Algèbre linéaire

Espaces préhilbertiens réels et complexes

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel dans lequel on sait mesurer des longueurs et des angles grâce à un produit scalaire. C'est la géométrie d'Euclide transportée partout : dans le plan, chez les nombres complexes, chez les fonctions, en statistique et jusqu'en mécanique quantique. Cinq planches pour la construire et s'en servir.

En une phrase

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive : ⟨x, x⟩ > 0 dès que x ≠ 0. Un espace vectoriel muni d'un tel produit est dit préhilbertien. Sur ℂ, il faut conjuguer l'un des deux vecteurs pour que ⟨z, z⟩ reste un réel positif : on parle alors de produit hermitien. Dans les deux cas, on obtient une norme ‖x‖ = √⟨x, x⟩, des angles, l'orthogonalité et le théorème de Pythagore.

Notion	Cas réel	Cas complexe (linéaire à droite)	Planche
Produit	⟨x, y⟩ = Σ xₖyₖ	⟨x, y⟩ = Σ xₖ yₖ	1, 2
Symétrie	⟨y, x⟩ = ⟨x, y⟩	⟨y, x⟩ = ⟨x, y⟩	2
Cauchy-Schwarz	\|⟨x, y⟩\| ≤ ‖x‖ ‖y‖, égalité si et seulement si x et y sont colinéaires		1, 2
Base orthonormée	obtenue à partir de n'importe quelle base par le procédé de Gram-Schmidt		3
Meilleure approximation	la projection orthogonale sur un sous-espace minimise la distance (Pythagore)		4, 5

Animation : à gauche, deux vecteurs orthogonaux du plan ; à droite, deux fonctions orthogonales sur [−π, π] pour le produit ⟨f, g⟩ = ∫ f g. Le même théorème de Pythagore, ‖f + g‖² = ‖f‖² + ‖g‖², s'y vérifie à chaque instant : les intégrales sont recalculées en direct.

Le produit scalaire : longueurs, angles et l'inégalité de Cauchy-Schwarz

L'idée : le produit scalaire usuel n'est pas le seul. Toute matrice symétrique G définie positive en fournit un, ⟨u, v⟩ = uᵀG v. Le « cercle unité » devient une ellipse, l'orthogonalité change d'allure, mais toutes les règles d'Euclide continuent de marcher. Et si G cesse d'être définie positive, elles s'effondrent : c'est l'expérience à faire.

⟨u, v⟩ = a u₁v₁ + b(u₁v₂ + u₂v₁) + c u₂v₂, ‖u‖ = √⟨u, u⟩, cos θ = ⟨u, v⟩ / (‖u‖ ‖v‖)

La preuve de Cauchy-Schwarz tient en une ligne : pour tout réel t, ‖v − t u‖² ≥ 0. Ce trinôme en t ne peut pas changer de signe, donc son discriminant 4⟨u, v⟩² − 4‖u‖²‖v‖² est négatif ou nul. Son minimum est atteint en t* = ⟨u, v⟩/‖u‖², c'est-à-dire à la projection orthogonale de v sur u.

En bleu, le « cercle » ‖x‖ = 1 de ce produit (le cercle euclidien en gris pointillé). Déplacez u et v. La projection p de v sur u et le segment v − p, orthogonal à u pour ce produit : il suit la droite violette pointillée, l'orthogonal de u.

Le trinôme t ↦ ‖v − t u‖². Tant que le produit est défini positif, la parabole reste au-dessus de 0 et son minimum (point violet) est atteint en t*. Si l'on perd la positivité, elle passe sous l'axe (zone rouge) et la preuve tombe.

