Dans le plan, un vecteur est une flèche que l’on repère par deux nombres ; dans l’espace, par trois. Rien n’empêche d’en prendre quatre, douze ou mille : les règles de calcul restent les mêmes, seul le dessin devient impossible. Cette page montre comment on continue à raisonner — et même à « voir » — quand la dimension dépasse trois, puis pourquoi ces espaces servent partout.
Un espace vectoriel est un ensemble d’objets, appelés vecteurs, que l’on sait additionner entre eux et multiplier par un nombre, de façon que les règles habituelles du calcul restent vraies. Pour tous vecteurs u, v, w et tous nombres λ, μ :
| u + v = v + u | l’ordre de l’addition ne compte pas |
| (u + v) + w = u + (v + w) | les parenthèses de l’addition ne comptent pas |
| u + 0 = u et u + (−u) = 0 | il existe un vecteur nul et chaque vecteur a un opposé |
| λ(u + v) = λu + λv et (λ + μ)u = λu + μu | on peut développer |
| λ(μu) = (λμ)u et 1·u = u | les multiplications s’enchaînent normalement |
L’exemple type est ℝⁿ, l’ensemble des listes de n nombres réels, avec le calcul composante par composante. On dit qu’il est de dimension n parce qu’il faut exactement n nombres pour désigner un de ses éléments : ni plus, ni moins. Les cinq planches suivantes rendent cette phrase concrète.
Au-delà de trois dimensions, on ne peut plus tracer de flèche. On dresse alors n axes verticaux côte à côte (les coordonnées parallèles) et l’on marque sur chacun la valeur de la composante correspondante : le vecteur devient une ligne brisée. La combinaison w = λu + μv se calcule axe par axe, exactement comme dans le plan — la petite figure de droite montre ce qui se passe sur les deux premières coordonnées, où la flèche existe encore.
À retenir. Chaque axe est indépendant des autres : la ligne rouge se construit en ne regardant, sur chaque axe, que les points bleu et vert de cet axe. C’est pour cela que la dimension ne change rien aux règles : ajouter un axe ajoute une colonne au calcul, pas une difficulté. La longueur se calcule encore par Pythagore, appliqué autant de fois qu’il y a de coordonnées supplémentaires.
Des vecteurs sont liés si l’un d’eux peut se fabriquer avec les autres ; sinon ils sont libres. Pour le savoir, on les écrit en lignes et on les échelonne par la méthode de Gauss. La partie droite du tableau, en violet, garde la trace des mélanges effectués : quand une ligne de gauche devient entièrement nulle, sa partie droite donne la recette qui annule la combinaison. Le nombre de pivots est le rang : c’est la dimension de l’espace engendré.
À retenir. Il ne peut y avoir qu’un pivot par colonne, donc au plus n pivots : dans ℝⁿ, toute famille de plus de n vecteurs est liée, quel que soit le tirage (essayez k = n + 1). À l’inverse, n vecteurs libres forment une base : tout vecteur s’écrit alors d’une seule façon avec eux. Toutes les bases ont le même nombre d’éléments, et ce nombre commun est la dimension.
L’hypercube de dimension n a pour sommets les 2ⁿ listes formées de +1 et de −1. Deux sommets sont reliés s’ils ne diffèrent que par une coordonnée ; chaque couleur d’arête correspond à une direction de la base. On le projette ici sur la feuille en le faisant tourner dans plusieurs plans à la fois : la figure semble se retourner sur elle-même, mais aucune arête ne change de longueur dans l’espace de départ.
Tirons au hasard des couples de vecteurs dans ℝᴺ et mesurons l’angle qui les sépare. Dans le plan, tous les angles sont également probables ; en grande dimension, presque tous les couples sont à peu près perpendiculaires. La courbe noire est la loi exacte, proportionnelle à sinᴺ⁻²θ.
