Analyse

L'exponentielle complexe

Une seule fonction, e^z, fait à la fois grandir et tourner. Cinq planches pour voir comment l'exponentielle d'un nombre complexe relie croissance, rotation et trigonométrie, puis où elle sert : oscillations amorties, linéarisation des puissances de cosinus, réseaux de diffraction et antennes, et enfin le logarithme « à étages ».

L'idée en une phrase

L'exponentielle d'un nombre imaginaire n'est pas un nombre qui grandit : c'est un point qui tourne. C'est la formule d'Euler (1748) :

e^iθ = cos θ + i sin θ

Ici θ (thêta) est un angle mesuré en radians, et i le nombre imaginaire tel que i² = −1. Le point e^iθ est toujours à la distance 1 de l'origine : il parcourt le cercle unité. Dans le dessin ci-dessous, on ajoute le temps t comme troisième direction : le point e^it trace alors une hélice. Son ombre au sol est la courbe du cosinus, son ombre sur le mur celle du sinus. Une seule rotation contient donc les deux fonctions trigonométriques.

Hélice t ↦ (t, cos t, sin t) en bleu ; ombre au sol (partie réelle, cos t) en violet ; ombre sur le mur (partie imaginaire, sin t) en vert ; à droite, le même point vu de face sur le cercle unité.

Pour un nombre complexe quelconque z = x + iy (x est la partie réelle, y la partie imaginaire), on pose e^z = e^x·e^iy. Les deux morceaux ont chacun un rôle :

Dans z = x + iy	Effet sur e^z	Ce que l'on retrouve dans les planches
partie réelle x	multiplie la distance à l'origine par e^x (croissance ou amortissement)	planches 1 et 2
partie imaginaire y	fait tourner de l'angle y (rotation)	planches 1, 3 et 4
y augmenté de 2π	ne change rien : un tour complet ramène au même point	planches 1 et 5

Cette page prolonge « Les nombres complexes » (plan complexe, formule de Moivre, impédances) et « Les fonctions exponentielles » (où la marche (1 + iθ/n)ⁿ conduisait au cercle) : on part ici de e^z déjà construite et l'on regarde ce qu'elle fait et à quoi elle sert.

Planche 1

La carte de l'exponentielle : grandir et tourner

Question : que fait e^z au plan tout entier ? Puisque e^x+iy = e^x·e^iy, la partie réelle x règle la distance à l'origine (le module) et la partie imaginaire y règle l'angle (l'argument). Une droite verticale, où x est fixé, devient donc un cercle de rayon e^x ; une droite horizontale, où y est fixé, devient une demi-droite issue de l'origine, d'angle y. Comme y et y + 2π désignent la même direction, toute la carte se répète par bandes de hauteur 2π : l'exponentielle est périodique, de période 2πi.

Plan de départ (z = x + iy). Bande 0 ≤ y < 2π teintée. Faites glisser le point z. Les points creux gris sont z ± 2πi.

Plan d'arrivée (w = e^z). Le quadrillage devient cercles et rayons. On peut aussi faire glisser w : la page remonte au z correspondant dans la bande.

Partie réelle x

Partie imaginaire y

e^z = eˣ(cos y + i sin y)

Module |e^z| et eˣ

Argument de e^z (y ramené dans [0 ; 2π[)

Contrôle par la série Σ zᵏ/k! (60 termes) : écart

Angle entre les images des deux droites (mesuré)

Périodicité : |e^z+2πi − e^z|

Ce qu'il faut voir. La droite rouge (verticale) devient le cercle rouge, la droite orange (horizontale) devient le rayon orange, et l'angle droit entre elles reste un angle droit : la mesure donne 90° à l'arrondi près. On dit que l'exponentielle est conforme (elle conserve les angles). Le petit carré vert devient un « carré courbe » de même forme, simplement agrandi de eˣ et tourné de y. Voilà pourquoi, partout où l'on fait tourner des objets (graphisme, robotique, traitement d'image), multiplier par e^iθ est l'opération de base. Et monter de 2π le long de la verticale ramène w exactement à son point de départ.