Nature de G (ac − b²)—

⟨u, v⟩ ; ‖u‖ ; ‖v‖—

Angle θ entre u et v (pour ce produit)—

|⟨u, v⟩| / (‖u‖ ‖v‖) ici · maximum sur 5000 couples au hasard—

Minimum du trinôme : section dorée / formule ‖v‖² − ⟨u,v⟩²/‖u‖²—

Pythagore : ‖p‖² + ‖v − p‖² − ‖v‖² ; ⟨u, v − p⟩—

Parallélogramme ‖u+v‖² + ‖u−v‖² − 2‖u‖² − 2‖v‖² : ce produit / norme ‖·‖₁—

Inégalité triangulaire : ‖u‖ + ‖v‖ − ‖u + v‖—

À retenir. Les trois exigences du produit scalaire — bilinéaire, symétrique, défini positif — suffisent pour retrouver Cauchy-Schwarz, l'inégalité triangulaire et Pythagore. L'identité du parallélogramme fait le tri entre les normes : elle est vraie pour toute norme issue d'un produit scalaire, et fausse pour la norme ‖x‖₁ = |x₁| + |x₂| (théorème de Jordan et von Neumann, 1935). Essayez « Plus un produit scalaire » : le maximum de |⟨u, v⟩| / (‖u‖ ‖v‖) dépasse 1.

Le cas complexe : pourquoi il faut conjuguer

L'idée : dans ℂ², si l'on recopiait la formule réelle, z₁² + z₂² ne serait en général même pas un réel, et le vecteur (1, i) aurait une « longueur au carré » égale à 1 + i² = 0 sans être nul. On conjugue donc le premier vecteur : zz = |z|² est toujours un réel positif.

⟨u, v⟩ = u₁ v₁ + u₂ v₂, ‖u‖² = |u₁|² + |u₂|², ⟨v, u⟩ = ⟨u, v⟩

Le produit hermitien est linéaire par rapport au second vecteur et semi-linéaire par rapport au premier : ⟨λu, v⟩ = λ⟨u, v⟩. Il donne un nombre complexe : son module mesure à quel point les deux vecteurs sont alignés, son argument le décalage de phase entre eux. Sa partie réelle est le produit scalaire ordinaire de ℝ⁴ (ℂ² vu comme quatre coordonnées réelles).

Un vecteur de ℂ² est un couple de nombres complexes : deux flèches, une dans chaque plan. Déplacez les composantes de u et de v.

Le nombre ⟨u, v⟩ construit bout à bout : ū₁v₁ puis ū₂v₂, somme en rouge. Il reste toujours dans le disque vert de rayon ‖u‖ ‖v‖ (Cauchy-Schwarz). Point violet creux : ⟨v, u⟩, le conjugué ; point gris : la formule sans conjugaison.

phase α (°) appliquée à v

⟨u, v⟩—

⟨v, u⟩ et écart au conjugué de ⟨u, v⟩—

‖u‖² ; ‖v‖² (réels positifs)—

Sans conjugaison : u₁² + u₂²—

|⟨u, v⟩| / (‖u‖ ‖v‖)—

Re⟨u, v⟩ − produit scalaire de ℝ⁴—

Polarisation ¼ Σ i⁻ᵏ ‖u + iᵏv‖² − ⟨u, v⟩—

Effet de la phase α : |⟨u, v⟩| ; arg décalé de α (écart)—

Le module et la phase. Multiplier v par e^iα fait tourner ⟨u, v⟩ de l'angle α sans changer son module : deux vecteurs qui ne diffèrent que par un facteur de phase sont « le même » pour toute mesure de module. C'est exactement ce qu'exploite la mécanique quantique (planche 5). Le bouton « u = (1, i) » montre l'échec de la formule sans conjugaison : u₁² + u₂² = 0 pour un vecteur non nul.

Gram-Schmidt : fabriquer une base orthonormée

L'idée : on part de n'importe quels vecteurs indépendants et on les redresse un par un. À chaque étape, on retire au nouveau vecteur son « ombre » (sa projection) sur ceux déjà traités, puis on ramène sa longueur à 1. Le procédé ne fait appel qu'au produit scalaire : il marche donc dans tout espace préhilbertien, y compris pour des fonctions (planche 4).

wₖ = vₖ − Σ_j<k ⟨eⱼ, vₖ⟩ eⱼ, eₖ = wₖ / ‖wₖ‖, soit A = Q R

Scène à faire tourner. Vecteurs de départ en gris, projections en violet, vecteurs redressés w en orange, base finale e₁, e₂, e₃.

