Géodésie

La géodésie : mesurer la forme de la Terre

La géodésie est la science qui mesure la Terre : sa forme, ses dimensions, son champ de pesanteur, et la position exacte de chaque point à sa surface. Cinq planches pour passer de la boule au GPS, puis au satellite qui « sent » l’aplatissement de la planète.

Trois surfaces pour une seule Terre

Quand on dit « la forme de la Terre », on peut penser à trois surfaces différentes, et le géodésien les distingue soigneusement.

Surface	Ce que c’est	À quoi elle sert
La surface topographique	Le sol réel, avec ses montagnes et ses fosses océaniques.	C’est là qu’on pose les instruments.
Le géoïde	La surface que prendrait la mer au repos, prolongée sous les continents. Elle est partout perpendiculaire au fil à plomb.	Elle définit l’altitude « au-dessus du niveau de la mer ».
L’ellipsoïde	Une sphère légèrement aplatie aux pôles, objet mathématique simple, choisi pour coller au géoïde à environ cent mètres près.	Il porte la latitude, la longitude et les calculs du GPS.

L’ellipsoïde utilisé par le GPS s’appelle WGS 84. Il est défini par deux nombres : le demi-grand axe a = 6 378 137 m (rayon à l’équateur) et l’aplatissement f = (a − b)/a = 1/298,257 223 563, où b est le demi-petit axe (rayon au pôle). On en déduit b = 6 356 752,314 m : la Terre est plus « courte » de 21,4 km d’un pôle à l’équateur. Toutes les valeurs affichées dans cette page sont calculées sur place à partir de ces deux nombres, puis contrôlées par une seconde méthode indépendante.

Une Terre aplatie : l’ellipsoïde et ses trois latitudes

Question : sur une Terre aplatie, que veut dire « être à 45° de latitude » ?

Sur une sphère, la verticale passe par le centre : il n’y a qu’une façon de mesurer la latitude. Sur un ellipsoïde, la verticale (la normale, perpendiculaire à la surface) ne passe plus par le centre. On obtient donc plusieurs latitudes, qui ne diffèrent que de quelques minutes d’angle… soit plus de vingt kilomètres au sol.

La latitude géodésique φ est l’angle entre la normale et l’équateur : c’est celle des cartes et du GPS. La latitude géocentrique ψ est l’angle entre la droite qui va au centre et l’équateur. La latitude réduite β se lit sur le cercle de rayon a qui enveloppe l’ellipse. Elles sont liées par :

tan ψ = (1 − e²) tan φ · tan β = (1 − f) tan φ avec e² = f(2 − f)

Deux rayons de courbure décrivent la surface en chaque point. M, le rayon du cercle qui épouse le méridien (cercle osculateur), et N, la longueur de la normale entre la surface et l’axe des pôles :

M = a(1 − e²)/(1 − e² sin²φ)^3/2 · N = a/(1 − e² sin²φ)^1/2

Quart de méridien, aplatissement exagéré pour être visible. Bleu : la normale, qui coupe l’axe des pôles à la distance N. Orange : la droite vers le centre. Violet : le cercle de rayon a et la latitude réduite. Vert pointillé : le cercle osculateur de rayon M.

Valeurs réelles de WGS 84 en fonction de la latitude. Rouge : écart φ − ψ (minutes d’angle). Vert : longueur d’un degré de méridien (km). Le point marque la latitude choisie.

Latitude géodésique φ

Aplatissement dessiné

écart φ − ψ (Terre réelle)—

latitude réduite β—

grande normale N—

rayon de courbure du méridien M—

un degré de méridien M·π/180—

un degré de parallèle N cos φ·π/180—

contrôle : angle de la normale (gradient) − φ—

contrôle : courbure par le paramétrage − M—

Ce qu’on vient de voir. L’écart entre latitude géodésique et géocentrique est nul à l’équateur et au pôle, et culmine à — vers 45,1° : c’est 21 km au sol. Le degré de méridien s’allonge vers le pôle (de 110,574 à 111,694 km), parce que la Terre y est plus plate, donc moins courbée : c’est exactement ce que mesurèrent les expéditions de Laponie et du Pérou (1735-1744), qui donnèrent raison à Newton contre Cassini. Le premier contrôle confirme que l’angle de la normale, calculé par le gradient de l’équation de l’ellipse, redonne φ ; le second, que la courbure calculée à partir de la paramétrisation x = a cos β, z = b sin β redonne la formule de M.

