Analyse

Les formules de Taylor et leurs applications

Remplacer une fonction compliquée par un polynôme, savoir de combien on se trompe, et s'en servir pour lever des limites, corriger la période d'un pendule ou programmer une calculatrice.

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L'idée en une phrase

Si l'on connaît en un point a la valeur d'une fonction, sa pente, sa courbure et ainsi de suite (ses dérivées successives), on peut fabriquer un polynôme qui lui ressemble de plus en plus près de a. C'est le polynôme de Taylor.

f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)2!(x − a)² + … + f(n)(a)n!(x − a)n + Rn(x)

Le polynôme est la partie connue ; Rn(x), le reste, est ce que l'on néglige. Toute la théorie consiste à dire quelque chose de ce reste : il est « petit devant (x − a)n » (forme de Taylor-Young), il vaut exactement f(n+1)(ξ)(n+1)!(x − a)n+1 pour un certain ξ entre a et x (forme de Lagrange), ou il s'écrit comme une intégrale (forme de Taylor avec reste intégral). Quand a = 0 on parle aussi de formule de Maclaurin et de développement limité (DL).

sin x polynôme de Taylor en 0, dont l'ordre monte tout seul : chaque nouveau terme recolle la courbe un peu plus loin.

Les développements à connaître (en a = 0)

FonctionDéveloppement limitéValable pour la série entière
ex1 + x + x²/2! + x³/3! + … + xn/n! + o(xn)tout x
sin xx − x³/3! + x⁵/5! − … + (−1)px2p+1/(2p+1)! + o(x2p+2)tout x
cos x1 − x²/2! + x⁴/4! − … + (−1)px2p/(2p)! + o(x2p+1)tout x
ln(1 + x)x − x²/2 + x³/3 − … + (−1)n+1xn/n + o(xn)−1 < x ≤ 1
(1 + x)α1 + αx + α(α−1)x²/2! + … + o(xn)|x| < 1
1/(1 − x)1 + x + x² + … + xn + o(xn)|x| < 1
arctan xx − x³/3 + x⁵/5 − … + o(x2p+2)|x| ≤ 1

Notation o(xn) : une quantité qui, divisée par xn, tend vers 0 quand x tend vers 0. Les sommes infinies correspondantes s'appellent des séries de Taylor ; la dernière colonne dit où elles convergent vers la fonction (planche 5).

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Épouser la courbe, un ordre après l'autre

Question : que gagne-t-on en ajoutant un terme ? À l'ordre 0, le polynôme est une constante (la valeur f(a)) ; à l'ordre 1, c'est la tangente ; à l'ordre 2, une parabole qui a aussi la bonne courbure. Chaque terme impose une dérivée de plus en commun avec f au point a.

fonction f polynôme de Taylor Tn tangente (ordre 1) écart en x. On peut faire glisser le point x sur la figure.
f(x) exacte
Tn(x)
écart |f(x) − Tn(x)|
contrôle c₁, c₂ (différences finies)
Ce que l'on voit. Près de a, le polynôme colle à la courbe d'autant mieux que l'ordre est grand ; loin de a, il finit toujours par s'en écarter. Le développement de Taylor est une information locale : il décrit la fonction au voisinage de a.
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Le reste de Lagrange : de combien se trompe-t-on ?

Question : peut-on garantir l'erreur sans connaître la réponse ? Oui. Lagrange (1797) a montré que le reste vaut exactement le terme suivant, à condition d'évaluer la dérivée en un point ξ inconnu situé entre a et x :

Rn(x) = f(x) − Tn(x) = f(n+1)(ξ)(n+1)! (x − a)n+1   donc   |Rn(x)| ≤ M(n+1)! |x − a|n+1

où M est le plus grand |f(n+1)| entre a et x. Conséquence pratique : diviser l'écart x − a par 10 divise l'erreur par 10n+1. Sur une échelle log-log, l'erreur est une droite de pente n + 1 ; la figure de droite la mesure.

reste Rn(t) en fonction de t enveloppe de Lagrange ± M|t − a|n+1/(n+1)! point ξ de Lagrange pour x
Échelle log-log : |Rn(a + h)| en fonction de h. mesures droite ajustée pente théorique
reste réel Rn(x)
borne de Lagrange
reste / borne (≤ 1)
ξ trouvé · θ = (ξ − a)/(x − a)
pente mesurée · attendue
R/hk à h petit · f(k)(a)/k!
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Lever les formes indéterminées

