
Le nombre (I, M ; P, Q) = (IP·MQ)/(MP·IQ), calculé avec des longueurs algébriques, s'appelle le birapport. Il a une propriété remarquable : il ne change pas quand on regarde la figure en perspective. La construction ci-dessous le montre : elle n'utilise que des droites et des intersections, jamais une longueur, et pourtant elle donne exactement M.
Le calcul : pourquoi c'est une droite
On choisit un repère adapté : I à l'origine, la tangente en I comme axe des abscisses. On écrit F = F₁ + F₂ + F₃, en regroupant les termes de degré 1, 2 et 3 (pas de terme constant, puisque I est sur Γ).
Étape 1 — ce qu'impose l'inflexion. La tangente en I est y = 0, donc F₁ = y (à un facteur près). Sur cette tangente, F(x, 0) = F₂(x, 0) + F₃(x, 0) doit avoir 0 pour racine triple : le terme en x² doit disparaître, donc F₂(x, 0) = 0, ce qui veut dire que y divise F₂. On peut écrire F₂ = y·(bx + cy).
Étape 2 — couper par une droite issue de I. Les points de la droite de direction (u, v) s'écrivent (tu, tv). En remplaçant, et puisque F₁, F₂, F₃ sont homogènes :
La racine t = 0, c'est I. Les deux autres, t₁ (pour P) et t₂ (pour Q), sont celles du crochet, un trinôme du second degré. Les relations entre coefficients et racines donnent sans résoudre : 1/t₁ + 1/t₂ = (t₁ + t₂)/(t₁t₂) = −(bu + cv).
Étape 3 — conclure. Le conjugué harmonique M = (t·u, t·v) vérifie 2/t = 1/t₁ + 1/t₂ = −(bu + cv), donc t(bu + cv) = −2, c'est-à-dire :
Cette équation ne contient plus u ni v : M reste sur une droite fixe, que l'on appelle la polaire harmonique de I. La partie cubique F₃ a disparu du résultat : elle façonne la courbe, mais ne déplace pas la droite. Faites-en l'essai avec le curseur κ.
À quoi sert l'inflexion ? Lâchons l'hypothèse
Ajoutons un terme ε·x² à l'équation. Pour ε ≠ 0, la tangente en I ne coupe plus la courbe que deux fois en I : I devient un point ordinaire. Le même calcul donne alors 2/t = −F₂(u, v)/F₁(u, v), et le lieu de M devient une conique.
Pour ε = 0, cette conique se casse : εx² + y(bx + cy) + 2y = y·(bx + cy + 2). C'est la réunion de la tangente y = 0 et de la droite trouvée en planche 3. M n'emprunte jamais la tangente (il faudrait v = 0) : seule la droite reste.
La symétrie cachée de la cubique
Sur chaque droite issue de I, la transformation qui fixe I et M et échange P et Q existe toujours. Recollées, ces transformations forment une seule application du plan, qui laisse Γ entière en place : une symétrie qu'on ne voit pas, parce qu'elle n'est pas euclidienne. Deux façons de la rendre visible.
Changeons de coordonnées : X = x/y et Y = (bx + cy + 2)/y. Ce changement est une perspective (une homographie) : il envoie I à l'infini dans la direction verticale, la tangente en I sur la droite de l'infini, et la droite b·x + c·y + 2 = 0 sur l'axe Y = 0. Le calcul de la planche 3 se réécrit alors très simplement :
C'est la forme de Newton et Weierstrass : une courbe symétrique par rapport à l'axe Y = 0. Les droites issues de I deviennent des verticales, P et Q deviennent deux points symétriques (X, ±Y), et leur conjugué harmonique avec le point à l'infini est simplement leur milieu, sur l'axe. Ce qui était un mystère à gauche est une évidence à droite.
Revenons au dessin d'origine. L'application σ qui, sur chaque droite issue de I, échange P et Q en fixant I et M s'écrit d'une seule formule, valable pour tout le plan (repère de la planche 3) :
C'est une homologie harmonique de centre I et d'axe la droite trouvée : l'analogue projectif d'une symétrie axiale. Le curseur k la fait apparaître progressivement : chaque point glisse sur sa droite issue de I de sorte que le birapport (I, M ; A, A′) vaille k. À k = 1 rien ne bouge ; à k = 0 tout le plan s'écrase sur l'axe ; à k = −1 c'est σ. Regardez Γ se replier puis retomber exactement sur elle-même, alors qu'un cercle, lui, ne s'y retrouve pas.
La réponse complète
Le lieu de M est la droite Δ d'équation b·x + c·y + 2 = 0 dans le repère adapté, appelée polaire harmonique du point d'inflexion I. Pour répondre aux deux questions d'un problème de lieu : tout point M obtenu est sur Δ (planche 3) ; réciproquement, tout point de Δ est obtenu, sauf le point E où Δ coupe la tangente en I (il faudrait que la droite mobile soit cette tangente, et P = Q = I). Si l'on n'accepte que des points P et Q réels, le lieu se réduit aux portions de Δ délimitées par les points de contact T des tangentes menées de I (planche 5, partie verte). Enfin, si I est centre de symétrie de Γ (b = c = 0), M est toujours à l'infini : la droite Δ est la droite de l'infini.
Repères historiques
Ce qu'on voit
La droite tourne autour de I, le point M se promène et reste sur une droite, à l'erreur d'arrondi près.
Ce qu'on calcule
L'inflexion fait apparaître le facteur y dans les termes de degré 2 ; la somme des inverses des racines ne dépend plus de la direction qu'à travers une forme linéaire, d'où la droite b·x + c·y + 2 = 0.
Ce qu'on comprend
Γ est invariante par l'homologie harmonique de centre I ; le lieu de M en est l'axe. En perspective, c'est la symétrie de y² = cubique par rapport à l'axe des abscisses.
Pour aller plus loin
Le théorème de Cotes. Si O n'est pas sur une courbe de degré n et qu'une droite issue de O la coupe en P₁, …, Pₙ, le point M défini par n/OM = Σ 1/OPᵢ décrit une droite, la polaire de O. La planche 4 montre ce qui se passe quand O est sur la courbe : une conique ; et notre exercice, quand O est un point d'inflexion : la conique dégénère.
La loi de groupe. Sur une cubique non singulière, on définit une addition des points en prenant un point d'inflexion I comme zéro : trois points alignés ont une somme nulle. Comme I, P et Q sont alignés, Q = −P. L'homologie σ de la planche 5 n'est donc rien d'autre que l'opposé, P ↦ −P, et les points de contact T, fixes par σ, sont les points d'ordre 2 du groupe.
Neuf points d'inflexion, neuf polaires. Chacun des neuf points d'inflexion (réels ou complexes) a sa polaire harmonique. Pour une courbe réelle, les trois inflexions réelles sont alignées, et la polaire harmonique de chacune passe par les points de contact des tangentes qu'on peut mener de ce point.
La polaire conique. En coordonnées homogènes, la conique polaire de I est X·∂F/∂X + Y·∂F/∂Y + Z·∂F/∂Z évaluée en I ; pour un point d'inflexion elle se décompose en la tangente et la polaire harmonique, exactement comme le facteur y·(bx + cy + 2) de la planche 4.