Du GPS à la carte : coordonnées géodésiques et cartésiennes

Question : le GPS calcule des positions dans l’espace ; comment en tire-t-il une latitude, une longitude et une hauteur ?

Un récepteur GPS ne connaît d’abord que des distances à des satellites. Il en déduit la position de l’antenne dans un repère cartésien (X, Y, Z) attaché à la Terre : origine au centre de masse, axe Z vers le pôle Nord, axe X vers le méridien de Greenwich. Il faut ensuite traduire ces trois nombres en latitude φ, longitude λ et hauteur ellipsoïdale h, mesurée le long de la normale.

Dans un sens, la formule est directe :

X = (N + h) cos φ cos λ · Y = (N + h) cos φ sin λ · Z = (N(1 − e²) + h) sin φ

Dans l’autre sens, il n’y a pas de formule simple : la longitude vient de λ = atan2(Y, X), mais φ et h dépendent l’un de l’autre. On les obtient par itération : on devine φ, on en déduit N puis h, puis un meilleur φ, et ainsi de suite jusqu’à stabilité. La page refait ce trajet aller-retour et mesure ce qu’on perd en route.

À gauche : vue depuis le pôle Nord, plan de l’équateur, longitude λ. À droite : coupe dans le méridien du point, aplatissement et hauteur exagérés. Bleu : la normale et la hauteur h. Orange : la droite vers le centre, de longueur r. Gris : les projections sur les axes.

Latitude φ

Longitude λ

Hauteur h

X—

Y—

Z—

distance au centre r—

itérations pour revenir à φ—

retour : φ, λ, h—

écart aller-retour (position)—

pire écart sur 2 000 points au hasard—

Ce qu’on vient de voir. Quelques itérations suffisent (le nombre s’affiche ci-dessus) et l’aller-retour ne perd qu’une fraction de micromètre, même à 8 800 m d’altitude ou à un centième de degré du pôle. On remarque aussi que la distance au centre r n’est pas la hauteur : à Paris, r est inférieur au rayon équatorial d’une douzaine de kilomètres, à cause de l’aplatissement, alors que h ne vaut que 100 m. La hauteur h « GPS » n’est pas non plus l’altitude des cartes : la planche 4 explique pourquoi.

Le plus court chemin : la géodésique

Question : quel est le trajet le plus court entre deux villes, et combien mesure-t-il vraiment ?

Sur une surface courbe, le plus court chemin s’appelle une géodésique (c’est de là que vient le nom de la discipline). Sur une sphère, c’est un arc de grand cercle. Sur l’ellipsoïde, c’est une courbe plus subtile, qui ne se referme en général pas sur elle-même.

Une géodésique avance « tout droit » : son cap, l’azimut α (angle compté depuis le nord), change pourtant le long du trajet. En 1743, Clairaut montre qu’une quantité reste constante : le produit du rayon du parallèle par le sinus de l’azimut.

N cos φ · sin α = constante (relation de Clairaut)

La page calcule la distance de deux façons indépendantes. D’abord par la méthode de Vincenty (1975), série de formules itératives utilisée par les géomètres. Puis en suivant la géodésique pas à pas : on part de A avec l’azimut donné par Vincenty, on intègre les équations du mouvement sur l’ellipsoïde (méthode de Runge-Kutta d’ordre 4) sur la longueur trouvée, et on regarde à quelle distance de B on arrive.

Globe en projection orthographique, à faire tourner au doigt ou à la souris. Bleu : la géodésique de A vers B. Gris : méridiens et parallèles tous les 30°.

Le long du trajet (abscisse en milliers de km). Bleu : l’azimut α, qui varie. Vert : la constante de Clairaut N cos φ sin α rapportée au rayon a, qui reste parfaitement horizontale.

