Algèbre linéaire

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel ?

Un ensemble dans lequel on peut additionner des éléments et les multiplier par des nombres, selon huit règles précises, sans jamais sortir de cet ensemble. Ces éléments s'appellent des vecteurs, même lorsqu'ils ne ressemblent pas du tout à des flèches.

La carte d'identité d'un espace vectoriel

Pour parler d'espace vectoriel, il faut toujours donner quatre ingrédients, puis vérifier huit règles. Oublier un ingrédient, c'est comme donner une recette sans dire ce qu'on cuisine.

1. Un ensemble ESes éléments sont les vecteurs : flèches, couples de nombres, polynômes, fonctions, suites…

2. Un corps 𝕂Les nombres par lesquels on multiplie, appelés scalaires : en général ℝ (réels) ou ℂ (complexes).

3. Une additionElle associe à deux vecteurs u et v un vecteur u + v de E.

4. Une multiplication externeElle associe à un scalaire λ et à un vecteur u un vecteur λu de E.

Un corps est un ensemble de nombres où l'on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser par tout nombre non nul : ℚ, ℝ et ℂ sont des corps, ℤ n'en est pas un (on ne peut pas diviser 1 par 2 dans ℤ).

Pourquoi tant de soin ? Parce que la même théorie va servir pour des objets très différents : des forces en physique, des signaux sonores, des images, des solutions d'équations. Tout ce que l'on démontre à partir des huit règles devient vrai d'un coup pour tous ces objets.

Planche 1

Deux opérations à comprendre

Dans le plan ℝ², un vecteur est un couple de nombres u = (u₁ ; u₂). On le dessine comme une flèche partant de l'origine. Tout espace vectoriel repose sur deux gestes seulement : additionner deux vecteurs, et multiplier un vecteur par un nombre. Déplacez les coordonnées avec les curseurs.

Bleu : u · Orange : v · Vert : résultat. La flèche orange en tirets est le même vecteur v, simplement déplacé : un vecteur ne dépend pas de l'endroit où l'on pose sa flèche. La figure change d'échelle pour garder les vecteurs visibles.

u₁

u₂

v₁

v₂

Les formules dans ℝ²

Les calculs se font coordonnée par coordonnée :

(u₁ ; u₂) + (v₁ ; v₂) = (u₁ + v₁ ; u₂ + v₂)
λ(u₁ ; u₂) = (λu₁ ; λu₂)

La soustraction n'est pas une troisième opération : u − v est une abréviation de u + (−1)v. Sur la figure, u − v est aussi la flèche qui va de l'extrémité de v à celle de u.

Le scalaire

Un scalaire est un nombre du corps choisi : ici, un nombre réel. Un scalaire plus grand que 1 allonge la flèche, un scalaire entre 0 et 1 la raccourcit, une valeur négative renverse son sens et zéro donne le vecteur nul. Le multiple λu reste toujours sur la droite qui porte u.

La longueur et l'angle ne font pas partie de la définition d'un espace vectoriel. Les dessins utilisent la géométrie habituelle du plan seulement pour rendre les opérations visibles.

Ce qu'il faut voir. L'addition se lit comme une mise bout à bout (la règle du parallélogramme), et la multiplication comme un étirement le long d'une droite. Les lectures chiffrées confirment ce que montre le dessin : v + u donne exactement u + v, et det(u, λu) vaut 0 puisque λu reste aligné avec u.

Planche 2

La définition mathématique, et son laboratoire

Un espace vectoriel sur un corps 𝕂 est un ensemble E muni de deux opérations : une addition entre éléments de E, et une multiplication d'un élément de E par un scalaire de 𝕂. Dans ce cours, 𝕂 = ℝ ; on peut aussi choisir ℂ, par exemple.

+ : E × E → E et · : 𝕂 × E → E

Ces écritures expriment la stabilité : u + v et λu doivent appartenir à E pour tous u, v ∈ E et tout λ ∈ 𝕂. Les opérations doivent en plus satisfaire les huit règles suivantes.

A · Les quatre règles de l'addition

Règle	Écriture	Signification
Commutativité	u + v = v + u	L'ordre ne change pas la somme.
Associativité	(u + v) + w = u + (v + w)	On peut regrouper les sommes.
Vecteur nul	u + 0_E = u	Il existe un élément neutre pour l'addition.
Opposé	u + (−u) = 0_E	Chaque vecteur possède un opposé.

