Une matrice ne sert pas seulement à transformer des vecteurs : elle peut aussi les comparer. Le produit scalaire, l'aire d'un parallélogramme, l'énergie, la variance, la nature d'un sommet ou d'un col, l'intervalle de l'espace-temps : ce sont toutes des formes bilinéaires ou quadratiques. Cinq planches pour les voir, les réduire et s'en servir.
En une phrase
Une forme bilinéaire prend deux vecteurs et rend un nombre, en étant linéaire par rapport à chacun d'eux ; une forme quadratique s'obtient en donnant deux fois le même vecteur. En dimension 2, tout se résume à un tableau de quatre nombres, et toute forme quadratique s'écrit q(x, y) = a x² + 2b x y + c y².
Objet
Formule
Ce qu'il fait
Planche
Forme bilinéaire
b(x, y) = xᵀM y
une « interaction » entre deux vecteurs, linéaire en chacun
1
Forme quadratique
q(x) = b(x, x) = xᵀS x
un « carré généralisé » d'un seul vecteur ; S est la partie symétrique de M
2
Polarisation
b(x, y) = ½[q(x+y) − q(x) − q(y)]
retrouver la forme bilinéaire symétrique à partir de q
2
Réduction
q = λ₁X² + λ₂Y²
la même forme lue dans un repère où les termes croisés disparaissent
3
Signature
(p, n)
nombre de carrés positifs et négatifs : il ne dépend pas du repère choisi
3, 4, 5
Animation : la forme x² + 2βxy + y², β variant de −1,8 à 1,8. Courbes de niveau q = 1 et q = −1. Tant que Δ = 1 − β² est positif, la courbe q = 1 est une ellipse ; à Δ = 0 elle se casse en deux droites parallèles ; au-delà elle devient une hyperbole.
1
La forme bilinéaire : une matrice qui compare deux vecteurs
L'idée : on se donne une matrice M et deux vecteurs u et v. On fabrique un nombre en multipliant chaque composante de u par chaque composante de v et par le coefficient de M placé au croisement. Quand M est l'identité, on retrouve exactement le produit scalaire.
b(u, v) = uᵀM v = m₁₁u₁v₁ + m₁₂u₁v₂ + m₂₁u₂v₁ + m₂₂u₂v₂ = u · (M v)
Bilinéaire veut dire : si l'on gèle v, l'application u ↦ b(u, v) est linéaire (doubler u double le résultat, additionner deux vecteurs additionne les résultats) ; et de même si l'on gèle u. En revanche, doubler les deux vecteurs multiplie le résultat par quatre.
Déplacez les pointes de u et de v. En violet, le vecteur Mv ; le trait rouge est la projection de u sur Mv : b(u, v) = (longueur signée du trait rouge) × ‖Mv‖. Le parallélogramme ocre a pour aire |det(u, v)|.En haut, les quatre produits uᵢ mᵢⱼ vⱼ dont la somme fait b(u, v) (bleu : positif, rouge : négatif). En bas, en fonction de λ : b(λu, v) est une droite passant par 0, b(λu, λv) une parabole : la forme quadratique naît ici.
b(u, v) = uᵀMv—
‖Mv‖ × projection de u sur Mv (géométrie)—
Partie symétrique b_S(u, v)—
Partie antisymétrique b_A(u, v)—
½(m₁₂ − m₂₁) · det(u, v) − b_A(u, v)—
b(v, u) (on échange les vecteurs)—
Défaut de linéarité de λ ↦ b(λu, v) (différence seconde maximale)—
b(2u, 2v) ÷ b(u, v)—
À retenir. Toute matrice se coupe en deux : M = S + A, avec S = (M + Mᵀ)/2 symétrique et A = (M − Mᵀ)/2 antisymétrique. La partie symétrique donne une forme qui ne dépend pas de l'ordre des vecteurs (c'est la famille du produit scalaire) ; la partie antisymétrique n'est rien d'autre qu'un multiple de l'aire signée det(u, v), et elle change de signe quand on échange u et v. Essayez le préréglage « Aire » : b(u, u) y vaut toujours 0.
2
La forme quadratique : donner deux fois le même vecteur
L'idée : si l'on remplace v par u, la forme bilinéaire devient une fonction d'un seul vecteur, q(u) = b(u, u). C'est un polynôme homogène de degré 2 : q(λu) = λ²q(u). La partie antisymétrique disparaît (une aire det(u, u) est nulle), si bien que seule compte la matrice symétrique S.
q(x, y) = a x² + 2b x y + c y² = (xy) (ab ; bc) (xy)ᵀ
Le « 2 » devant b vient de ce que le terme croisé est partagé entre les deux cases hors diagonale de S. Le nombre Δ = ac − b², déterminant de S, décide de tout : Δ > 0 et a > 0, la forme est définie positive (strictement positive hors de l'origine, comme x² + y²) ; Δ < 0, elle est indéfinie (elle prend les deux signes, comme x² − y²) ; Δ = 0, elle est dégénérée (il existe une direction où elle s'annule).