Départ A

Arrivée B

distance sur l’ellipsoïde (Vincenty)—

distance sur la sphère de rayon 6 371,009 km—

écart ellipsoïde − sphère—

azimut au départ / à l’arrivée—

itérations de Vincenty—

contrôle : arrivée du pas à pas, distance à B—

contrôle : dérive de la constante de Clairaut—

Ce qu’on vient de voir. Sur la plupart des trajets intercontinentaux, la sphère se trompe de plusieurs kilomètres, dans un sens ou dans l’autre : Paris–New York est plus long de 15,7 km sur l’ellipsoïde, Paris–Le Cap plus court de 34,9 km. Les trajets nord-sud sont raccourcis (le méridien est plus « court » qu’un cercle de rayon moyen), les trajets est-ouest allongés. Le calcul pas à pas, qui n’utilise aucune formule de Vincenty, retombe sur B à une fraction de millimètre près : les deux méthodes décrivent bien la même courbe.

Le géoïde : la surface où l’eau est au repos

Question : pourquoi le GPS ne donne-t-il pas l’altitude des cartes ?

L’altitude H des cartes est comptée depuis le géoïde, la surface de niveau de la mer au repos. Le GPS donne la hauteur h au-dessus de l’ellipsoïde. L’écart entre les deux surfaces s’appelle l’ondulation du géoïde N (rien à voir avec la grande normale de la planche 1) :

h = H + N

Le géoïde ondule parce que la masse de la Terre est inégalement répartie. Un excès de masse en profondeur attire l’eau et soulève la surface de niveau ; il fait aussi pencher le fil à plomb vers lui. Cet angle entre la verticale réelle et la normale à l’ellipsoïde s’appelle la déviation de la verticale ε. Le théorème de Bruns (1878) relie l’ondulation au potentiel T créé par l’anomalie, et la déviation n’est rien d’autre que la pente du géoïde :

N = T/γ · ε = − dN/dx (γ ≈ 9,81 m/s², pesanteur normale)

Le modèle de la page : une boule enfouie de rayon R, de contraste de densité Δρ, centrée à la profondeur d, de masse en excès m = 4/3·πR³Δρ. Elle crée le potentiel T = Gm/r, où r est la distance au centre de la boule.

Coupe sur 400 km. Brun : le relief. Bleu : l’ellipsoïde (droit). Vert : le géoïde, ondulations exagérées. Rouge : le fil à plomb au point M, incliné vers la masse (angle exagéré), et la normale à l’ellipsoïde en gris. Les flèches de M donnent h, H et N.

Rouge : déviation de la verticale ε (en secondes d’angle) le long du profil. Vert : ondulation N (en mètres) donnée par la formule. Points noirs : N reconstituée en additionnant les seules déviations mesurées de proche en proche (nivellement astrogéodésique de Helmert), à partir du bord gauche.

Rayon de la boule R

Contraste de densité Δρ

Profondeur du centre d

Position du point M

ondulation N au point M—

altitude H (nivellement)—

hauteur h = H + N (GPS)—

déviation de la verticale en M—

erreur de position qu’elle cause en astronomie—

masse en excès m—

contrôle : −dN/dx (différences finies) − attraction horizontale/γ—

contrôle : N reconstituée (Simpson) − formule, pire écart—

Ce qu’on vient de voir. Une boule de 12 km de rayon et 400 kg/m³ d’excès soulève le géoïde de — seulement, mais fait pencher le fil à plomb de plus de deux secondes d’angle. Or l’astronome qui mesure une latitude par les étoiles se règle sur le fil à plomb : chaque seconde de déviation déplace sa position de 31 m. C’est une erreur que Delambre et Méchain, lors de la mesure du méridien (1792-1799), ne pouvaient ni mesurer ni corriger. Inversement, en mesurant les déviations de proche en proche, on reconstitue le géoïde : les points noirs retombent sur la courbe verte. À l’échelle du globe, le géoïde réel s’écarte de l’ellipsoïde d’environ −106 m (au sud de l’Inde) à +85 m (Nouvelle-Guinée).

Le satellite qui pèse la Terre

Question : peut-on mesurer l’aplatissement de la Terre sans arpenter le sol ?

