Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. La dimension finie change tout : il existe toujours des bases orthonormées, tout sous-espace a un supplémentaire orthogonal, toute isométrie s'écrit avec une matrice orthogonale et toute matrice symétrique se diagonalise dans une base orthonormée. Cinq planches pour voir ces théorèmes à l'œuvre, de la géométrie du solide à l'infographie.
En une phrase
Dans un espace euclidien, on dispose d'un produit scalaire ⟨·, ·⟩ et d'une dimension finie n. Dans une base orthonormée (vecteurs de longueur 1, deux à deux orthogonaux), le produit scalaire redevient la formule de l'école, ⟨x, y⟩ = x₁y₁ + … + xₙyₙ, et chaque coordonnée se lit par un simple produit scalaire : xᵢ = ⟨eᵢ, x⟩.
Théorème
Énoncé
Planche
Bases orthonormées
x = Σ ⟨eᵢ, x⟩ eᵢ et ‖x‖² = Σ ⟨eᵢ, x⟩²
1
Supplémentaire orthogonal
E = F ⊕ F⊥ et dim F + dim F⊥ = n
2
Isométries
‖u(x)‖ = ‖x‖ ⟺ matrice orthogonale QᵀQ = I, det Q = ±1
3
Théorème spectral
S = Sᵀ ⟹ S = P D Pᵀ avec P orthogonale
4
Décomposition polaire
A = O S : une isométrie après un étirement selon des axes orthogonaux
4
Animation : une base orthonormée tourne autour d'un vecteur x fixe. Ses coordonnées x₁ et x₂ changent sans cesse, mais la barre de droite, x₁² + x₂², garde exactement la même longueur ‖x‖² : c'est le théorème de Pythagore lu dans n'importe quel repère orthonormé.
1
Bases orthonormées : la coordonnée est une projection
L'idée : dans une base quelconque, trouver les coordonnées d'un vecteur demande de résoudre un système (on trace des parallèles aux axes). Dans une base orthonormée, il suffit de projeter perpendiculairement sur chaque axe : la coordonnée xᵢ vaut ⟨eᵢ, x⟩. Déformez la base pour voir les deux constructions se séparer.
x = a e₁ + b e₂ ; base orthonormée ⟹ a = ⟨e₁, x⟩, b = ⟨e₂, x⟩, a² + b² = ‖x‖²
Base e₁, e₂ et vecteur x (déplaçable). En violet, la construction par parallèles qui donne les vraies coordonnées (a, b) ; en rouge pointillé, les projections perpendiculaires qui donnent ⟨e₁, x⟩ et ⟨e₂, x⟩.Quand la base tourne d'un angle φ : coordonnées a(φ), b(φ) et somme des carrés a² + b², comparée à ‖x‖² (pointillé). Elle n'est plate que si la base est orthonormée.
Vraies coordonnées (a, b) (résolution du système)—
Projections (⟨e₁, x⟩, ⟨e₂, x⟩)—
Écart entre les deux—
a² + b² et ‖x‖²—
Matrice de Gram (‖e₁‖² ; ⟨e₁, e₂⟩ ; ‖e₂‖²)—
‖x − Σ⟨eᵢ, x⟩eᵢ‖ (reconstruction par projections)—
À retenir. La matrice de Gram ⟨eᵢ, eⱼ⟩ résume tout : elle vaut l'identité exactement quand la base est orthonormée, et alors coordonnées et projections coïncident (écart 0), la somme des carrés des coordonnées est ‖x‖² dans tous les repères, et passer d'une base orthonormée à une autre se fait avec une matrice orthogonale, dont l'inverse est simplement la transposée. Dans une base oblique, il faut inverser la matrice de Gram.
2
Supplémentaire orthogonal : projeter et réfléchir
L'idée : dans ℝ³, un plan F passant par l'origine et la droite F⊥ qui lui est perpendiculaire se partagent l'espace. Tout vecteur s'écrit d'une seule façon x = p + q, avec p dans F et q dans F⊥. L'application x ↦ p est la projection orthogonale sur F ; x ↦ p − q est la symétrie orthogonale (le miroir) par rapport à F.