Le plan colorié par le signe de q (bleu > 0, rouge < 0) avec les courbes de niveau q = 1 et q = −1 en gras, ±0,5, ±2, ±4 en fin, et q = 0 en pointillé. Déplacez u et v ; le point gris est u + v.Le graphe z = q(x, y), à faire tourner au doigt ou à la souris : une cuvette (définie positive), un dôme (définie négative), une selle de cheval (indéfinie), une gouttière (dégénérée). Le trait épais bleu est la coupe à la hauteur 1.
q(u)—
q(v)—
Δ = ac − b² et nature—
Polarisation ½[q(u+v) − q(u) − q(v)]—
Calcul direct uᵀSv · écart—
q(2u) ÷ q(u)—
Avec M de la planche 1 : uᵀMu − uᵀSu—
Polarisation. Connaître q, c'est connaître la forme bilinéaire symétrique associée, grâce à l'identité b(u, v) = ½[q(u+v) − q(u) − q(v)] : c'est exactement ainsi qu'on retrouve le produit scalaire à partir des longueurs (Al-Kashi). Mais on ne peut pas retrouver la partie antisymétrique : deux matrices qui ne diffèrent que par elle donnent la même forme quadratique. Appuyez sur « Balayer b » : quand |b| dépasse √(ac), l'ellipse s'ouvre en hyperbole et la cuvette devient une selle.
3
Réduire : faire disparaître le terme croisé
L'idée : le terme 2bxy est ce qui rend la forme difficile à lire. En changeant de repère, on peut le faire disparaître et écrire q comme une simple somme de carrés pondérés. Il y a deux façons classiques de le faire, qui ne donnent pas les mêmes coefficients… mais toujours les mêmes signes.
Méthode 1 : tourner les axes (diagonalisation orthogonale)
Dans un repère tourné d'un angle θ, la forme garde l'allure a′X² + 2b′XY + c′Y², avec un terme croisé b′(θ) = ½(c − a) sin 2θ + b cos 2θ. Il suffit de trouver l'angle où b′ s'annule : les nouveaux axes sont alors les axes de symétrie de la conique, et a′, c′ sont les valeurs propres de S.
Méthode 2 : compléter le carré (réduction de Gauss)
Si a ≠ 0, on écrit ax² + 2bxy = a(x + by/a)² − b²y²/a, ce qui donne q = a(x + by/a)² + (Δ/a)y². Aucun calcul de racine : seulement des divisions. Le prix à payer est que le repère correspondant est oblique.
Courbes q = 1 et q = −1. En orange, le repère tourné d'angle θ ; il passe au vert quand le terme croisé est annulé. En violet, le repère oblique de Gauss, dont le second axe suit (−b/a, 1).Les trois coefficients en fonction de θ : a′(θ), c′(θ) et le terme croisé b′(θ). La dichotomie resserre l'intervalle (bande grise) autour de son zéro ; en ce point a′ et c′ sont extrêmes.
Contrôle de Gauss : max |q − forme réduite| sur 1000 points—
Signature (p, n) : rotation / Gauss—
Loi d'inertie de Sylvester (1852). Quelle que soit la façon de réduire q en somme de carrés indépendants, le nombre de coefficients positifs et le nombre de coefficients négatifs sont toujours les mêmes. Ici, la rotation donne les valeurs propres, Gauss donne a et Δ/a : des nombres différents, mais le produit des deux coefficients a toujours le signe de Δ et la signature coïncide. C'est pour cela que « définie positive » ou « indéfinie » est une propriété de la forme, et non du repère.
4
Application : la hessienne et la nature d'un point critique
L'idée : près d'un point où le gradient d'une fonction f(x, y) s'annule (un point critique), le terme du premier ordre de Taylor disparaît, et f se comporte comme une forme quadratique : la hessienne, matrice des dérivées secondes. Sa signature dit si l'on est au fond d'une cuvette, au sommet d'un dôme ou sur un col.
f(p + h) − f(p) = ½ hᵀH h + reste, H = (fₓₓ fₓᵧ ; fₓᵧ fᵧᵧ )
Règle de Lagrange (1759) : det H > 0 et fₓₓ > 0 donnent un minimum local, det H > 0 et fₓₓ < 0 un maximum, det H < 0 un col. Si det H = 0, la forme est dégénérée et la règle se tait : c'est le reste, d'ordre plus élevé, qui décide.
