Une équation qu'un enfant comprend, une note dans une marge en 1637, trois siècles et demi d'échecs, et une démonstration venue d'un tout autre monde : celui des courbes elliptiques et des formes modulaires, achevée par Andrew Wiles en 1994.
xⁿ + yⁿ = zⁿ
L'énoncé. Pour n = 2, l'équation a une infinité de solutions en nombres entiers positifs : 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13²… ce sont les côtés des triangles rectangles à côtés entiers. Pour n ≥ 3, Pierre de Fermat affirme qu'il n'y en a aucune. Vers 1637, en lisant l'Arithmétique de Diophante, il écrit dans la marge :
« Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere ; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. »
« Il est impossible de partager un cube en deux cubes, une puissance quatrième en deux puissances quatrièmes, et en général aucune puissance au-delà du carré en deux puissances de même degré ; j'en ai découvert une démonstration vraiment merveilleuse, que cette marge est trop étroite pour contenir. » La note ne fut publiée par son fils qu'en 1670. Personne n'a jamais retrouvé cette démonstration, et les mathématiciens pensent aujourd'hui qu'il n'en avait pas de complète.
Le chemin de la preuve, en une ligne
Supposonsune solution aᵖ + bᵖ = cᵖ, avec p premier ≥ 5.
Frey (1984)On en fabrique une courbe elliptique très étrange (planche 5).
Wiles (1994)Toute courbe de ce type est « modulaire » (planche 5).
Ribet (1986)Si elle était modulaire, elle viendrait d'une forme de niveau 2…
Contradiction… et il n'existe aucune telle forme. Donc pas de solution.
1
Ce que dit l'équation : des points sur une courbe
Diviser par zⁿ change le problème en géométrie : une solution entière a, b, c donne le point (a/c ; b/c) à coordonnées rationnelles (des fractions) sur la courbe Xⁿ + Yⁿ = 1. Pour n = 2, c'est le cercle, et il est couvert de tels points. Pour n ≥ 3, la page cherche elle aussi, exhaustivement, avec des entiers exacts : seuls restent les points « triviaux » sur les axes, comme (1 ; 0).
Courbe Xⁿ + Yⁿ = 1 (bleu). Points rouges : solutions entières trouvées, ramenées sur la courbe. Points verts : solutions triviales avec un zéro. Le compteur montre l'avancement de la recherche.
valeurs de z examinées
—
couples (x, y) testés
—
solutions trouvées (x ≤ y)
—
dont primitives (sans diviseur commun)
—
contrôle (n = 2) : primitives données par la formule d'Euclide
—
dernière solution trouvée
—
La formule d'Euclide : en prenant deux entiers m > k sans facteur commun et de parités différentes, x = m² − k², y = 2mk, z = m² + k² donne toutes les solutions primitives de x² + y² = z². Rien de tel n'existe pour n ≥ 3.
Ce qu'il faut retenir. Le théorème de Fermat dit que pour n ≥ 3 la courbe Xⁿ + Yⁿ = 1 ne contient aucun point rationnel en dehors des axes. Une recherche par ordinateur, aussi longue soit-elle, ne le prouve pas : elle ne fait qu'examiner un nombre fini de cas. Il faut un raisonnement qui couvre tous les entiers d'un coup.
2
Les presque-solutions : passer tout près sans jamais toucher
On trouve des triplets où xⁿ + yⁿ et zⁿ ne diffèrent que d'une unité, ou qui coïncident sur dix chiffres. La page fouille tous les couples x ≤ y jusqu'à une borne et classe les plus proches ; l'écart exact est ensuite recalculé en entiers géants (BigInt). Il ne vaut jamais zéro.
Chaque point est un triplet (x, y, z) avec z entier le plus proche de la racine n-ième de xⁿ + yⁿ. En hauteur : le nombre de chiffres communs entre xⁿ + yⁿ et zⁿ. Le rouge marque le meilleur.
x
y
z
xⁿ + yⁿ − zⁿ (exact)
chiffres communs
couples examinés
—
solutions exactes trouvées
—
Trois fausses solutions célèbres
Le taxi de Ramanujan
—
1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³ : la somme de deux cubes 9³ + 10³ rate 12³ d'une seule unité. Le cube 6³ + 8³ = 9³ − 1 est aussi raté de 1.
Homer Simpson, 1995
—
Une calculatrice affichant dix chiffres croit à l'égalité. Mais 1782 est pair, 1841 impair : la gauche est impaire, la droite (1922 pair) est paire.
Homer Simpson, 1998
—
Ici, 3987 et 4365 sont divisibles par 3, donc la gauche l'est ; 4472 ne l'est pas (4 + 4 + 7 + 2 = 17), donc sa puissance non plus.
Ce qu'il faut retenir. Les nombres approchent l'égalité de plus en plus près quand ils grandissent — les « chiffres communs » montent — mais une seule unité d'écart suffit à tout ruiner. C'est ce qui rend le problème si traître : aucune mesure approchée ne peut trancher, seule l'arithmétique exacte le peut.