B · Les quatre règles des scalaires

Règle	Écriture	Signification
Action de 1	1u = u	Multiplier par 1 ne change rien.
Compatibilité	α(βu) = (αβ)u	Deux multiplications successives se regroupent.
Distribution sur les vecteurs	α(u + v) = αu + αv	Le scalaire se distribue sur la somme.
Distribution sur les scalaires	(α + β)u = αu + βu	On peut distribuer une somme de scalaires.

Toutes ces règles valent pour tous u, v, w ∈ E et tous α, β ∈ 𝕂. Les quatre règles de l'addition disent que (E, +) est un groupe abélien (un groupe dont l'opération est commutative).

Le laboratoire des axiomes

Une règle se vérifie pour tous les vecteurs, ce qu'aucun ordinateur ne peut faire. Mais un seul contre-exemple suffit à la réfuter. Choisissez une structure candidate : la page tire 400 jeux de vecteurs et de scalaires pour chacune des dix conditions (deux de stabilité, huit règles) et affiche le premier contre-exemple rencontré. Cliquez sur une ligne du tableau pour voir l'exemple dessiné.

Structure

Condition	Écriture	Résultat	Écart max

Bleu : membre de gauche · Orange en tirets : membre de droite · En pâle : les vecteurs tirés au hasard. Quand la règle est vraie, les deux flèches se superposent.

Premières conséquences des règles

À partir des seules huit règles, on démontre que 0u = 0_E, λ0_E = 0_E et (−1)u = −u, que le vecteur nul et les opposés sont uniques, et que λu = 0_E oblige λ = 0 ou u = 0_E. Ces propriétés n'ont pas besoin d'être ajoutées à la définition : elles en découlent.

Pourquoi 0u est-il nécessairement le vecteur nul ?

La distributivité sur les scalaires donne (0 + 0)u = 0u + 0u, c'est-à-dire 0u = 0u + 0u. En ajoutant l'opposé de 0u aux deux membres, on obtient 0_E = 0u. Le même raisonnement avec λ(0_E + 0_E) = λ0_E + λ0_E donne λ0_E = 0_E.

Pourquoi (−1)u est-il l'opposé de u ?

u + (−1)u = 1u + (−1)u = (1 + (−1))u = 0u = 0_E, en utilisant l'action de 1, puis la distribution sur les scalaires, puis la propriété précédente. Donc (−1)u est un opposé de u ; comme l'opposé est unique, (−1)u = −u.

Pourquoi le vecteur nul est-il unique ?

Si 0 et 0′ sont deux éléments neutres, alors 0 = 0 + 0′ (car 0′ est neutre) et 0 + 0′ = 0′ (car 0 est neutre, avec la commutativité). Donc 0 = 0′. De même, si v et v′ sont deux opposés de u : v = v + (u + v′) = (v + u) + v′ = v′.

Si λu = 0_E, pourquoi λ = 0 ou u = 0_E ?

Si λ ≠ 0, on peut diviser par λ car 𝕂 est un corps : u = 1u = (λ⁻¹λ)u = λ⁻¹(λu) = λ⁻¹0_E = 0_E. C'est l'une des raisons pour lesquelles on exige que les scalaires forment un corps.

Il faut préciser l'ensemble, les opérations et le corps des scalaires. Un simple ensemble de flèches ne suffit pas. Le vecteur nul 0_E est un élément de E ; le scalaire 0 est un élément de 𝕂. Ce ne sont pas les mêmes objets, et le laboratoire le montre : dans ]0 ; +∞[, le vecteur nul est le nombre 1.

Planche 3

Combiner des vecteurs pour engendrer un espace

Une combinaison linéaire de u et v est un vecteur w = αu + βv. Faites varier α et β, comparez deux directions indépendantes avec deux vecteurs colinéaires, puis posez une cible c n'importe où : la page retrouve les seuls coefficients qui l'atteignent.

Bleu : αu · Orange : βv, posé au bout de αu · Vert : w = αu + βv · Croix rouge : la cible c. Les extrémités de u, de v et la cible se déplacent à la souris ou au doigt. Le domaine vert pâle est celui des coefficients entre −2 et 2 ; les points pâles mémorisent les résultats explorés.

Situation

Engendrer

Vect(u, v) est l'ensemble de toutes les combinaisons αu + βv lorsque α et β parcourent ℝ. Le dessin n'explore que des coefficients bornés ; l'espace engendré utilise tous les coefficients réels et s'étend sans limite.