P = I − n nᵀ = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ, P² = P = Pᵀ, S = 2P − I = I − 2n nᵀ
La page calcule P de deux façons indépendantes : avec la normale unitaire n, et avec deux vecteurs quelconques (non orthogonaux) f₁, f₂ qui engendrent le plan, rangés dans la matrice A. La symétrie I − 2nnᵀ s'appelle une réflexion de Householder : c'est l'outil de base des logiciels de calcul matriciel.
Scène à faire tourner. Plan F (vert pâle), droite F⊥ (vert), vecteur x, sa projection p, sa composante normale q et son image S(x) dans le miroir.La même scène vue « par la tranche » : on regarde le long du plan, qui apparaît comme un segment. x et S(x) sont symétriques, p est le pied de la perpendiculaire.
p = P x—
q = x − p—
⟨p, q⟩ ; ‖x‖² − ‖p‖² − ‖q‖²—
max |(I − nnᵀ) − A(AᵀA)⁻¹Aᵀ| (deux calculs de P)—
max |P² − P| ; max |P − Pᵀ| ; trace P—
Distance de x au plan : |⟨n, x⟩| / ‖x − p‖—
Miroir : ‖S(x)‖ − ‖x‖ ; det S ; S² − I—
Projeter, c'est oublier une direction ; réfléchir, c'est la retourner. Les deux calculs de P donnent la même matrice : elle ne dépend que du plan, pas des vecteurs choisis pour le décrire. Elle vérifie P² = P (projeter deux fois ne change rien) et P = Pᵀ (c'est ce qui la rend orthogonale) ; sa trace vaut la dimension du plan, 2. Le miroir conserve les longueurs, a pour déterminant −1 et redonne l'identité quand on l'applique deux fois.
3
Les isométries : miroirs et rotations
L'idée : une isométrie vectorielle conserve les longueurs, donc les angles. Sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale : QᵀQ = I, et det Q vaut +1 (rotation) ou −1 (on a retourné l'espace). Deux faits frappants : dans le plan, deux miroirs successifs font une rotation ; dans l'espace, toute rotation autour de l'origine, aussi compliquée soit-elle, est une rotation autour d'un axe unique (Euler, 1775).
Un F (gris), son image par le miroir m₁ (orange, F retourné), puis par le miroir m₂ (bleu, F de nouveau à l'endroit). Le contour vert pointillé est le F tourné de 2(β − α) : il se superpose au bleu.Dans l'espace : la rotation d'angle a₁ autour de x suivie de la rotation d'angle a₂ autour de z. Le cube orange pointillé montre le résultat. Le cube bleu y arrive en tournant d'un seul mouvement autour de l'axe rouge, calculé à partir de la matrice.
Matrice de m₂ ∘ m₁ − rotation de 2(β − α)—
det m₁ ; det (m₂ ∘ m₁)—
Axe de la rotation composée (unitaire)—
Angle θ, par cos θ = (tr R − 1)/2—
‖R · axe − axe‖ (l'axe ne bouge pas)—
Rodrigues(axe, θ) − R (reconstruction)—
‖RᵀR − I‖ ; det R—
Ce que dit le calcul. Les deux miroirs donnent exactement la rotation d'angle 2(β − α) : seul compte l'écart entre eux, pas leur position. Avec 90° autour de x puis 90° autour de z, on obtient une seule rotation de 120° autour de la grande diagonale (1, 1, 1)/√3 du cube — trois sommets s'échangent en tournant. L'axe est le vecteur propre de valeur propre 1 ; la trace donne l'angle sans aucun calcul de valeur propre.
4
Endomorphismes symétriques et décomposition polaire
L'idée : un endomorphisme est symétrique (on dit aussi autoadjoint) quand ⟨Au, v⟩ = ⟨u, Av⟩ pour tous u, v ; dans une base orthonormée, sa matrice est symétrique. Le théorème spectral affirme qu'il étire l'espace selon des axes deux à deux perpendiculaires. Et n'importe quelle matrice inversible se décompose en A = O S : d'abord un étirement symétrique S = √(AᵀA), puis une isométrie O.
