Analyse

Les fractions rationnelles et leurs applications

Un polynôme divisé par un autre : l'objet paraît modeste, mais il sait faire ce que les polynômes ne savent pas — exploser en un point, s'aplatir à l'infini, imiter une exponentielle ou une tangente. On le retrouve dans le calcul des intégrales, dans les filtres électroniques et au cœur des calculatrices.

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

L'idée en une phrase : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes, exactement comme un nombre rationnel est le quotient de deux entiers.

F(x) = P(x) / Q(x), avec P et Q polynômes, Q non nul

Trois mots reviennent sans cesse. Les zéros de F sont les nombres où le numérateur s'annule (la courbe coupe l'axe). Les pôles sont les nombres où le dénominateur s'annule : F n'y est pas définie et la courbe s'envole vers l'infini. Le degré de F est deg P − deg Q : il dit comment F se comporte quand x devient très grand. Dans l'animation ci-dessous, deux pôles (traits rouges) se déplacent et la courbe bleue les suit comme une étoffe accrochée à deux piquets.

F(x) = 1/(x − a) − 1/(x − b) + x/4 : les pôles a et b bougent, les zéros (points verts) se déplacent avec eux, la droite pointillée orange y = x/4 reste fixe — c'est la partie polynomiale, qui gouverne l'infini.

Où les rencontre-t-on ?

Domaine	Fraction rationnelle	Ce qu'elle décrit
Calcul intégral	1/(x² − 1) = ½·[1/(x − 1) − 1/(x + 1)]	Toute fraction rationnelle s'intègre à l'aide de logarithmes et d'arctangentes (planche 3).
Électronique	H(p) = 1/(1 + 2ζp/ω₀ + p²/ω₀²)	La fonction de transfert d'un filtre : quelles fréquences passent, lesquelles sont étouffées (planche 4).
Optique	p′ = f·p/(p + f)	Relation de conjugaison d'une lentille mince : position de l'image en fonction de l'objet (une homographie).
Biochimie	v = V·S/(K + S)	Loi de Michaelis–Menten : vitesse d'une réaction enzymatique, qui sature quand le substrat abonde.
Électricité	R = R₁R₂/(R₁ + R₂)	Deux résistances en parallèle.
Calcul numérique	e^x ≈ (12 + 6x + x²)/(12 − 6x + x²)	Les approximants de Padé : imiter une fonction compliquée avec quelques coefficients (planche 5).

Anatomie : pôle, zéros et asymptote oblique

Question : que fait la courbe près d'un pôle, et que fait-elle très loin ? On étudie F(x) = (x² + px + q)/(x − c). La division euclidienne du numérateur par le dénominateur — la même que celle des entiers, mais avec des polynômes — sépare F en une partie entière (un polynôme) et un reste :

F(x) = x + (p + c) + R/(x − c), avec R = c² + pc + q = N(c)

La droite y = x + p + c est l'asymptote oblique : le petit terme R/(x − c) tend vers 0 quand x s'éloigne. Le reste R, lui, décide de la force du pôle ; s'il est nul, le pôle disparaît et la fraction se simplifie (essayez p = 0, q = −1, c = 1).

courbe de Fpôle x = casymptote obliquezérosécart R/(x − c)

vue

Pôle

Asymptote oblique

Reste R = N(c)

Zéros (numérateur)

Contrôle : (x − c)(F(x) − asymptote) à x = 10³

Point mobile : écart à l'asymptote

À retenir. Près du pôle, F se comporte comme R/(x − c) : une hyperbole qui change de signe en traversant c. Loin, F colle à sa partie entière — on le voit en reculant la vue : à ×25, la courbe et l'asymptote se confondent.