Base et dimension

Une famille est libre si aucun de ses vecteurs n'est une combinaison des autres (aucun n'est redondant), et génératrice si elle permet d'obtenir tous les vecteurs de l'espace. Une base est libre et génératrice ; le nombre de ses vecteurs est la dimension.

Comment reconnaître deux vecteurs indépendants dans le plan ?

On calcule le déterminant det(u, v) = u₁v₂ − u₂v₁. Pour u = (2 ; 1) et v = (−1 ; 2), il vaut 2 × 2 − 1 × (−1) = 5 ≠ 0 : les vecteurs sont indépendants et forment une base de ℝ². Pour v = −½u = (−1 ; −0,5), il vaut 2 × (−0,5) − 1 × (−1) = 0 : ils n'engendrent qu'une droite.

Comment la page retrouve-t-elle les coordonnées de la cible ?

Chercher α et β tels que αu + βv = c, c'est résoudre le système αu₁ + βv₁ = c₁, αu₂ + βv₂ = c₂. Les formules de Cramer donnent α = det(c, v) / det(u, v) et β = det(u, c) / det(u, v). Elles n'ont de sens que si det(u, v) ≠ 0 : c'est exactement la condition pour que (u, v) soit une base. Dans ce cas, la solution est unique ; on l'appelle le couple des coordonnées de c dans la base (u, v).

Ce qu'il faut voir. Avec deux directions indépendantes, la croix rouge est toujours atteinte, par un seul couple (α ; β), et le contrôle αu + βv − c tombe au niveau de l'arrondi machine. Avec deux vecteurs colinéaires, tout reste prisonnier d'une droite : la cible n'est presque jamais atteignable. Enfin, trois vecteurs du plan sont toujours liés : la cible elle-même s'exprime à l'aide de u et v. La dimension compte les vecteurs d'une base, pas le nombre de points : une droite vectorielle contient une infinité de vecteurs et a pourtant la dimension 1.

Planche 4

Un ensemble est-il un sous-espace vectoriel ?

Un sous-espace vectoriel est une partie F d'un espace vectoriel E qui est elle-même un espace vectoriel pour les mêmes opérations. Inutile de revérifier les huit règles : elles sont héritées de E. Il suffit de trois conditions.

1. 0_E ∈ F · 2. si u, v ∈ F, alors u + v ∈ F · 3. si u ∈ F et λ ∈ 𝕂, alors λu ∈ F

Une seule condition qui échoue suffit à exclure un sous-espace. Lancez la vérification : le résultat reste vert tant qu'il appartient à l'ensemble, et devient rouge dès qu'il en sort.

Violet : l'ensemble F à examiner. Étape 1 : l'origine. Étape 2 : une somme u + v. Étape 3 : un multiple λu, avec λ qui varie continûment depuis 1.

Ensemble

Progression

L'animation illustre une preuve ou un contre-exemple. Un nombre fini d'essais réussis ne prouve pas une propriété universelle : pour conclure « c'est un sous-espace », il faut l'argument général écrit dans l'encadré.

Intersection, réunion et somme de deux droites

Prenons deux droites vectorielles D₁ et D₂ du plan. Leur intersection est toujours un sous-espace. Leur réunion, presque jamais. Le bon objet est leur somme D₁ + D₂, formée de tous les u + v avec u ∈ D₁ et v ∈ D₂ : c'est le plus petit sous-espace qui contient les deux droites.

Bleu : D₁ et u ∈ D₁ · Orange : D₂ et v ∈ D₂ · La somme u + v est verte si elle reste dans D₁ ∪ D₂, rouge sinon.

angle D₁

angle D₂

u sur D₁

v sur D₂

Droite vectorielle ou droite affine ?

La droite y = x passe par l'origine : c'est Vect((1 ; 1)). La droite y = x + 1 est une translation de celle-ci. Avec les opérations usuelles de ℝ², elle n'est pas un espace vectoriel. C'est une droite affine : les différences de deux de ses points appartiennent toutes à la direction vectorielle y = x.

Les équations homogènes donnent des sous-espaces

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène Ax = 0 est un sous-espace : A0 = 0, A(u + v) = Au + Av et A(λu) = λAu. Pour Ax = b avec b ≠ 0, l'ensemble des solutions, s'il est non vide, est affine et ne contient pas l'origine. C'est la même différence qu'entre y = x et y = x + 1.