3
Exposant par exposant : de Fermat à Kummer
Il suffit de traiter n = 4 et les n premiers impairs : si n = 4k, une solution donnerait (xᵏ)⁴ + (yᵏ)⁴ = (zᵏ)⁴ ; si n = p·k, une solution donnerait (xᵏ)ᵖ + (yᵏ)ᵖ = (zᵏ)ᵖ. Fermat a réglé n = 4 par sa descente infinie (une solution en fabriquerait une plus petite, sans fin, ce qui est impossible chez les entiers positifs). Euler a traité n = 3, Dirichlet et Legendre n = 5 (1825), Lamé n = 7 (1839). En 1847, Ernst Kummer règle d'un coup tous les premiers réguliers.
réduction de l'exposant
—
qui l'avait réglé avant Wiles
—
Le critère de Kummer. Un nombre premier p est régulier s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli B₂, B₄, …, Bp−3. Ces nombres rationnels apparaissent dans les sommes de puissances (1ᵏ + 2ᵏ + … + Nᵏ). La page les calcule modulo chaque premier et colorie les premiers jusqu'à la borne choisie.
Chaque case est un nombre premier impair. Vert : régulier (Kummer suffit). Rouge : irrégulier. Cliquez sur une case pour voir quels nombres de Bernoulli il divise.
premiers réguliers
—
premiers irréguliers
—
proportion régulière (heuristique de Siegel : e^(−1/2) = 60,65 %)
—
premier choisi
—
il divise le numérateur de
—
contrôle par le calcul exact de B_k (fractions géantes)
—
Ce qu'il faut retenir. 37, 59 et 67 sont les trois premiers irréguliers inférieurs à 100 : la méthode de Kummer ne les atteint pas. On a ensuite vérifié le théorème par ordinateur pour tous les exposants jusqu'à quatre millions (1993), mais une infinité d'exposants restait hors d'atteinte. Il fallait changer complètement de point de vue.
4
Le nouveau terrain : les courbes elliptiques
Une courbe elliptique est une courbe d'équation y² = x³ + Ax + B (sans point double). Elle a une propriété magique : on peut « additionner » ses points. La droite qui passe par deux points P et Q recoupe la courbe en un troisième point ; son symétrique par rapport à l'axe horizontal est, par définition, P + Q. Cette opération obéit aux règles d'une vraie addition.
L'addition sur la courbe : la droite (PQ) en violet, le troisième point d'intersection en orange, et P + Q en rouge, obtenu par symétrie.
P + Q
—
contrôle : P + Q est bien sur la courbe (écart)
—
discriminant −16(4A³ + 27B²)
—
La courbe E : y² + y = x³ − x² − 10x − 20, réduite modulo p : on ne garde que les restes de 0 à p − 1. Chaque point est une solution « modulo p ».
nombre de points N_p (point à l'infini compris)
—
a_p = p + 1 − N_p
—
borne de Hasse |a_p| ≤ 2√p
—
Ce qu'il faut retenir. Compter les points d'une courbe elliptique modulo chaque nombre premier p donne une suite de nombres a_p, tous coincés entre −2√p et 2√p (théorème de Hasse, 1933). Cette suite est comme l'empreinte digitale de la courbe. Retenez-la pour E : a₂ = −2, a₃ = −1, a₅ = 1, a₇ = −2, a₁₃ = 4…
5
Le pont de Wiles : courbes elliptiques et formes modulaires
Une forme modulaire est une fonction d'une symétrie extraordinaire, venue d'un tout autre domaine (l'analyse complexe). On l'écrit comme une série q + c₂q² + c₃q³ + … La conjecture de Taniyama, Shimura et Weil (années 1950-1960) affirme que l'empreinte de toute courbe elliptique rationnelle est la liste des coefficients d'une forme modulaire. Wiles l'a démontrée en 1994 pour une grande famille de courbes, assez grande pour conclure.
En haut, en bleu : a_p obtenu en comptant les points de E modulo p (planche 4). En bas, en orange : le coefficient de qᵖ dans la forme modulaire q·∏(1 − qᵏ)²(1 − q¹¹ᵏ)², calculée en développant le produit. Les deux nuages sont divisés par 2√p : ils restent entre −1 et 1.
nombres premiers comparés
—
coïncidences exactes
—
désaccords
—
début de la forme modulaire
—
contrôle de multiplicativité c₆ = c₂·c₃, c₁₀ = c₂·c₅
—
Gerhard Frey (1984) : si aᵖ + bᵖ = cᵖ, considérons la courbe y² = x(x − aᵖ)(x + bᵖ). Son discriminant vaut 16·(abc)²ᵖ : une puissance p-ième parfaite, chose que les courbes « normales » n'ont jamais. Faute de vraie solution, voici ce que donne la construction avec de vrais triplets de Pythagore (n = 2) : le discriminant est alors une puissance quatrième parfaite multipliée par 16.