Planche 2

Le mouvement z′ = λz : la spirale qui garde son angle

Question : quel mouvement décrit e^λt quand λ est complexe ? La fonction z(t) = e^λt est la solution de l'équation z′ = λz qui part de 1 : la vitesse est la position multipliée par λ. Or multiplier par λ = a + ib, c'est tourner de l'angle arg λ et étirer de |λ|. L'angle entre la position et la vitesse est donc le même à chaque instant. La trajectoire est une spirale équiangulaire (ou logarithmique) : a règle la croissance (a < 0 : amortissement), b la vitesse de rotation.

z(t) = e^(a+ib)t = e^at (cos bt + i sin bt) ; à chaque tour (durée 2π/|b|), le rayon est multiplié par e^2πa/|b|

Position z (flèche bleue), vitesse λz (flèche rouge, dessinée à l'échelle ½) et l'angle entre elles. Tracé calculé pas à pas par Runge-Kutta.

Partie réelle x(t) = e^at cos bt (bleu) et son enveloppe ±e^at (gris) : c'est l'oscillation amortie d'un ressort, d'un circuit électrique ou d'une corde pincée.

a (croissance)

b (rotation)

λ = a + ib

arg λ (formule)

Angle position → vitesse mesuré sur le tracé (moyenne)

Variation de cet angle le long du tracé

Facteur par tour mesuré (RK4)

Facteur par tour, formule e^2πa/|b|

Écart max RK4 / formule e^λt

Ce qu'il faut voir. La trajectoire est calculée deux fois : par la formule e^λt, et pas à pas par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4), qui ne connaît que la règle « vitesse = λ × position ». L'angle relevé sur le tracé numérique (vitesse estimée par différences finies d'ordre 4 entre points voisins) retrouve arg λ et ne varie pratiquement pas d'un bout à l'autre ; le facteur par tour retrouve e^2πa/|b|. Avec a = 0 on obtient le cercle, avec b = 0 une droite. C'est la méthode standard pour résoudre les équations différentielles linéaires : on cherche des solutions e^λt, puis on garde la partie réelle, comme dans le graphe de droite.

Planche 3

Le cosinus, somme de deux rotations : linéariser cosⁿθ

Question : comment transformer une puissance de cosinus en somme de cosinus ? Le vecteur e^iθ tourne dans un sens, e^−iθ dans l'autre ; leurs parties imaginaires se compensent et il reste cos θ = (e^iθ + e^−iθ)/2. De même sin θ = (e^iθ − e^−iθ)/2i. Élever la somme à la puissance n se fait par le binôme de Newton : on obtient n + 1 petits vecteurs tournants e^i(n−2k)θ, de poids C(n,k)/2ⁿ (C(n,k) est le coefficient binomial, « k parmi n »). Ils vont par paires symétriques ; mis bout à bout, ils retombent exactement sur l'axe réel, au point cosⁿθ. Regrouper chaque paire donne un cosinus : c'est la linéarisation.

Les n + 1 vecteurs bout à bout ; chaque paire conjuguée a sa couleur. Le point vert sur l'axe réel est cosⁿθ calculé directement.

cosⁿθ (bleu) et les cosinus d'angles multiples qui le composent (pointillés, mêmes couleurs que les paires).

Puissance n

Angle θ

Bout de la chaîne : partie réelle

cosⁿθ calculé directement

Bout de la chaîne : partie imaginaire

Formule linéarisée − cosⁿθ

Moyenne de cosⁿθ sur un tour (Simpson)

Terme constant de la formule

Ce qu'il faut voir. Quel que soit θ, le bout de la chaîne tombe sur l'axe réel (partie imaginaire nulle à l'arrondi près), au point cosⁿθ. La formule linéarisée sert d'abord à intégrer : la moyenne de cosⁿθ sur un tour est simplement le terme constant (3/8 pour n = 4, nul pour n impair), et la mesure par la méthode de Simpson le confirme. Elle explique aussi un phénomène d'électronique : un composant qui « élève au cube » un signal cos ωt fabrique la fréquence triple cos 3ωt, c'est l'origine des harmoniques et de la distorsion.

Planche 4

Additionner des rotations : le réseau de N fentes

Question : que donnent N ondes identiques décalées chacune d'un même retard ? Une onde de phase φ se représente par le vecteur e^iφ. Si N fentes régulièrement espacées envoient chacune une onde, décalée de φ par rapport à la précédente, l'onde totale est S = 1 + e^iφ + e^2iφ + … + e^i(N−1)φ : une chaîne de N flèches de longueur 1, chacune tournée de φ. La formule de la somme d'une suite géométrique donne sa longueur, et l'intensité lumineuse est proportionnelle à |S|².

|S| = |sin(Nφ/2) / sin(φ/2)| ; intensité relative I/I₀ = |S|²/N²

Les N flèches bout à bout (bleu), la résultante S (rouge). Quand φ = 360°/N, la chaîne se referme en polygone régulier.