Question : que vaut (sin x − x)/x³ quand x tend vers 0 ? Numérateur et dénominateur tendent vers 0 : c'est une forme indéterminée 0/0. Le développement limité la résout en une ligne : sin x − x = −x³/6 + x⁵/120 − …, donc le quotient vaut −1/6 + x²/120 − … et tend vers −1/6. Bonus inattendu : la machine elle-même, qui calcule avec 16 chiffres, échoue sur la formule de départ quand x devient petit, alors que le DL reste exact.

quotient (valeur sûre) DL à deux termes limite
Erreur relative en fonction de x (deux axes logarithmiques). formule naïve calculée par la machine DL à deux termes
x
formule naïve
valeur sûre (série)
DL à deux termes
limite exacte
erreur naïve · erreur DL
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Le pendule et la correction de Borda

Question : pourquoi dit-on que la période d'un pendule ne dépend pas de l'amplitude ? Parce qu'on remplace sin θ par son DL à l'ordre 1, θ. L'équation θ″ = −ω₀² sin θ devient θ″ = −ω₀² θ, dont la période T₀ = 2π/ω₀ ne dépend pas de l'amplitude θ₀. C'est faux pour les grands angles. La vraie période s'exprime par une intégrale elliptique K, et son propre développement de Taylor donne la correction utilisée par Borda pour ses mesures de pesanteur :

T / T₀ = 2π K(sin θ₀2) = 1 + θ₀²16 + 11 θ₀⁴3072 + …
pendule réel (θ″ = −ω₀² sin θ, intégré par Runge-Kutta) pendule linéarisé (sin θ ≈ θ). Lâchés ensemble, ils se décalent.
T/T₀ selon l'amplitude. exact ordre 0 ordre 2 (Borda) ordre 4
T/T₀ exact (moyenne arithmético-géométrique)
contrôles : Simpson · Runge-Kutta
Borda 1 + θ₀²/16 · erreur
ordre 4 · erreur
erreur de Borda / θ₀⁴ (→ 11/3072)
retard du pendule réel
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Jusqu'où va la série ?

Si l'on garde tous les termes, on obtient une somme infinie, la série de Taylor. Trois surprises montrent qu'elle n'est pas toujours égale à la fonction, et comment on en tire parti malgré tout.

La fonction f(x) = 1/(1 + x²) est parfaitement lisse sur toute la droite réelle. Pourtant sa série de Taylor en a ne converge que pour |x − a| < √(1 + a²). La raison est hors de la droite : dans le plan complexe, f a deux points interdits (des pôles) en +i et −i, où 1 + z² s'annule. La série converge dans le plus grand disque centré en a qui évite ces pôles : son rayon est la distance de a à i.

Sur la droite réelle. f Tn bornes de l'intervalle de convergence
Dans le plan complexe. pôles ±i disque de convergence point x
rayon exact √(1 + a²)
rayon mesuré sur les coefficients
|x − a| · verdict
erreur |f(x) − Tn(x)|
À retenir. Le rayon de convergence d'une série de Taylor est la distance du centre à la singularité complexe la plus proche, même quand celle-ci est invisible sur la droite réelle. Le rayon est mesuré ici par la règle de Cauchy-Hadamard, R = 1 / lim sup |ck|1/k, appliquée aux coefficients calculés.

Cauchy (1823) a donné l'exemple qui a ruiné l'espoir que toute fonction lisse soit égale à sa série de Taylor : f(x) = e−1/x² (prolongée par f(0) = 0). Elle est si plate en 0 que toutes ses dérivées y sont nulles : sa série de Taylor en 0 est la série nulle, alors que f n'est nulle qu'en 0. En un point a ≠ 0, en revanche, la série converge, mais seulement sur un rayon |a| : la singularité est en 0.

f(x) = e−1/x² polynôme de Taylor en a disque de convergence |x − a| < |a|
f(x)/xk sur échelle logarithmique, pour k = 0, 5, 10, 20, 30 : quel que soit k (plus la courbe est foncée, plus k est grand), elle finit par plonger quand x → 0. f est plus petite que n'importe quelle puissance de x.
rayon attendu |a|
T₆₀ à R/2 du centre : écart relatif
f(x₀)
f(x₀)/x₀³⁰
T₆₀ à 1,2·R du centre : écart relatif
À retenir. « Infiniment dérivable » ne veut pas dire « égale à sa série de Taylor ». Les fonctions qui le sont s'appellent analytiques. Les fonctions plates comme celle de Cauchy servent pourtant tous les jours : elles permettent de fabriquer des « plateaux » lisses qui raccordent deux morceaux sans aucune cassure.