Le quadrillage et le cercle unité déformés progressivement : d'abord l'étirement S le long de ses axes verts perpendiculaires, puis l'isométrie O. Pointillés violets : les directions propres de A elle-même (quand elles existent).Les trois temps de A = O S : le cercle, son image par S (ellipse dont les axes restent ceux de S), puis par O (la même ellipse, tournée).
Valeurs propres de A—
Angle entre les directions propres de A—
max |⟨Au, v⟩ − ⟨u, Av⟩| sur 500 couples—
S = √(AᵀA) : (s₁₁ ; s₁₂ ; s₂₂) et ses valeurs propres—
‖OᵀO − I‖ ; ‖O S − A‖ ; ‖S² − AᵀA‖—
Nature de O—
Toute déformation linéaire est « étirer, puis tourner ». Pour une matrice symétrique, les directions propres sont perpendiculaires (90,000°) et O est l'identité si les valeurs propres sont positives : A est un pur étirement. Pour une matrice non symétrique, les directions propres ne sont plus perpendiculaires (le cisaillement n'en a même qu'une) ; c'est alors l'étirement caché S, toujours symétrique, qui porte les axes perpendiculaires. En mécanique des milieux continus, S est la déformation pure et O la rotation du matériau.
5
Signature : trois usages des matrices orthogonales
La géométrie euclidienne de dimension finie est au cœur de calculs très concrets : superposer deux nuages de points (biologie structurale, vision par ordinateur), faire tourner un objet à l'écran sans le déformer, mesurer l'aire ou le volume d'objets plongés dans un espace de grande dimension.
On dispose d'une forme (repères anatomiques, atomes d'une molécule, points d'une image) et d'une copie déplacée et bruitée. Quelle rotation la superpose au mieux, au sens des moindres carrés ? C'est le problème de Procrustes orthogonal. Après avoir centré les deux nuages, la réponse est explicite : l'angle θ* = arctan(Σ xᵢ ∧ yᵢ / Σ xᵢ · yᵢ) (en dimension supérieure, on passe par une décomposition en valeurs singulières : c'est l'algorithme de Kabsch, 1976).
Forme de départ (gris), copie cible (rouge, tournée, déplacée et bruitée), et forme bleue que l'on amène sur la cible par translation puis rotation.Écart quadratique moyen (RMSD) après centrage, en fonction de l'angle essayé. Le minimum est atteint en θ*.
θ* par la formule—
θ* par balayage puis section dorée · écart—
RMSD en θ* / en l'angle vrai—
Translation retrouvée (vraie : (1,20 ; −0,60))—
Un logiciel 3D fait tourner un objet en multipliant, image après image, sa matrice d'orientation R par une petite rotation. En arithmétique exacte, R resterait orthogonale. En machine, chaque produit ajoute une erreur d'arrondi ; elles s'accumulent, RᵀR s'éloigne de I et l'objet se met à se déformer. Le remède : ré-orthonormaliser R régulièrement (Gram-Schmidt sur ses colonnes). Pour rendre l'effet visible, un curseur exagère l'erreur commise à chaque pas.
À gauche, R accumulée sans correction (calculs en simple précision, 7 chiffres) ; à droite, la même accumulation ré-orthonormalisée à chaque pas.Dérive max |RᵀR − I| en échelle logarithmique selon le nombre de pas : sans correction, avec correction.
Nombre de pas—
Dérive sans correction—
Dérive avec correction—
Arêtes du cube non corrigé : plus courte / plus longue—
Le déterminant de Gram det(⟨vᵢ, vⱼ⟩) donne le carré du volume du parallélépipède construit sur k vecteurs, quelle que soit la dimension de l'espace ambiant. Il ne demande que des produits scalaires. On en tire l'aire d'un parallélogramme dans l'espace, le volume, et la distance d'un point à un sous-espace : distance² = det G(u, v, x) / det G(u, v) (volume divisé par aire de base, comme à l'école).