Courbes de niveau de f ; le plan est colorié en bleu là où f dépasse sa valeur au point critique choisi et en rouge là où elle est inférieure. Touchez un point critique pour le choisir. Le cercle orange a le rayon r.Sur le cercle de rayon r, en fonction de l'angle φ : la vraie variation f(p + h) − f(p), la forme quadratique ½hᵀHh et le reste. Réduisez r : le reste s'efface plus vite que la forme.
Point critique p et f(p)—
Hessienne exacte (fₓₓ ; fₓᵧ ; fᵧᵧ)—
Écart avec les différences finies centrées—
det H, trace H—
Verdict de la hessienne—
Verdict mesuré sur le cercle (min et max de f(p+h) − f(p))—
Ordre du reste mesuré : log₂(R(r) / R(r/2))—
Ce que dit la mesure. L'ordre du reste vaut 3 quand f a des termes cubiques au point critique (x³ + y³ − 3xy le donne à 3,000000, parce que son reste est exactement cubique), et 4 quand elle n'en a pas (cos x + cos y, ou l'origine de x⁴ − 2x² + y²). Dans les deux cas, pour r assez petit, la forme quadratique l'emporte : sa signature décide. Avec x² + y⁴ et x² − y⁴, la hessienne est la même, (2 ; 0 ; 0), de déterminant nul : un minimum et un col qu'elle ne sait pas distinguer.
5
Signature : mesurer avec une forme quadratique
Une forme quadratique définie positive est une manière de mesurer des longueurs ; une forme indéfinie aussi, mais d'un genre étrange. Trois usages où la forme est l'objet central : chercher la direction où elle est la plus grande, lire la dispersion d'un nuage de points, mesurer l'intervalle entre deux événements de l'espace-temps.
Sur le cercle unité, q varie entre deux valeurs extrêmes. Le théorème spectral annonce que ce sont exactement les deux valeurs propres, atteintes dans deux directions perpendiculaires. On ne le suppose pas : on cherche le maximum et le minimum à l'aveugle, par la méthode de la section dorée, puis on compare. Au maximum, le gradient de q, qui vaut 2Sx, doit être dirigé selon le rayon (condition de Lagrange).
Le cercle unité, la courbe q = λ_max qui le touche aux deux points de maximum et la courbe q = λ_min qui le touche aux deux points de minimum. Le point mobile porte le vecteur Sx, qui n'est radial qu'en ces quatre points.q(cos θ, sin θ) pour θ de 0 à 360° : une sinusoïde de période 180°, de moyenne (a + c)/2. Les pointillés marquent les extrêmes trouvés par la section dorée.
λ_max par section dorée—
λ_max valeur propre (formule) · écart—
λ_min par section dorée—
λ_min valeur propre (formule) · écart—
Lagrange : det(x*, Sx*) au maximum (limité par la précision de l'angle d'un maximum plat)—
Angle entre les directions du max et du min—
Pour un nuage de points centré, la variance des projections sur une direction unitaire u vaut uᵀΣu, où Σ est la matrice de covariance : la dispersion d'un nuage est une forme quadratique définie positive. On le vérifie point par point : variance calculée directement sur les projections contre la formule. L'ellipse de covariance est l'ensemble des x tels que xᵀΣ⁻¹x = 1 ; sa demi-largeur dans la direction u vaut exactement √(uᵀΣu), l'écart-type.
Le nuage tiré au hasard, l'ellipse de la covariance vraie (pointillé) et celle de la covariance empirique. La direction u tourne ; les deux droites orange, à la distance √(uᵀΣ̂u) du centre, touchent l'ellipse empirique.Variance des projections en fonction de la direction : points calculés directement sur le nuage, courbeuᵀΣ̂u, pointilléuᵀΣu de la loi qui a produit le nuage.
Variance directe des projections sur u—
uᵀΣ̂u · écart maximal sur 180 directions—
Plus grande variance : empirique λ̂₁ / vraie λ₁ − 1 · fluctuation attendue ±√(2/n)—
Demi-largeur de l'ellipse (géométrie) − √(uᵀΣ̂u)—
Axe principal : empirique / vrai—
En relativité restreinte, deux événements séparés par une durée t et une distance x (en unités où c = 1) ont un intervalles² = t² − x² : une forme quadratique indéfinie, de signature (1, 1). Un changement d'observateur (une transformation de Lorentz, ou « boost », de rapidité φ) déplace chaque événement le long de son hyperbole t² − x² = constante, exactement comme une rotation déplace un point le long de son cercle x² + y² = constante. La forme est conservée ; la distance euclidienne, elle, ne l'est pas.