Le bourrelet équatorial attire un satellite un peu plus que ne le ferait une Terre ronde de même masse. Ce supplément ne change presque pas l’orbite, mais il fait tourner lentement son plan autour de l’axe des pôles : la ligne des nœuds (où l’orbite croise l’équateur) dérive de quelques degrés par jour. La force du bourrelet est mesurée par un seul nombre, le coefficient J₂ = 1,082 63·10⁻³.

dΩ/dt = − (3/2) J₂ (a/r)² n cos i · n = √(GM/r³)

Ω est la longitude du nœud ascendant, r le rayon de l’orbite circulaire, a le rayon équatorial, i l’inclinaison, n le moyen mouvement (vitesse angulaire du satellite). La page vérifie cette formule en intégrant réellement le mouvement du satellite pendant trois jours (Runge-Kutta d’ordre 4, pas de 10 s, force de Newton plus terme J₂), puis en mesurant la pente de Ω(t).

L’orbite (bleu) autour de la Terre, temps accéléré (deux jours par seconde, sur trente jours). Le point rouge est le nœud ascendant ; sa trace orange montre la dérive du plan. Les parties cachées par la Terre sont pâles. Faites tourner la vue.

Longitude du nœud Ω sur trois jours. Points bleus : mesurée sur l’orbite intégrée. Droite verte : la formule, tracée par-dessus. Les deux se confondent à cette échelle ; les petites oscillations à courte période du nœud se moyennent sur trois jours.

Altitude de l’orbite

Inclinaison i

Terre sans bourrelet (J₂ = 0)

période orbitale—

dérive mesurée sur l’orbite intégrée—

dérive donnée par la formule—

écart relatif—

contrôle : énergie conservée par l’intégration—

Ce qu’on vient de voir. Le plan recule (dérive négative) pour une orbite directe (i < 90°), avance pour une orbite rétrograde (i > 90°), et ne bouge pas à 90° ni quand on supprime le bourrelet. La mesure sur l’orbite intégrée et la formule s’accordent à un millième près environ (de 2·10⁻⁴ à 1,5·10⁻³ selon l’orbite) : cet écart résiduel, de l’ordre de J₂ lui-même, est la part des termes que la formule du premier ordre néglige.

La Terre fait le tour du Soleil en un an (vue du dessus, temps très accéléré). Trait bleu : la trace du plan d’une orbite héliosynchrone ; trait orange : celle d’une orbite polaire (i = 90°), dont le plan reste fixe dans l’espace. Le trait jaune pointe vers le Soleil.

La Terre tourne autour du Soleil de 360° en 365,2422 jours, soit 0,9856° par jour. Si l’on choisit l’inclinaison pour que le plan de l’orbite tourne exactement à cette vitesse, il garde toujours la même orientation par rapport au Soleil : le satellite survole chaque lieu à la même heure solaire, avec le même éclairage. C’est l’orbite des satellites d’observation (SPOT, Sentinel, Landsat).

Il faut un cos i négatif, donc une orbite légèrement rétrograde : i un peu au-delà de 90°. La page la trouve de deux façons, par la formule fermée cos i = −(dΩ/dt)/((3/2)J₂(a/r)²n), et par dichotomie sur la formule de dérive.

Altitude

dérive nécessaire—

inclinaison héliosynchrone (formule fermée)—

par dichotomie (60 étapes)—

écart entre les deux—

Ce qu’on vient de voir. À 800 km, il faut i = 98,60° : le trait bleu reste perpendiculaire à la direction du Soleil toute l’année, alors que le trait orange, fixe dans l’espace, se présente de face au bout de trois mois. Sans le bourrelet équatorial, une telle orbite serait impossible : l’aplatissement de la Terre, gênant pour les cartographes, est un cadeau pour les satellites.