Parallélogramme construit sur u et v, vecteur x, sa projection sur le plan et la hauteur rouge. Le parallélépipède est tracé en fin.Dans ℝ⁶ : volume du parallélotope construit sur k vecteurs pris au hasard, par √det G (barres) et par le produit des hauteurs successives de Gram-Schmidt (points), comparé au produit des longueurs (trait, inégalité d'Hadamard).
Aire : √det G(u, v) / ‖u ∧ v‖—
Volume : √det G(u, v, x) / |det(u, v, x)|—
Distance de x au plan : formule de Gram / ‖x − p‖—
Dans ℝ⁶ : max |√det G − produit des hauteurs| (k = 1…6)—
Hadamard : volume / produit des longueurs (k = 6)—
Trois fois la même idée : ne jamais quitter le groupe orthogonal sans le savoir. La meilleure superposition est une rotation que l'on calcule exactement (la section dorée retrouve la formule). Une rotation accumulée sans soin cesse d'être une rotation, et le cube se déforme visiblement quand l'erreur par pas est grande ; ré-orthonormaliser maintient la dérive au niveau de l'arrondi. Et les volumes, quelle que soit la dimension, se lisent sur des produits scalaires seuls.
Repères historiques
vers −300Les Éléments d'Euclide : longueurs, angles droits, théorème de Pythagore — la géométrie que le produit scalaire codifie.
1775Euler démontre que tout déplacement d'un solide autour d'un point fixe est une rotation autour d'un axe (planche 3).
1829Cauchy prouve que les matrices symétriques réelles ont des valeurs propres réelles et des axes principaux orthogonaux (planche 4).
1844Grassmann publie son Ausdehnungslehre, première géométrie des espaces de dimension quelconque.
1846Cayley paramètre les matrices orthogonales et étudie leurs propriétés.
1888Peano donne la définition axiomatique de l'espace vectoriel.
1958Householder introduit les réflexions I − 2nnᵀ pour factoriser les matrices de façon stable (planche 2).
1966Schönemann résout le problème de Procrustes orthogonal ; Kabsch en tire en 1976 l'algorithme de superposition des molécules (planche 5).
Synthèse
Des repères parfaits
Dans une base orthonormée, coordonnée = produit scalaire, et Pythagore vaut dans tous les repères. Changer de base orthonormée, c'est appliquer une matrice orthogonale, inversée par simple transposition.
Projeter, réfléchir, tourner
Tout sous-espace a son orthogonal ; les projections orthogonales sont les matrices P² = P = Pᵀ ; les isométries sont des produits de miroirs, et en dimension 3 toute rotation a un axe.
Étirer selon des axes perpendiculaires
Toute matrice symétrique se diagonalise en base orthonormée ; toute matrice inversible s'écrit O S. C'est la clé de l'ACP, de la mécanique des déformations et de la superposition de formes.
Pour aller plus loin
Théorème de Cartan-Dieudonné. En dimension n, toute isométrie est la composée d'au plus n réflexions : la planche 3 en montre le cas du plan.
Réduction des isométries. Dans une base orthonormée bien choisie, la matrice d'une isométrie est diagonale par blocs, avec des ±1 et des blocs de rotation 2 × 2. En dimension 3, c'est l'axe et l'angle de la planche 3.
Factorisation QR. Gram-Schmidt ou les réflexions de Householder écrivent toute matrice comme produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice triangulaire : c'est la méthode standard des moindres carrés.
Quaternions. En infographie, on représente souvent les rotations 3D par des quaternions unitaires : quatre nombres au lieu de neuf, et une renormalisation très simple contre la dérive de la planche 5.
Endomorphismes normaux. Une matrice qui commute avec sa transposée se réduit en base orthonormée, sur ℂ : cela réunit le cas symétrique et le cas orthogonal.