Décomposer en éléments simples

Question : peut-on démonter une fraction compliquée en pièces élémentaires ? Oui. Quand le dénominateur a trois racines distinctes r₁, r₂, r₃ et que le numérateur est de degré plus petit, F est la somme de trois hyperboles, une par pôle :

(x² + αx + β) / ((x − r₁)(x − r₂)(x − r₃)) = a₁/(x − r₁) + a₂/(x − r₂) + a₃/(x − r₃)

Le coefficient a_k s'appelle le résidu au pôle r_k. On l'obtient par la méthode du cache : on « cache » le facteur (x − r_k) du dénominateur et l'on remplace x par r_k dans ce qui reste. Appuyez sur « Assembler » : les trois hyperboles s'ajoutent une à une et la somme (bleu) vient se poser exactement sur F (pointillé vert).

a₁/(x − r₁)a₂/(x − r₂)a₃/(x − r₃)somme en coursF exacte

r₁

r₂

r₃

a₁ (méthode du cache)

a₂ (méthode du cache)

a₃ (méthode du cache)

Autre méthode : (x − r_k)F(x) à x = r_k + 10⁻⁶, plus grand écart

Somme a₁ + a₂ + a₃ (doit valoir 1)

Écart max |F − somme| sur 2 000 points

Pourquoi la somme des résidus vaut 1 ? Pour x très grand, chaque a_k/(x − r_k) ≈ a_k/x, donc la somme vaut ≈ (a₁ + a₂ + a₃)/x ; et F ≈ x²/x³ = 1/x. Les deux doivent coïncider : a₁ + a₂ + a₃ = 1, quels que soient les curseurs. Ce contrôle gratuit trahirait la moindre erreur de calcul.

Intégrer une fraction rationnelle

Question : à quoi sert la décomposition ? D'abord à intégrer. Chaque élément simple a une primitive connue : 1/(x − r) donne ln|x − r|, 1/(x − r)² donne −1/(x − r), et 1/((x + p)² + ω²) donne (1/ω)·arctan((x + p)/ω). Toute fraction rationnelle s'intègre donc avec des logarithmes, des arctangentes et des fractions — c'est un théorème de Leibniz et Jean Bernoulli (1702).

exemple

La fonction à intégrer et l'aire de 0 à X (bleu).

L'aire I(X) quand X grandit (bleu), sa limite quand elle existe (vert), le point courant (rouge).

I(X) par la primitive exacte

I(X) par Simpson (2 000 tranches)

Écart entre les deux

Limite quand X → +∞

Règle des degrés. L'aire totale de 0 à +∞ est finie quand le dénominateur dépasse le numérateur d'au moins deux degrés (exemples A, B, C) : F décroît alors comme 1/x². Avec un seul degré d'écart (exemple D), F décroît comme 1/x et l'aire grandit comme ln X, sans jamais s'arrêter.

Filtrer un signal : la fonction de transfert

Question : comment un circuit électrique, une suspension de voiture ou un haut-parleur répondent-ils à une vibration ? Pour un système du second ordre (masse–ressort–amortisseur, circuit RLC), la réponse à une sinusoïde de pulsation ω est la sinusoïde d'entrée multipliée par un nombre complexe, la valeur d'une fraction rationnelle :

H(u) = 1 / (1 − u² + 2iζu), u = ω/ω₀ (fréquence réduite), ζ = amortissement

Le module |H| dit par combien l'amplitude est multipliée ; l'argument dit de combien la sortie est décalée. Le diagramme de Bode (du nom de l'ingénieur Hendrik Bode) trace le gain 20·log₁₀|H| en décibels contre log₁₀ u. Choisissez une fréquence et regardez la sortie (bleu) suivre — ou ne pas suivre — l'entrée (gris).

Gain en décibels. Pointillés orange : les deux asymptotes, 0 dB puis −40 dB par décade. Point rouge : la fréquence choisie.

Entrée sin(ωt) en gris, sortie permanente en bleu, dans le temps.

log₁₀ u

Gain |H(u)|

Gain en décibels

Déphasage de la sortie

Amplitude simulée (équation différentielle, Runge-Kutta)

Pic de résonance : mesuré / formule

Pente mesurée entre u = 100 et u = 1 000

Lecture des degrés. Le dénominateur de H est de degré 2 en u, le numérateur de degré 0 : à haute fréquence |H| ≈ 1/u², soit 2 × 20 = 40 dB perdus par décade. La pente d'un diagramme de Bode se lit directement dans la différence des degrés. Et les deux méthodes de calcul de l'amplitude — la fraction rationnelle d'un côté, la simulation pas à pas de l'équation différentielle de l'autre — donnent le même nombre.