Renversons le raisonnement. Un observateur ignore la forme de la Terre ; il ne fait que suivre un satellite à 800 km d’altitude, incliné de 60°, et mesure la dérive de son plan (orbite intégrée sur trois jours, comme dans le premier onglet). Il en déduit J₂ en inversant la formule. Puis il applique le théorème de Clairaut (1743), qui relie l’aplatissement f d’une Terre dont la surface de la mer est un ellipsoïde de niveau à J₂ et au rapport m de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur :

f ≈ (3/2) J₂ + m/2 · m = ω²a²b/(GM) ≈ 1/290

L’aplatissement exprimé par 1/f. Vert : la valeur retrouvée à partir du seul satellite. Bleu : WGS 84. Gris : les ellipsoïdes historiques. Newton (1/230, 1687) est hors de l’échelle, à gauche.

dérive mesurée (orbite intégrée)—

J₂ retrouvé—

écart à J₂ vrai—

rapport centrifuge m—

aplatissement retrouvé 1/f—

WGS 841/298,257

écart relatif sur f—

Ce qu’on vient de voir. Rien qu’en regardant tourner une orbite, on retrouve l’aplatissement de la Terre à un peu plus d’un millième près ; l’essentiel de l’écart vient de la formule de Clairaut prise au premier ordre, qui néglige les termes en f². C’est ce qui se produisit en 1958 : l’analyse des premiers satellites donna 1/298,3, alors que deux siècles d’arpentage avaient abouti au 1/297 de Hayford. La géodésie spatiale venait de naître ; les missions GRACE (2002) et GOCE (2009) cartographient aujourd’hui le géoïde au centimètre.

Repères historiques

−240 Ératosthène mesure la circonférence de la Terre par l’angle entre les verticales d’Alexandrie et de Syène.
1615 Snellius invente la triangulation pour mesurer un arc de méridien aux Pays-Bas.
1669 L’abbé Picard mesure l’arc Paris–Amiens ; Newton s’en servira.
1687 Newton prédit une Terre aplatie aux pôles (1/230), par l’équilibre d’un fluide en rotation.
1736-44 Expéditions de Laponie (Maupertuis) et du Pérou (Bouguer, La Condamine) : l’aplatissement est confirmé.
1743 Clairaut publie sa Théorie de la figure de la Terre, qui relie aplatissement et pesanteur.
1792-99 Delambre et Méchain mesurent le méridien de Dunkerque à Barcelone ; naissance du mètre.
1828 Gauss pose les bases de la géométrie des surfaces à partir de ses travaux géodésiques en Hanovre.
1873 Listing donne son nom au géoïde.
1924 Adoption de l’ellipsoïde international de Hayford (1/297).
1958 Les premiers satellites donnent l’aplatissement 1/298,3 par la dérive de leur orbite.
1984 Le système WGS 84, base du GPS.
2002-13 GRACE puis GOCE mesurent le champ de pesanteur et le géoïde depuis l’espace.

En résumé

Une forme

La Terre est un ellipsoïde aplati au 1/298ᵉ. Ce petit aplatissement suffit à séparer latitude géodésique et géocentrique de 11,5 minutes et à fausser de plusieurs kilomètres une distance calculée sur la sphère.

Deux hauteurs

Le GPS mesure h au-dessus de l’ellipsoïde, la carte donne H au-dessus du géoïde. L’ondulation N = h − H trahit les masses cachées, et la pente du géoïde est la déviation du fil à plomb.

Un satellite

Le bourrelet équatorial fait tourner le plan des orbites. En mesurant cette dérive, on retrouve J₂, puis l’aplatissement de la Terre : la géodésie se fait aujourd’hui depuis l’espace.

Pour aller plus loin

Les formules de Vincenty échouent pour des points presque diamétralement opposés, où plusieurs géodésiques de même longueur coexistent ; la méthode de Karney (2013) traite tous les cas avec une précision de l’ordre du nanomètre. Le théorème de Clairaut a une version exacte, utilisée pour définir l’ellipsoïde GRS 80 à partir de a, GM, J₂ et ω. Le géoïde mondial est aujourd’hui décrit par des développements en harmoniques sphériques de degré supérieur à 2 000 (modèle EGM2008). Enfin, les altitudes françaises sont rattachées au marégraphe de Marseille, où le niveau moyen de la mer a été mesuré de 1885 à 1897.

Pages voisines de la série : la mesure du méridien et la naissance du mètre (triangulation de Delambre et Méchain), les projections cartographiques et l’indicatrice de Tissot, la projection Equal Earth.