Géométrie

La cardioïde

Une pièce de monnaie qui roule autour d'une autre, une table de multiplication tracée sur un cercle, un reflet au fond d'une tasse, le diagramme d'un micro de scène, le cœur de l'ensemble de Mandelbrot : c'est chaque fois la même courbe en forme de cœur.

Une table de multiplication qui dessine un cœur

Placez N points régulièrement sur un cercle et numérotez-les 0, 1, 2, … Reliez chaque point k au point 2k (en recommençant à 0 quand on dépasse N). Plus N est grand, plus les cordes dessinent nettement une courbe en forme de cœur : la cardioïde, du grec kardia, « cœur ».

Cordes k → 2k sur N points (N augmente de 10 à 240), cardioïde enveloppe en rouge.

Écriture	Formule	Avec quelle origine ?
polaire	r = 2a(1 − cos θ)	origine au point de rebroussement (la « pointe » du cœur)
paramétrique	x = 2a cos t − a cos 2t, y = 2a sin t − a sin 2t	origine au centre du cercle fixe de la planche 1
cartésienne	(x² + y² + 2ax)² = 4a²(x² + y²)	origine au point de rebroussement
mesures	longueur 16a, aire 6πa²	a est le rayon de la roue

La roue qui roule

Question : quelle courbe trace un point d'une roue qui roule autour d'une roue de même taille ? Un cercle de rayon a roule sans glisser autour d'un cercle fixe de même rayon. Un point marqué sur son bord décrit une cardioïde. Surprise : pendant un seul tour autour du cercle fixe, la roue tourne deux fois sur elle-même.

Cercle fixe (gris), roue mobile (bleu) avec un rayon repère (orange), point traceur M (rouge) et sa trace.

Distance r de M au point de rebroussement en fonction de l'angle θ : points mesurés pendant le roulement (bleu) et formule 2a(1 − cos θ) (rouge).

vitesse

tours de la roue sur elle-même—

écart maximal à r = 2a(1 − cos θ)—

longueur mesurée (polygone + Richardson)—

longueur prédite 16a—

aire mesurée (polygone + Richardson)—

aire prédite 6πa²—

Le paradoxe de la pièce. Le centre de la roue parcourt un cercle de rayon 2a, donc une distance 4πa, soit deux fois le périmètre de la roue : elle fait deux tours, l'un parce qu'elle avance le long du cercle fixe, l'autre parce que ce chemin s'enroule autour de lui. Le compteur de tours suit l'angle du rayon orange pas à pas. Les mesures sont faites sur la courbe tracée : la longueur vaut exactement 16a (huit fois le rayon, comme l'arche de cycloïde) et l'aire 6πa², six fois l'aire de la roue. La cardioïde est une épicycloïde à un seul point de rebroussement.

Trois autres constructions

Question : pourquoi la même courbe apparaît-elle dans des constructions qui n'ont rien à voir ? Chaque onglet montre une méthode ; dans chaque cas, la page calcule les points obtenus et vérifie qu'ils tombent exactement sur une cardioïde.

—

nombre d'éléments

multiplicateur k

courbe obtenue—

écart maximal des points à la cardioïde—

contrôle de tangence—

—

Le reflet dans la tasse

Question : quelle est la courbe lumineuse au fond d'une tasse ? Les rayons se réfléchissent sur la paroi circulaire et se concentrent le long d'une courbe brillante, la caustique. Si la source est sur le bord du cercle, la caustique est une cardioïde. Si elle est très lointaine (le soleil), c'est une néphroïde, « en forme de rein ». Entre les deux, la courbe se transforme continûment.

Paroi de la tasse (bleu), source lumineuse (rouge), rayons réfléchis (orange, transparents), caustique calculée (rouge foncé) et courbe théorique en pointillé vert lorsqu'elle existe.

distance de la source au centre (× rayon)

nombre de rayons

source à l'infini (soleil)

courbe attendue—

écart des points de caustique à cette courbe—

points de caustique calculés—

Comment la caustique est calculée. Chaque rayon frappe la paroi et se réfléchit selon la loi « angle d'incidence = angle de réflexion ». Deux rayons voisins réfléchis se coupent en un point ; quand on les rapproche, ce point tend vers la caustique, l'endroit où la lumière s'accumule. La page calcule ces points sans connaître la réponse, puis les compare à la cardioïde de pointe (−R/3 ; 0) et de paramètre a = R/3, ou à la néphroïde de paramètre R/4 : l'écart reste de l'ordre de 10⁻¹², limité seulement par l'écart entre les deux rayons voisins. On voit la cardioïde au fond d'une tasse éclairée par une lampe posée au bord, et la néphroïde au soleil ou sous un plafonnier lointain.

