Analyse

Les fonctions hyperboliques

ch, sh et th : les cousins de cos, sin et tan, nés de l'exponentielle et dessinés sur une hyperbole au lieu d'un cercle. On les retrouve dans la chaîne qui pend, dans la carte de Mercator et dans les vitesses de la relativité.

L'idée en une phrase

Le cosinus et le sinus repèrent un point qui tourne sur le cercle x² + y² = 1 ; le cosinus hyperbolique (noté ch) et le sinus hyperbolique (noté sh) repèrent un point qui glisse sur l'hyperbole x² − y² = 1. Presque toutes les formules se correspondent, à un signe près — et ce signe change tout : les fonctions circulaires tournent en rond, les fonctions hyperboliques s'envolent comme l'exponentielle.

	Fonctions circulaires	Fonctions hyperboliques
Courbe	cercle x² + y² = 1	hyperbole x² − y² = 1
Point courant	(cos t ; sin t)	(ch t ; sh t)
Sens de t	double de l'aire du secteur balayé	double de l'aire du secteur balayé
Identité de base	cos² t + sin² t = 1	ch² t − sh² t = 1
Par l'exponentielle	cos t = (e^it + e^−it)/2	ch t = (e^t + e^−t)/2
Dérivées	cos′ = −sin, sin′ = cos	ch′ = sh, sh′ = ch
Équation	y″ = −y (oscillation)	y″ = y (croissance ou décroissance)
Allure	périodiques, bornées	non périodiques, croissance exponentielle

Deux moitiés d'exponentielle

D'où sortent ch et sh ? Toute fonction se coupe en une partie paire (symétrique par rapport à l'axe vertical : f(−x) = f(x)) et une partie impaire (symétrique par rapport à l'origine : f(−x) = −f(x)). Pour l'exponentielle, la partie paire est le cosinus hyperbolique, la partie impaire le sinus hyperbolique, et leur quotient la tangente hyperbolique.

ch x = (e^x + e^−x)/2 · sh x = (e^x − e^−x)/2 · th x = sh x / ch x · ch x + sh x = e^x

ch xsh xth xe^x/2 et e^−x/2

ch est la moyenne de e^x et e^−x : sa courbe passe au-dessus des deux demi-exponentielles. sh en est la demi-différence. Pour x grand, e^−x devient négligeable et ch, sh se confondent avec e^x/2.

x0,80

afficher th x et ses asymptotes y = ±1

ch x—

sh x—

th x (toujours entre −1 et 1)—

e^x − (ch x + sh x)—

ch² x − sh² x − 1—

même calcul, mais à x = 20 (naïf)—

À retenir. ch est paire, sh et th sont impaires, et ch² − sh² = 1 pour tout x : c'est (ch − sh)(ch + sh) = e^−x · e^x. Mais à x = 20, la machine soustrait deux nombres d'environ 6·10¹⁶ presque égaux et le résultat affiché (fiche rouge) n'a plus aucun sens : l'identité est vraie, le calcul naïf ne l'est plus. Il faut alors calculer sous la forme e^−x · e^x.

Pourquoi « hyperbolique » ?

Que mesure la variable t ? Sur le cercle unité, t n'est pas seulement un angle : c'est aussi le double de l'aire du secteur balayé depuis le point (1 ; 0). Faisons la même chose sur l'hyperbole x² − y² = 1 : le point qui a balayé une aire t/2 a pour coordonnées exactement (ch t ; sh t). D'où le nom.