Axe horizontal x, axe vertical t. Cinq événements (pleins) et leurs positions d'origine (creux), avec leurs hyperboles. Le cône de lumière t = ±x en pointillé ; les axes du nouvel observateur en orange.Pour chaque événement : intervalle s² avant et après le boost (barres jointives), et distance euclidienne avant/après. Les intervalles ne bougent pas ; les distances changent.
Vitesse relative v/c = th φ ; facteur γ = ch φ—
max |s² après − s² avant| sur les cinq événements—
max |distance euclidienne après − avant|—
Temps propre de A, √s², avant / après—
Événement C sur le cône : s² après—
Trois signatures, trois mondes. Signature (2, 0) : la forme mesure des longueurs, et sa plus grande valeur sur le cercle est la plus grande valeur propre — c'est le principe de l'analyse en composantes principales, où l'axe principal est la direction de plus grande variance. Signature (1, 1) : la forme sépare les vecteurs en trois familles (s² > 0, < 0 ou = 0 sur le cône), et ces familles ne changent jamais d'un observateur à l'autre. Ce n'est pas la valeur des coefficients qui compte, c'est leur signe.
Repères historiques
1759Lagrange, dans ses recherches sur les maxima et minima, examine le signe des termes du second ordre : c'est la règle de la hessienne de la planche 4.
1773Lagrange étudie les formes binaires entières ax² + bxy + cy² et la façon dont un changement de variables les transforme.
1801Gauss consacre une grande partie de ses Disquisitiones arithmeticae aux formes quadratiques binaires à coefficients entiers et à leur classification ; le déterminant b² − ac y joue déjà le premier rôle.
1829Cauchy démontre que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles : les axes principaux des coniques et des quadriques existent toujours (planche 3).
1852Sylvester énonce la loi d'inertie : la signature d'une forme réelle ne dépend pas de la réduction choisie (Jacobi l'avait obtenue de son côté, publiée après sa mort).
1855Hermite introduit les formes à coefficients complexes qui portent son nom, cadre naturel de la mécanique quantique.
1877Rayleigh, dans sa Théorie du son, utilise le quotient xᵀSx / xᵀx pour estimer les fréquences de vibration (planche 5).
1908Minkowski présente l'espace-temps comme un espace muni d'une forme quadratique indéfinie (planche 5).
Synthèse
Une matrice, deux vecteurs, un nombre
Une forme bilinéaire en dimension finie, c'est une matrice M : b(u, v) = uᵀMv. Sa partie symétrique est de la famille du produit scalaire, sa partie antisymétrique mesure une aire.
La forme quadratique ne voit que S
q(x) = xᵀSx, et la polarisation redonne la forme bilinéaire symétrique. Le signe de Δ = det S classe les formes : définie, indéfinie, dégénérée.
La signature est invariante
Réduire, c'est écrire q comme une somme de carrés. Les coefficients dépendent de la méthode, pas leurs signes : c'est la signature qui décide d'un minimum, d'un col, d'une longueur ou d'un intervalle d'espace-temps.
Pour aller plus loin
En dimension n. Tout reste vrai : q(x) = xᵀSx avec S symétrique n × n, réduite par rotation en λ₁X₁² + … + λₙXₙ². Le critère de Sylvester dit que q est définie positive si et seulement si tous les mineurs principaux en haut à gauche de S sont positifs ; en dimension 2, ce sont a et Δ, exactement les deux coefficients de Gauss.
Coniques et quadriques. La courbe q(x, y) = 1 est une ellipse, une hyperbole ou deux droites selon la signature ; en dimension 3, q = 1 donne les ellipsoïdes et les hyperboloïdes à une ou deux nappes.
Moindres carrés. Minimiser ‖Ax − y‖² revient à minimiser une forme quadratique en x (plus des termes linéaires) dont la matrice est AᵀA : d'où les équations normales AᵀAx = Aᵀy.
Énergie. L'énergie cinétique ½vᵀMv d'un système mécanique et l'énergie élastique ½xᵀKx sont des formes quadratiques définies positives ; les modes propres de vibration s'obtiennent en réduisant les deux formes simultanément.
Arithmétique. Quels entiers s'écrivent x² + y² ? x² + 2y² ? C'est la théorie des formes quadratiques entières de Lagrange et Gauss, qui mène à la théorie algébrique des nombres.