Ce qu'il faut voir. Les sous-espaces de ℝ² sont très peu nombreux : l'origine seule, les droites passant par l'origine, et ℝ² tout entier. Le cercle, la parabole et la droite décalée ne contiennent même pas 0. Le quadrant passe les deux premières épreuves mais pas la troisième, car un λ négatif retourne la flèche. La réunion des axes est stable par multiplication mais pas par addition : c'est pour cela qu'on remplace la réunion par la somme.

Planche 5 · signature

Les vecteurs ne sont pas toujours des flèches

Un vecteur peut être un couple de nombres, une matrice, un polynôme, une fonction ou une suite infinie. Ce qui compte, ce n'est pas la nature des objets, mais les deux opérations et les huit règles. Les quatre onglets montrent la même théorie au travail dans quatre mondes différents.

Choisissons f(t) = t et g(t) = t². La combinaison h = αf + βg se calcule point par point : h(t) = αf(t) + βg(t). C'est encore un polynôme de degré au plus 2. Les flèches verticales montrent l'addition en un point t₀ : on empile αf(t₀) puis βg(t₀).

Bleu : f(t) = t · Orange : g(t) = t² · Violet : h(t) = αt + βt². Le tracé montre t ∈ [−1 ; 1].

t₀

Attention au degré. Les polynômes de degré au plus 2 forment un espace vectoriel. Ceux de degré exactement 2 n'en forment pas un : ils ne contiennent pas le polynôme nul, et la somme X² + (−X² + X) = X est de degré 1. Mettez β à 0 pour le voir : h tombe au degré 1 sans cesser d'être un vecteur.

Dans ℝ₂[X], l'espace des polynômes de degré au plus 2, la famille (1, X, X²) est la base « naturelle » : p = a + bX + cX² a pour coordonnées (a ; b ; c). Mais on peut choisir une autre base, celle de Lagrange aux points −1, 0 et 1 :

L₋₁ = X(X − 1)/2 · L₀ = 1 − X² · L₁ = X(X + 1)/2

Chaque Lᵢ vaut 1 en son point et 0 aux deux autres. Les coordonnées de p dans cette base sont alors simplement ses trois valeurs : p = p(−1)L₋₁ + p(0)L₀ + p(1)L₁. Le même vecteur a deux jeux de coordonnées, comme une même cible avait ses coordonnées dans la base (u, v) de la planche 3.

Violet épais : p · Tirets bleus, orange, verts : p(−1)L₋₁, p(0)L₀, p(1)L₁. Leur somme redonne p en chaque point. Les trois points marqués sont les valeurs p(−1), p(0), p(1).

Le retour se fait par a = p(0), b = (p(1) − p(−1))/2 et c = (p(1) + p(−1))/2 − p(0). La base (1, X, X²) est commode pour dériver ; la base de Lagrange est commode pour faire passer une courbe par des points donnés.

Considérons toutes les suites réelles qui vérifient u_n+2 = u_n+1 + u_n. La somme de deux telles suites en est encore une, un multiple aussi : elles forment un espace vectoriel. Comme une suite est entièrement fixée par ses deux premiers termes u₀ et u₁, cet espace de suites infinies est de dimension 2.

Deux suites géométriques en forment une base : φⁿ et ψⁿ, où φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 et ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,618 sont les racines de x² = x + 1. Toute solution s'écrit donc u_n = αφⁿ + βψⁿ. Pour la suite de Fibonacci, α = 1/√5 et β = −1/√5 : c'est la formule de Binet.

Violet : u_n calculé par la récurrence · Bleu : la composante αφⁿ · Orange : la composante βψⁿ, qui oscille et s'éteint. Pour n = 0 à 12.

u₀

u₁

ℂ est un espace vectoriel sur ℂ, de dimension 1, avec la base (1). Mais ℂ est aussi un espace vectoriel sur ℝ, de dimension 2, avec la base (1, i), car z = a + bi avec a et b réels. Le même ensemble, avec la même addition, change de dimension quand on change de corps. Regardons z et iz.

Bleu : z · Orange : iz (z tourné d'un quart de tour) · Vert : les multiples λz explorés. Avec des scalaires réels, ils restent sur une droite ; avec des scalaires complexes, ils remplissent le plan.

|z|

arg z (°)

L'idée forte. Ajouter deux fonctions, deux polynômes ou deux suites se fait exactement comme ajouter deux flèches : composante par composante, ou point par point. Toute la machinerie des planches 1 à 4 (combinaisons, bases, coordonnées, sous-espaces) s'applique donc sans changement. Les suites de Fibonacci le montrent de façon frappante : un espace de suites infinies se pilote avec deux nombres seulement, parce que sa dimension est 2.