Signature · Padé, ou l'art d'approcher par des fractions

Question : pour imiter une fonction, vaut-il mieux un polynôme ou une fraction ? Le développement de Taylor approche f par un polynôme ; l'approximant de Padé [n/n] la remplace par une fraction P/Q, de degrés n sur n, dont le développement coïncide avec celui de f jusqu'au rang 2n. À budget égal — les mêmes 2n + 1 coefficients de Taylor —, la fraction gagne presque toujours, et parfois de façon spectaculaire. Les coefficients sont calculés ici en fractions exactes (entiers de taille illimitée), puis contrôlés par une formule indépendante.

fonction exacteTaylor (polynôme)Padé (fraction)point de mesure

x₀

Trois siècles de fractions

1702Leibniz et Jean Bernoulli montrent, chacun de son côté, comment intégrer une fraction rationnelle en la décomposant en éléments simples.

1761Lambert écrit tan x comme une fraction continue x/(1 − x²/(3 − x²/(5 − …))) et en déduit que π est irrationnel. Ses réduites sont des approximants de Padé avant la lettre.

1826Cauchy introduit le mot « résidu » : le coefficient a_k de la planche 2 deviendra l'outil central de l'analyse complexe.

1873Hermite démontre que e est transcendant en construisant des approximations rationnelles très fines de l'exponentielle.

1892Henri Padé, élève d'Hermite, soutient sa thèse sur les approximations d'une fonction par des fractions rationnelles et organise leur « table ».

1913Michaelis et Menten décrivent la vitesse des réactions enzymatiques par une fraction rationnelle simple, V·S/(K + S).

1940Hendrik Bode, aux laboratoires Bell, fait des fonctions de transfert rationnelles et de leurs diagrammes l'outil quotidien des ingénieurs.

Aujourd'huiLes bibliothèques de calcul de nos ordinateurs évaluent souvent exp, tan ou arctan à l'aide d'approximations rationnelles soigneusement optimisées.

En trois idées

Pôles et infini

Une fraction rationnelle est gouvernée par ses pôles (là où elle explose) et par son degré (comment elle se comporte au loin). La division euclidienne sépare ces deux rôles.

Démonter pour calculer

La décomposition en éléments simples ramène toute fraction à une somme d'hyperboles et de termes en arctangente : c'est elle qui rend toutes ces fractions intégrables.

Imiter le monde

Fonctions de transfert, lois de saturation, approximants de Padé : quelques coefficients suffisent pour décrire un filtre, une enzyme ou une fonction transcendante avec une grande précision.

Pour aller plus loin

Pôles multiples. Si r est racine double de Q, la décomposition contient deux termes a/(x − r) + b/(x − r)² ; la méthode du cache donne b, une dérivation donne a.

Facteurs irréductibles. Sur les réels, un facteur x² + sx + t sans racine réelle donne un terme (ax + b)/(x² + sx + t), qui s'intègre en un logarithme plus une arctangente (exemple B de la planche 3). Sur les complexes, tout redevient une somme d'hyperboles.

Résidus et analyse complexe. Le résidu de la planche 2 est le coefficient de 1/(x − r) dans le développement de F autour de r ; le théorème des résidus de Cauchy calcule avec lui des intégrales réelles redoutables.

Liens avec les autres pages du cahier. La transformée de Laplace transforme les équations différentielles linéaires en fractions rationnelles, que l'on décompose avant de revenir au temps ; les fractions continues et l'arbre de Stern-Brocot sont la version « nombres » des approximants de Padé.

Approximation minimax. Les approximants de Padé sont excellents près de 0 ; pour une erreur uniforme sur tout un intervalle, on leur préfère les approximations rationnelles « minimax » (algorithme de Remez), celles qu'utilisent les bibliothèques numériques.