Vert : cercle et secteur circulaire ; bleu : branche d'hyperbole et secteur hyperbolique ; pointillés gris : asymptotes y = ±x, que l'hyperbole approche sans jamais les toucher.

t0,900

M = (ch t ; sh t)—

x² − y² au point M (doit valoir 1)—

aire du secteur hyperbolique, polygone à 200 côtés—

t / 2 (valeur exacte)—

écart polygone − t/2—

rapport des écarts 100 côtés / 200 côtés—

secteur circulaire (polygone 200) − t/2—

À retenir. L'aire est mesurée ici sans aucune formule, en découpant le secteur en triangles, et elle tombe sur t/2. L'écart restant vient seulement des cordes qui coupent l'arc ; il est divisé par 4 quand on double le nombre de côtés (rapport lu ci-dessus), donc il disparaît à la limite. Le paramètre t est le même « double d'aire » pour le cercle et pour l'hyperbole.

La dérivée qui se recopie

Que vaut la pente de ch ? En dérivant (e^x + e^−x)/2, on obtient (e^x − e^−x)/2 : la pente de ch est sh, et la pente de sh est ch. Dériver deux fois ramène donc la fonction elle-même : ch et sh sont solutions de l'équation différentielle y″ = y, quand cos et sin sont solutions de y″ = −y.

Rouge : tangente à ch au point d'abscisse x₀, de pente sh x₀. Orange : la corde entre x₀ − h et x₀ + h. Quand h diminue, la corde se couche sur la tangente.

x₀1,20

pas h0,1

pente de la corde : [ch(x₀+h) − ch(x₀−h)] / 2h—

pente de la tangente : sh x₀—

écart corde − tangente—

écart / h² mesuré—

prévision de Taylor : sh x₀ / 6—

corde de sh − ch x₀ (sh′ = ch)—

Plan de phase : chaque point est un couple (y ; y′). Partant de (1 ; 0), l'équation y″ = −y fait tourner le point sur le cercle (vert), l'équation y″ = y le fait glisser sur l'hyperbole (bleu). Les deux trajectoires sont calculées pas à pas par Runge-Kutta d'ordre 4, sans utiliser ni cos ni ch.

t = 0

y(t) calculé − ch t—

invariant y² − y′² − 1 (hyperbole)—

invariant y² + y′² − 1 (cercle)—

À retenir. L'écart entre la corde et la tangente, divisé par h², se stabilise sur sh x₀ / 6, exactement comme le prévoit le développement de Taylor (la dérivée troisième de ch est sh). Et dans le plan de phase, la seule différence entre y″ = −y et y″ = y est un signe : il suffit à transformer le cercle en hyperbole, l'oscillation en fuite.

La chaînette

Quelle forme prend une chaîne suspendue par ses deux bouts ? Galilée pensait à une parabole ; en 1691, Leibniz, Huygens et Jean Bernoulli montrent que c'est la courbe y = a·ch(x/a), appelée chaînette. La raison : la tension horizontale est la même tout le long de la chaîne, et chaque morceau doit porter son propre poids, ce qui donne l'équation a·y″ = √(1 + y′²) — dont ch est la solution.

chaînette a·ch(x/a)parabole de même flèchechaîne simulée (48 maillons)

La chaîne simulée part en V, tombe sous son poids, oscille puis s'immobilise. Aucune fonction hyperbolique n'est utilisée dans la simulation : seulement la pesanteur et des maillons de longueur fixe.

flèche0,60

—

paramètre a (trouvé par dichotomie)—

contrôle a(ch(1/a) − 1) − flèche—

longueur exacte 2a·sh(1/a)—

longueur par 1000 segments − exacte—

longueur de la parabole de même flèche—

plus grand écart vertical chaînette / parabole—

équation a·y″ − √(1+y′²) en x = 0,5—

plus grand écart chaîne simulée / chaînette—

À retenir. Pour une petite flèche, parabole et chaînette se confondent presque (Galilée n'avait pas tort à l'œil nu) ; quand la flèche grandit, l'écart devient flagrant. La chaîne simulée, qui ne « connaît » que la pesanteur, vient se poser sur la courbe en ch, pas sur la parabole. Retournée, la chaînette donne l'arc qui ne travaille qu'en compression.