Intensité relative selon φ : un pic principal en φ = 0, des pics secondaires faibles, des zéros en φ = k·360°/N.

Nombre de fentes N

Déphasage φ

|S| par addition des N flèches

|sin(Nφ/2)/sin(φ/2)| (formule) : écart

Intensité relative I/I₀

Premier zéro 360°/N, et |S| en ce point

Premier pic secondaire mesuré (section dorée)

Limite quand N → ∞ : 4/(9π²)

Ce qu'il faut voir. En refermant le polygone, on additionne les N racines N-ièmes de l'unité : leur somme est nulle, l'intensité s'éteint. Le pic principal a une largeur 2 × 360°/N : il s'affine quand N grandit, tandis que le premier pic secondaire, lui, ne disparaît pas : 5,7 % du principal pour N = 6, et il tend vers 4,5 % quand N grandit. C'est pourquoi un réseau de diffraction de milliers de traits sépare finement les couleurs (spectroscopie), et pourquoi une antenne radar à N éléments, en décalant électroniquement les phases, oriente son faisceau sans bouger.

Planche 5

Signature : le logarithme à étages

Question : peut-on « défaire » l'exponentielle ? Puisque e^z reprend les mêmes valeurs tous les 2πi, elle n'a pas un inverse unique : tout nombre w non nul possède une infinité de logarithmes, ln|w| + i(arg w + 2kπ), un pour chaque entier k. Ce n'est pas un défaut de calcul, c'est la structure même du logarithme complexe : ses valeurs s'empilent comme les étages d'un escalier en colimaçon (une hélicoïde, que Riemann appela en 1851 une surface à plusieurs feuillets). Trois volets : l'escalier lui-même, les puissances à valeurs multiples comme iⁱ, et un faux raisonnement célèbre.

Le point z parcourt un cercle de rayon 0,75 (en bas, en gris). Au-dessus, le même point est soulevé à la hauteur de la partie imaginaire de son logarithme, suivie continûment (sans saut). En bas, z revient à son point de départ ; en haut, le logarithme ne revient pas : il est monté d'un étage par tour, soit 2π sur la partie imaginaire. Décalez le centre du cercle au-delà du rayon : le cercle n'entoure plus 0, et l'on redescend au même étage. Seule l'origine, le point de branchement, crée l'escalier. Faites glisser la figure pour la tourner.

Hélicoïde des valeurs de Im(log z) ; axe rouge : le point de branchement 0 ; rayons verts : l'axe réel positif à chaque étage (arg = 0, 2π, 4π, 6π).

Nombre de tours

Centre du cercle c

Le cercle entoure-t-il 0 ?

Montée de l'argument (somme de 4000 petits angles par tour)

Attendu : 2π × (tours autour de 0)

Log principal au retour (inchangé)

Log suivi continûment au retour

Pour élever à une puissance complexe, on passe par le logarithme : a^b = e^{b·log a}. Comme log a a une infinité de valeurs, a^b peut en avoir une infinité aussi. Exemple stupéfiant : log i = i(π/2 + 2kπ), donc

iⁱ = e^{i·i(π/2 + 2kπ)} = e^{−π/2 − 2kπ}

une infinité de valeurs, toutes réelles, chacune 535 fois plus grande que la suivante environ (rapport e^2π). La valeur « principale » (k = 0) vaut 0,2078795764… En dessous, autre exemple : les valeurs de 1^α = e^2iπkα. Si α = p/q est une fraction irréductible, on trouve exactement q valeurs (les racines q-ièmes de l'unité) ; si α est irrationnel, les valeurs ne se répètent jamais et finissent par couvrir tout le cercle.

Les valeurs de iⁱ sur une échelle logarithmique ; en vert la valeur principale.

Valeurs e^2iπkα pour k = 0, 1, …, K − 1 ; la couleur va du bleu (premiers k) au rouge (derniers k).