Le micro cardioïde

Question : comment un micro peut-il entendre devant et pas derrière ? Un micro omnidirectionnel capte la pression : même sensibilité partout. Un micro bidirectionnel capte la différence de pression entre ses deux faces : sensibilité cos θ, en forme de huit, positive devant et négative derrière. En les mélangeant à parts égales, on obtient ½(1 + cos θ) : une cardioïde, maximale devant et nulle exactement derrière. C'est le diagramme des micros de scène et de chant.

Diagramme polaire de sensibilité (bleu), parts omnidirectionnelle (gris) et bidirectionnelle (violet). La source sonore (orange) tourne autour du micro.

Indice de directivité (dB) en fonction de la part omnidirectionnelle α, calculé par intégration sur la sphère. Point rouge : réglage courant ; repères : cardioïde, supercardioïde, hypercardioïde.

part omnidirectionnelle α

niveau de la source (angle courant)—

indice de directivité (intégration de Simpson)—

formule −10 log₁₀(α² + (1 − α)²/3)—

α donnant la directivité maximale (recherche)—

angle d'extinction (sensibilité nulle)—

Ce que mesure l'indice de directivité. Il compare la sensibilité dans l'axe à la sensibilité moyenne sur toutes les directions de l'espace : plus il est grand, mieux le micro isole la voix du bruit ambiant. Pour la cardioïde, la page trouve 4,77 dB, soit trois fois moins de bruit diffus qu'un micro omnidirectionnel. La recherche du maximum (méthode de la section dorée) retrouve l'hypercardioïde α = 1/4 et 6,02 dB. Mais l'hypercardioïde a un petit lobe arrière : la cardioïde reste préférée sur scène, car elle est totalement sourde à 180°, là où l'on place les retours de scène.

Signature : le cœur de l'ensemble de Mandelbrot

Question : que fait une cardioïde au milieu d'une fractale ? L'ensemble de Mandelbrot rassemble les nombres complexes c pour lesquels la suite z ↦ z² + c, partie de 0, reste bornée. Sa grande partie centrale est exactement une cardioïde : c'est l'ensemble des c pour lesquels la suite finit par se stabiliser sur un point fixe. Son bord a pour équation c = e^it/2 − e^2it/4.

Ensemble de Mandelbrot (noir), cardioïde principale théorique (rouge), point c (bleu, à déplacer au doigt) et son orbite 0, c, c² + c, … (orange).

Module |zₙ| des 80 premiers termes de l'orbite : stabilisation sur un point fixe (dans la cardioïde), oscillation entre deux valeurs (dans le disque de gauche), fuite à l'infini (hors de l'ensemble).

c—

comportement de l'orbite—

multiplicateur |2z*| du point fixe—

aire de la cardioïde (Monte-Carlo, 400 000 tirages)—

aire exacte 3π/8—

bord : max ||2z*| − 1| sur 2000 points—

Pourquoi une cardioïde ? Un point fixe vérifie z* = z*² + c. Il attire la suite quand la dérivée 2z* est de module inférieur à 1. Sur le bord, |2z*| = 1, donc 2z* = e^it et c = z* − z*² = e^it/2 − e^2it/4 : c'est la paramétrisation d'une cardioïde de paramètre a = 1/4, de pointe c = 1/4. Le tirage de Monte-Carlo ne connaît pas cette équation : il garde les c dont le point fixe attire, et retrouve l'aire 6πa² = 3π/8. À gauche, le disque de centre −1 et de rayon 1/4 contient les c dont l'orbite oscille entre deux valeurs ; il touche la cardioïde en c = −3/4.

Repères historiques

vers 1650Étienne Pascal, père de Blaise, étudie le limaçon, dont la cardioïde est un cas particulier.

1674Ole Rømer étudie les épicycloïdes pour dessiner des dents d'engrenages qui roulent sans à-coups.

1708Philippe de La Hire calcule la longueur de la cardioïde.

1741Giovanni Salvemini, dit de Castillon, lui donne le nom de cardioïde.

années 1930Apparition des microphones à directivité cardioïde, pour la radio et la scène.

1980Benoît Mandelbrot obtient les premières images de l'ensemble qui porte son nom, avec sa cardioïde centrale.

En résumé

Une courbe

r = 2a(1 − cos θ) depuis la pointe ; longueur 16a, aire 6πa². Épicycloïde à un point de rebroussement, limaçon particulier.

Des constructions

Roue roulant sur une roue égale, cercles passant par un point, cordes k → 2k, inverse d'une parabole par rapport à son foyer, caustique d'un cercle éclairé depuis son bord.

Des usages

Micros et antennes cardioïdes qui ignorent l'arrière, engrenages épicycloïdaux, cœur de l'ensemble de Mandelbrot.

Pour aller plus loin

Les limaçons de Pascal. Les courbes r = b + a cos θ forment la famille des limaçons. Pour b = a, la boucle intérieure se réduit à une pointe : c'est la cardioïde.

Les tables de multiplication. Avec les cordes k → m·k, on obtient une épicycloïde à m − 1 pointes : cardioïde pour m = 2, néphroïde pour m = 3, et ainsi de suite (curseur k de la planche 2).