Trois ponts entre cercle et hyperbole

Le cercle et l'hyperbole sont-ils vraiment cousins ? Oui, et de trois façons : une règle qui traduit toute formule de trigonométrie en formule hyperbolique ; une fonction, la gudermannienne, qui relie directement angle et paramètre hyperbolique — c'est elle qui fabrique la carte de Mercator ; et la relativité, où changer de vitesse revient à « tourner » sur une hyperbole.

Pour passer d'une formule circulaire à sa jumelle hyperbolique, on remplace cos par ch, sin par sh, et on change le signe de tout produit de deux sinus (sin², sin a·sin b, et aussi tan a·tan b, puisque tan = sin/cos). La raison profonde : ch x = cos(ix) et sh x = −i·sin(ix), et i² = −1 fait basculer le signe à chaque produit de deux sinus. Choisissez une formule : la transcription naïve est fausse, la version d'Osborn est juste.

formule

b0,60

formule circulaire (vraie)—

transcription naïve (fausse)—

règle d'Osborn (vraie)—

membre de gauche, en fonction de amembre de droite d'Osbornmembre de droite naïf

version circulaire : plus grand écart sur 2000 tirages—

règle d'Osborn : plus grand écart sur 2000 tirages—

transcription naïve : écart en a = 1—

À retenir. Les tirages couvrent a et b entre −2 et 2 ; l'écart d'Osborn reste au niveau des arrondis de la machine (écart relatif), quand la transcription naïve se trompe franchement. Retenir cette règle évite d'apprendre deux formulaires.

Sur la carte de Mercator, un parallèle de latitude φ est placé à la hauteur y = ∫₀^φ dθ / cos θ, pour que les angles soient respectés (une route à cap constant devient une droite). Cette intégrale se calcule, et sa valeur est hyperbolique : y = argth(sin φ) = argsh(tan φ) = ln tan(π/4 + φ/2). Dans l'autre sens, φ = gd(y) = arctan(sh y) : c'est la gudermannienne, qui fait passer du paramètre hyperbolique à l'angle sans passer par les nombres complexes.

latitude φ48,85°

À gauche : hauteur Mercator y en fonction de la latitude (bleu), comparée à une carte où les parallèles seraient régulièrement espacés (gris). À droite : les parallèles de 10° en 10° sur chacune des deux cartes, à la même échelle ; en rouge, la latitude choisie.

∫ dθ/cos θ par Simpson (2000 pas)—

argth(sin φ)—

plus grand écart entre les quatre calculs—

agrandissement de la carte : 1/cos φ—

ch y − 1/cos φ—

gd(y) − φ (retour à l'angle)—

À retenir. La quantité ch y donne exactement le facteur d'agrandissement de la carte à la latitude φ : c'est pourquoi le Groenland y paraît si grand. Mercator publia sa carte en 1569, un siècle avant que l'on sache calculer cette intégrale.

En relativité, les vitesses (mesurées en fraction de la vitesse de la lumière c) ne s'additionnent pas : deux vitesses v₁ et v₂ se composent en w = (v₁ + v₂)/(1 + v₁v₂). Posons v = th φ ; le nombre φ s'appelle la rapidité. La formule d'Einstein est alors exactement la formule d'addition th(φ₁ + φ₂) — les rapidités, elles, s'additionnent. Sur le diagramme d'espace-temps, changer de vitesse fait glisser le point (sh φ ; ch φ) le long de l'hyperbole ct² − x² = 1, d'un secteur d'aire égale à la moitié de la rapidité ajoutée.