Exposant α

Nombre de valeurs de k

Valeurs distinctes trouvées parmi les K

Attendu (q si α = p/q, sinon K)

iⁱ principal : e^−π/2

Contrôle par la série Σ(−π/2)ᵏ/k! : écart

Rapport entre deux valeurs voisines, mesuré / e^2π

En 1827, le mathématicien danois Thomas Clausen publia cette « démonstration » que e est égal à un nombre minuscule. Avancez étape par étape et cherchez l'erreur avant qu'elle ne s'affiche.

e^2πi = 1 (un tour complet). Vrai.
Donc e^1+2πi = e · e^2πi = e. Vrai.
Élevons les deux membres à la puissance 1 + 2πi : (e^1+2πi)^1+2πi = e^1+2πi = e. Vrai, avec le logarithme principal : log e = 1.
« Or (a^b)^c = a^bc », donc (e^1+2πi)^1+2πi = e^(1+2πi)² = e^{1 + 4πi − 4π²}. Faux pas : c'est ici que l'on a pris 1 + 2πi comme logarithme de e^1+2πi, c'est-à-dire un autre étage (k = 1) que celui de l'étape 3 (k = 0).
e^{1 + 4πi − 4π²} = e^1−4π² · e^4πi = e^1−4π². Vrai (deux tours complets).
Conclusion : e = e^1−4π² ≈ 1,9·10⁻¹⁷. Absurde : les deux membres sont deux valeurs différentes d'une même puissance multiforme.

Les valeurs de (e^1+2πi)^1+2πi = e^{(1+2πi)(1+2πik)} pour k = −1, 0, 1, 2 : leur module e^1−4π²k sur une échelle logarithmique. La valeur juste au sens principal, e, est celle de k = 0 ; Clausen a pris celle de k = 1.

Étage k = 0 : module

Étage k = 1 : e^1−4π²

Rapport des deux : e^4π²

L'idée forte. Tout le reste de la page reposait sur la périodicité de e^z : c'est elle qui fait tourner (planches 1 à 4). Elle a un prix : l'inverse de l'exponentielle n'est pas une fonction ordinaire mais un escalier infini. Les règles de calcul des réels, comme (a^b)^c = a^bc ou log(ab) = log a + log b, ne restent vraies qu'« à un étage près », c'est-à-dire à 2iπk près. Les logiciels de calcul choisissent toujours l'étage principal (argument dans ]−π ; π]), et c'est souvent là que se cachent les erreurs.

Repères historiques

1714Roger Cotes écrit l'équivalent de ln(cos x + i sin x) = ix, sans l'interpréter géométriquement.
1748Leonhard Euler, dans l'Introductio in analysin infinitorum, établit e^ix = cos x + i sin x à partir des séries.
1749Euler tranche la querelle avec d'Alembert sur les logarithmes des nombres négatifs : chaque nombre a une infinité de logarithmes.
1799Caspar Wessel, puis Jean-Robert Argand en 1806, représentent les complexes comme des points du plan : multiplier, c'est tourner.
1821Joseph von Fraunhofer construit les premiers réseaux de diffraction à fils pour mesurer les longueurs d'onde.
1827Thomas Clausen publie son paradoxe e = e^1−4π².
1851Bernhard Riemann introduit les surfaces à plusieurs feuillets pour les fonctions multiformes comme le logarithme.
1893Charles Steinmetz popularise les vecteurs tournants (« phaseurs ») pour calculer les courants alternatifs.

Synthèse

Grandir et tourner

e^x+iy = eˣ·e^iy : la partie réelle fait grandir, la partie imaginaire fait tourner. La carte conserve les angles et se répète tous les 2πi.

Calculer avec des rotations

Oscillations amorties (partie réelle de e^λt), linéarisation de cosⁿθ, ondes additionnées : on remplace des formules trigonométriques par des additions et multiplications de vecteurs tournants.

Un inverse à étages

Le logarithme complexe a une infinité de valeurs séparées de 2iπ. Les puissances complexes en héritent : iⁱ a une infinité de valeurs réelles, et les règles des réels ne valent qu'à un étage près.

Pour aller plus loin

Transformées. La transformée de Fourier décompose un signal en vecteurs tournants e^iωt ; la transformée de Laplace utilise e^−pt avec p complexe, ce qui mélange amortissement et rotation exactement comme à la planche 2.

Physique quantique. L'état d'énergie E d'une particule évolue comme e^−iEt/ħ : une simple rotation de phase, invisible seule, mais décisive dès qu'on superpose deux états (interférences).

Exponentielle de matrice. Pour un système z′ = Az, la solution est e^Atz₀ ; les valeurs propres complexes de A jouent le rôle de λ et donnent les spirales du plan de phase.

Une propriété remarquable. e^z prend toutes les valeurs complexes sauf 0, et chacune une infinité de fois ; elle ne s'annule jamais, ce qui permet de diviser librement par e^λt.