Comment une calculatrice obtient-elle sin(37) ? D'abord elle réduit l'argument : elle retranche un multiple de π/2 pour se ramener à un nombre r entre −π/4 et π/4, et note le quadrant. Ensuite elle évalue un polynôme de Taylor court en r. Le reste de Lagrange dit d'avance quel degré suffit : |r| ≤ π/4 et |sin(k)| ≤ 1, donc l'erreur est au plus (π/4)d+2/(d+2)! pour un polynôme de degré impair d.

La réduction d'argument sur le cercle : x (orange) est ramené à r (bleu) dans le secteur |r| ≤ π/4, puis le quadrant choisit entre ±sin r et ±cos r.
Erreur maximale sur [−π/4, π/4] selon le degré (log₁₀). mesurée borne de Lagrange précision machine
r · quadrant
sin x par Taylor
sin x de la machine
écart
borne de Lagrange au degré d
plus petit degré pour 10⁻¹⁶
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Une histoire en sept dates

vers 1400Mādhava de Sangamagrāma et l'école du Kerala obtiennent les séries de sin, cos et arctan, bien avant l'Europe.
1671James Gregory écrit à Collins plusieurs développements en série, dont celui de arctan, en utilisant de fait les dérivées successives.
1715Brook Taylor publie la formule générale dans Methodus incrementorum directa et inversa, en passant à la limite dans une formule de différences finies.
1742Colin Maclaurin popularise le cas a = 0 dans son Treatise of Fluxions : d'où le nom de « formule de Maclaurin ».
1797Lagrange, dans la Théorie des fonctions analytiques, donne l'expression du reste avec un point intermédiaire ξ : la première garantie d'erreur.
1823Cauchy, dans son Résumé des leçons à l'École polytechnique, exhibe e−1/x² : une fonction lisse qui n'est pas égale à sa série.
XXᵉ s.La forme « reste négligeable » o((x − a)n), dite de Taylor-Young, devient l'outil standard du calcul des limites ; les bibliothèques mathématiques des ordinateurs calculent sin, exp ou log par réduction d'argument et polynômes courts.
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Synthèse

Approcher

Le polynôme de Taylor d'ordre n partage avec f sa valeur et ses n premières dérivées en a. C'est la meilleure approximation polynomiale locale.

Garantir

Le reste de Lagrange borne l'erreur par M|x − a|n+1/(n+1)! : l'erreur se comporte comme une puissance n + 1 de l'écart, ce qu'on mesure en log-log.

S'en servir

Lever les formes 0/0, corriger une loi physique linéarisée, programmer les fonctions usuelles… mais la série infinie ne converge que dans un disque, et parfois vers autre chose que f.

Pour aller plus loin

Les trois formes du reste. Taylor-Young : Rn(x) = o((x − a)n), il suffit que f(n)(a) existe. Lagrange : Rn(x) = f(n+1)(ξ)(x − a)n+1/(n+1)!, pour f réelle n + 1 fois dérivable. Reste intégral : Rn(x) = ∫ax f(n+1)(t)(x − t)n/n! dt, la plus précise, d'où l'on déduit les deux autres.

Plusieurs variables. f(a + h) ≈ f(a) + ∇f(a)·h + ½ hᵀH(a)h, où H est la matrice hessienne : c'est ce développement qui permet de dire si un point critique est un minimum, un maximum ou un col.

Méthodes numériques. Les schémas de différences finies, la méthode de Newton, les méthodes de Runge-Kutta pour les équations différentielles sont tous construits et analysés en comparant des développements de Taylor.

Au-delà de Taylor. Le polynôme de Taylor est excellent près de a mais médiocre sur tout un intervalle ; pour une erreur uniforme on lui préfère les polynômes de Tchebychev (meilleure approximation minimax), et pour les fonctions à pôles, les approximants de Padé (fractions rationnelles).