La courbe de Frey y² = x(x − aⁿ)(x + bⁿ) : elle coupe l'axe en 0, aⁿ et −bⁿ. Échelle horizontale comprimée pour tout voir.
racines de la courbe
—
discriminant 16·(aⁿ)²·(bⁿ)²·(cⁿ)² (calcul direct)
—
contrôle : 16·(abc)²ⁿ
—
Ken Ribet (1986) a démontré la suite du plan de Frey : si la courbe de Frey était modulaire, sa forme modulaire pourrait être ramenée au niveau 2. Or le nombre de formes modulaires indépendantes de poids 2 et de niveau N est le genre g de la courbe modulaire X₀(N), qui se calcule par une formule exacte. La page la calcule pour N = 1 à 60.
Genre g de X₀(N) : le nombre de formes modulaires de poids 2 au niveau N. Au niveau 2 (rouge), il vaut 0 : il n'y a aucune forme où la courbe de Frey pourrait se loger. Le premier niveau non vide est 11 (bleu), celui de la courbe E des planches 4 et 5.
Ce qu'il faut retenir. Deux listes de nombres issues de mondes sans rapport — compter des solutions modulo p, développer un produit infini — coïncident pour tous les premiers vérifiés. C'est la modularité, prouvée par Wiles pour les courbes « semi-stables », dont fait partie la courbe de Frey. Ribet avait montré que celle-ci, si elle était modulaire, vivrait au niveau 2, où il n'y a rien. Donc la courbe de Frey n'existe pas, donc aucune solution aᵖ + bᵖ = cᵖ n'existe : Fermat avait raison.
358 ans d'histoire
vers 250 — Diophante d'Alexandrie étudie dans l'Arithmétique les nombres carrés somme de deux carrés.
vers 1637 — Pierre de Fermat, magistrat à Toulouse, écrit sa note dans la marge de la traduction latine de Diophante par Bachet. Il démontre lui-même le cas n = 4 par descente infinie.
1770 — Leonhard Euler publie une preuve pour n = 3 (avec une lacune comblée ensuite).
1823 — Sophie Germain démontre un résultat général sur le « premier cas » pour de nombreux exposants premiers. Legendre et Dirichlet traitent n = 5 en 1825.
1847 — Lamé et Cauchy croient tenir une preuve générale par factorisation ; Liouville relève que l'unicité de la décomposition peut échouer. Kummer invente les « nombres idéaux » et prouve le théorème pour les premiers réguliers.
1955-1967 — Yutaka Taniyama, Goro Shimura puis André Weil énoncent la conjecture de modularité des courbes elliptiques.
1984-1986 — Gerhard Frey propose sa courbe ; Jean-Pierre Serre précise ce qu'il faut ; Ken Ribet démontre que la modularité entraînerait Fermat.
23 juin 1993 — Andrew Wiles, après sept ans de travail secret, annonce à Cambridge une preuve. Une erreur est trouvée à l'automne.
19 septembre 1994 — Wiles trouve, avec l'aide de son ancien élève Richard Taylor, comment contourner l'erreur. Les deux articles paraissent dans les Annals of Mathematics en mai 1995.
2001 — Breuil, Conrad, Diamond et Taylor achèvent la modularité de toutes les courbes elliptiques rationnelles.
2016 — Wiles reçoit le prix Abel.
En résumé
Un énoncé simple
xⁿ + yⁿ = zⁿ n'a pas de solution en entiers positifs pour n ≥ 3. Géométriquement : la courbe Xⁿ + Yⁿ = 1 n'a pas de point rationnel hors des axes.
Des siècles de cas particuliers
Fermat (n = 4), Euler (n = 3), Kummer (premiers réguliers) : chaque avancée a créé de nouvelles mathématiques, comme les idéaux, sans jamais couvrir tous les exposants.
Un détour par la modularité
Une solution donnerait une courbe elliptique (Frey) qui ne peut pas être modulaire (Ribet). Wiles prouve qu'elle doit l'être. La contradiction tue toute solution.
Pour aller plus loin
Ce que « semi-stable » veut dire. Réduite modulo un premier p, une courbe elliptique peut se dégrader ; semi-stable signifie que la dégradation est au pire un point double « ordinaire ». La courbe de Frey l'est toujours (après un petit ajustement de signes), et c'est exactement le cas que Wiles a traité.
Pourquoi le niveau 11. Le niveau d'une forme modulaire correspond au conducteur de la courbe : un nombre fabriqué à partir des premiers où elle se dégrade. La courbe E de la page ne se dégrade qu'en 11 ; son conducteur est 11, le plus petit possible, et la forme q∏(1 − qᵏ)²(1 − q¹¹ᵏ)² est l'unique forme de ce niveau.
Pages voisines de la série. Les équations diophantiennes, les entiers de Gauss et la théorie algébrique des nombres (avec les idéaux de Kummer) éclairent les planches 1 et 3.