À retenir. Les formules se prolongent sans effort — nombre de faces, angles, volumes — mais l’intuition, elle, doit être corrigée : en dimension élevée, la boule inscrite dans le cube n’en occupe presque rien, le volume d’une boule se loge presque entièrement près de sa surface, et deux directions prises au hasard sont presque toujours orthogonales. C’est ce qu’on appelle la malédiction de la dimension, et c’est aussi ce qui rend possibles certaines méthodes de compression et de recherche.
Voici N mesures bruitées. Rangées dans une liste, elles forment un seul vecteur y de ℝᴺ. Les polynômes de degré d évalués aux mêmes abscisses forment un sous-espace de dimension d + 1 seulement. Le meilleur ajustement est la projection orthogonale p de y sur ce sous-espace, obtenue en rendant la base orthonormée par Gram-Schmidt. Les vecteurs 0, p et y sont dans un même plan : la figure de droite le dessine en vraie grandeur, quelle que soit la valeur de N.
À retenir. Le résidu r = y − p est perpendiculaire à tout le sous-espace : c’est ce qui fait de p le point le plus proche, par le même théorème de Pythagore que dans le plan. Avec d = 0, la projection est simplement la moyenne des mesures. Avec d = N − 1, le sous-espace remplit tout ℝᴺ : le résidu s’annule et la courbe passe par tous les points, bruit compris — elle n’explique plus rien. Remarquez aussi que les équations normales, qui passent par AᵀA, perdent des chiffres quand le degré monte, alors que Gram-Schmidt les conserve.
Un son échantillonné, une image, un texte, un panier de marchandises : dès que l’on peut additionner des objets et les multiplier par un nombre, ils vivent dans un espace vectoriel, souvent de très grande dimension. Deux exemples le montrent de près.
Un signal de 64 mesures est un point de ℝ⁶⁴. On peut le décrire dans la base usuelle (une mesure par coordonnée) ou dans une base orthonormée de 64 cosinus de fréquences croissantes. Dans cette seconde base, peu de coordonnées sont grandes : en ne gardant que les K plus fortes, on reconstitue presque tout le signal. C’est le principe du format JPEG et de la compression audio.
Chaque mot du vocabulaire devient une direction de l’espace ; un texte devient le vecteur qui compte ses mots. Deux textes proches pointent dans des directions voisines, et l’on mesure leur ressemblance par le cosinus de l’angle qu’ils forment : 1 s’ils vont dans le même sens, 0 s’ils sont perpendiculaires, c’est-à-dire sans mot commun. Les moteurs de recherche et les modèles de langage reposent sur cette idée, avec des espaces de centaines de dimensions.
À retenir. Changer de base orthonormée ne change pas les longueurs (égalité de Parseval, vérifiée ci-dessus à la précision de la machine) : l’erreur de compression est exactement la somme des carrés des coordonnées abandonnées. Choisir une bonne base, c’est choisir celle où l’information se concentre sur peu de coordonnées ; mesurer une ressemblance, c’est mesurer un angle. La géométrie du plan, transportée en dimension n, devient ainsi un outil de calcul.
Physique. L’état d’un système de k particules se décrit par 6k nombres (positions et vitesses) : un point d’un espace de dimension 6k. En mécanique quantique, les états eux-mêmes sont des vecteurs.
Statistique. Un individu décrit par p variables est un point de ℝᵖ ; l’analyse en composantes principales cherche le plan qui en montre le mieux le nuage.
Économie. Un panier de n marchandises est un vecteur de quantités ; son coût est le produit scalaire avec le vecteur des prix.
Images et sons. Une photo de 1000 × 1000 pixels en couleurs est un point de ℝ³⁰⁰⁰⁰⁰⁰ ; la compression consiste à changer de base.
Calcul scientifique. Résoudre un système de n équations linéaires, c’est décomposer un vecteur de ℝⁿ sur les colonnes d’une matrice.
Intelligence artificielle. Les modèles de langage représentent chaque mot par un vecteur de plusieurs centaines de coordonnées ; la proximité de sens devient une proximité d’angle.