Le catalogue des exemples

Espace sur ℝ	Ses vecteurs	Vecteur nul	Dimension
ℝ³	(x ; y ; z)	(0 ; 0 ; 0)	3
ℝⁿ	(x₁ ; … ; xₙ)	(0 ; … ; 0)	n
Matrices réelles 2 × 2	Quatre coefficients réels	Matrice à coefficients nuls	4
ℝ₂[X]	a + bX + cX²	Polynôme nul	3
ℂ vu sur ℝ	a + bi	0	2
Suites vérifiant u_n+2 = u_n+1 + u_n	Suites de type Fibonacci	Suite nulle	2
Solutions de y″ + y = 0	a cos t + b sin t	Fonction nulle	2
]0 ; +∞[ avec ⊕ et ⊙	Nombres strictement positifs	Le nombre 1	1
C([−1 ; 1], ℝ)	Fonctions réelles continues sur [−1 ; 1]	Fonction identiquement nulle	Infinie
{0_E}	Le seul vecteur nul	0_E	0

Dans ces exemples, sauf pour ]0 ; +∞[, l'addition et la multiplication par un réel s'effectuent coefficient par coefficient ou point par point.

À retenir

Quatre ingrédients

Un ensemble, un corps de scalaires, une addition et une multiplication par des scalaires, compatibles avec huit règles.

La stabilité

Toutes les sommes et tous les multiples restent dans l'ensemble. Le vecteur nul et les opposés doivent exister : un ensemble qui ne contient pas zéro ne peut pas être un sous-espace.

Combinaisons et bases

Une combinaison linéaire est une somme de multiples de vecteurs. Une base est libre et génératrice ; en dimension finie, son nombre de vecteurs est la dimension, et chaque vecteur y a des coordonnées uniques.

Chaque règle compte

Le laboratoire le montre : en retirer une seule laisse passer des structures absurdes, comme une multiplication qui écrase tout sur 0.

Pas seulement des flèches

Une fonction, un polynôme, une suite ou une matrice peuvent jouer le rôle de vecteur. Le « vecteur nul » peut même être le nombre 1.

Le corps compte

ℂ est de dimension 1 sur ℂ et de dimension 2 sur ℝ. Il faut toujours préciser le corps des scalaires.

Idée centrale : u, v ∈ E et α, β ∈ 𝕂 ⇒ αu + βv ∈ E

Cette stabilité résume l'idée des combinaisons linéaires, mais ne remplace pas les règles de compatibilité de la définition complète.

Repères historiques

1844 — Hermann Grassmann publie sa théorie de l'extension (Ausdehnungslehre), qui manipule déjà des combinaisons linéaires et des sous-espaces, mais reste presque incomprise de ses contemporains.
1888 — Giuseppe Peano, dans son Calcolo geometrico, donne la première définition axiomatique de ce que l'on appelle aujourd'hui un espace vectoriel réel, en signalant déjà que les fonctions et les polynômes en forment.
1918 — Hermann Weyl expose les axiomes d'espace vectoriel au début de Raum, Zeit, Materie, pour fonder la géométrie de la relativité.
1922 — Stefan Banach étudie les espaces vectoriels munis d'une norme, de dimension infinie, ouvrant l'analyse fonctionnelle.
1930 — B. L. van der Waerden, dans Moderne Algebra, installe la définition sur un corps quelconque telle qu'on l'enseigne aujourd'hui.

Pour aller plus loin

Une application linéaire est une application f entre deux espaces vectoriels qui respecte les deux opérations : f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u). Le logarithme du laboratoire en est un bel exemple : il transforme ]0 ; +∞[ muni de ⊕ et ⊙ en ℝ usuel, car ln(xy) = ln x + ln y et ln(x^λ) = λ ln x. Deux espaces reliés par une application linéaire bijective sont dits isomorphes : ils ont exactement la même structure.

Résultat fondamental : deux espaces vectoriels de dimension finie sur le même corps sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension. Ainsi ℝ₂[X], les suites de Fibonacci augmentées d'une troisième direction, ou ℝ³ sont « le même espace » habillé différemment. Le choix d'une base revient précisément à choisir un tel isomorphisme avec 𝕂ⁿ.

Lorsque l'on remplace le corps par un anneau comme ℤ (où l'on ne peut pas toujours diviser), on obtient des modules, dont la théorie est bien plus riche et plus délicate : un module n'a pas toujours de base.