Axes : x horizontal, ct vertical. Pointillés gris : trajets de la lumière. Bleu : premier changement de vitesse ; violet : second. Points orange : n changements successifs de vitesse v₁, régulièrement espacés en rapidité.

v₁ / c0,50

v₂ / c0,50

addition de Galilée v₁ + v₂ (fausse)—

formule d'Einstein w—

th(φ₁ + φ₂) − w—

aire du secteur ajouté (polygone) − φ₂/2—

vitesse après n changements v₁ : th(n·φ₁)—

composition pas à pas − th(n·φ₁)—

1 − vₙ par la composition pas à pas—

1 − vₙ = 2/(e^2nφ₁ + 1), forme stable—

À retenir. La rapidité grandit sans limite, la vitesse th φ reste toujours sous 1 : on n'atteint jamais c. Pour v₁ = 0,99 et n grand, la composition pas à pas finit par répondre « 1 − vₙ = 0 », alors que la forme hyperbolique donne encore l'écart véritable : les deux fiches du bas montrent la même quantité, une seule est juste.

Repères historiques

1569Gerardus Mercator publie sa carte à latitudes croissantes, construite pour que les routes à cap constant soient des droites.
1599Edward Wright calcule les hauteurs des parallèles en additionnant pas à pas les valeurs de 1/cos φ : une intégrale avant la lettre.
1638Galilée, dans ses Discours, compare la chaîne pendante à une parabole.
1668James Gregory démontre que l'intégrale de 1/cos est ln tan(π/4 + φ/2), ce qu'Henry Bond avait remarqué sur les tables.
1691Leibniz, Huygens et Jean Bernoulli trouvent l'équation de la chaînette, en réponse au défi lancé par Jacques Bernoulli.
1757Vincenzo Riccati introduit les fonctions hyperboliques à partir de l'hyperbole, avec les notations Sh et Ch.
1768Jean-Henri Lambert les étudie systématiquement et développe leur parallèle avec la trigonométrie.
1830Christoph Gudermann publie ses travaux sur ces fonctions ; Cayley donnera son nom à la gudermannienne.
1902George Osborn énonce la règle mnémotechnique du changement de signe des produits de deux sinus.
1908Hermann Minkowski présente l'espace-temps, où le changement de vitesse est une rotation hyperbolique ; le mot « rapidité » suit en 1911 (Alfred Robb).

Synthèse

Nées de l'exponentielle

ch et sh sont les parties paire et impaire de e^x ; th = sh/ch reste entre −1 et 1. Leurs dérivées se recopient : ch′ = sh, sh′ = ch, d'où y″ = y.

Dessinées sur l'hyperbole

Le point (ch t ; sh t) parcourt l'hyperbole x² − y² = 1 en balayant une aire t/2, comme (cos t ; sin t) sur le cercle. D'où ch² − sh² = 1 et la règle d'Osborn.

Présentes dans le monde

La chaîne pendante, la hauteur des parallèles sur la carte de Mercator et la composition des vitesses en relativité sont toutes écrites en fonctions hyperboliques.

Pour aller plus loin

Fonctions réciproques. Parce que sh et th sont strictement croissantes, elles ont des réciproques, qui s'écrivent avec le logarithme : argsh x = ln(x + √(x² + 1)) ; argch x = ln(x + √(x² − 1)) pour x ≥ 1 ; argth x = ½ ln((1 + x)/(1 − x)) pour −1 < x < 1.

Primitives utiles. Une primitive de 1/√(1 + x²) est argsh x, une primitive de 1/(1 − x²) sur ]−1 ; 1[ est argth x. C'est par elles que les fonctions hyperboliques apparaissent dans les calculs d'intégrales.

Développements en série. ch x = 1 + x²/2! + x⁴/4! + … et sh x = x + x³/3! + x⁵/5! + … : ce sont les séries de cos et sin, sans l'alternance des signes.

Lien avec les nombres complexes. ch x = cos(ix) et sh x = −i·sin(ix) ; inversement cos x = ch(ix). Les deux familles ne sont qu'une seule fonction, l'exponentielle complexe, regardée sur l'axe réel ou sur l'axe imaginaire.

Pages voisines du cahier. Les fonctions exponentielles, les logarithmes, les fonctions circulaires et les fonctions réciproques.