À gauche, la matrice de Gram ⟨eᵢ, eⱼ⟩ des vecteurs déjà construits : elle doit être l'identité. À droite, la matrice triangulaire R, dont les coefficients Rᵢⱼ = ⟨eᵢ, vⱼ⟩ sont précisément les ombres retirées.

—

étape

Läuchli : log₁₀ ε

max |QᵀQ − I| (orthonormalité)—

max |QR − A| (reconstruction)—

R₁₁R₂₂R₃₃ − |det A| (volume conservé)—

‖w₃‖ : hauteur de v₃ au-dessus du plan (v₁, v₂)—

Läuchli dans ℝ⁴ : perte d'orthogonalité, version classique—

Läuchli : version modifiée (projections retirées une à une)—

Même formule, deux calculs. En arithmétique exacte, retirer toutes les ombres d'un coup (version classique) ou une à une en réactualisant le vecteur (version modifiée) revient au même. En machine, sur les vecteurs de Läuchli (1, ε, 0, 0), (1, 0, ε, 0), (1, 0, 0, ε) avec ε = 10⁻⁸, la version classique rend deux vecteurs dont le produit scalaire vaut 0,5 — ils font un angle de 60° au lieu de 90° — alors que la version modifiée reste orthogonale à 7·10⁻⁹ près. Le produit R₁₁R₂₂R₃₃ redonne le volume |det A| : redresser ne change pas le volume.

Les fonctions comme vecteurs : approcher par projection

L'idée : les fonctions continues sur [−π, π] forment un espace vectoriel, et ⟨f, g⟩ = ∫_−π^π f(x) g(x) dx en fait un espace préhilbertien de dimension infinie. Approcher f au mieux par une combinaison de quelques fonctions simples, c'est la projeter orthogonalement sur leur sous-espace : on calcule les coefficients cₖ = ⟨eₖ, f⟩ dans une base orthonormée, et la somme partielle Sₙ = Σ cₖ eₖ est la meilleure approximation possible au sens de la norme ‖·‖.

‖f‖² = Σ_k≤N cₖ² + ‖f − Sₙ‖² (Pythagore), Σ cₖ² ≤ ‖f‖² (Bessel)

Deux bases orthonormées au choix : la base trigonométrique de Fourier (1, cos kx, sin kx, normalisées) et les polynômes de Legendre, que la page fabrique elle-même en appliquant Gram-Schmidt à 1, x, x², … avec ce produit intégral. Les intégrales sont calculées par la méthode de Gauss-Legendre à 1280 points.

La fonction f (noir), sa projection Sₙ et l'erreur f − Sₙ.

En haut, la part de ‖f‖² captée par chaque fréquence (ou chaque degré). En bas, l'erreur ‖f − Sₙ‖² en échelle logarithmique selon N.

fonction

base

‖f‖² ; Σ cₖ² (énergie captée)—

Erreur ‖f − Sₙ‖² (calculée directement)—

Pythagore : ‖f‖² − Σ cₖ² − ‖f − Sₙ‖²—

Erreur orthogonale à la base : max |⟨eₖ, f − Sₙ⟩|—

On décale c₁ de δ = 0,1 : hausse de l'erreur − δ²—

Base complexe e^{ikx} : Σ |dₖ|² − Σ cₖ²—

Base fabriquée : max |⟨eᵢ, eⱼ⟩ − δᵢⱼ|—

Vitesse : log₂(erreur(N) / erreur(2N)) (Fourier)—

Ce que dit la mesure. L'erreur est orthogonale à toutes les fonctions de la base, et décaler un seul coefficient augmente l'erreur d'exactement δ² : la projection est bien le meilleur choix. La vitesse dépend de la régularité. Avec Fourier et N = 20, quand N double, l'erreur au carré est divisée par 2 pour le créneau et la dent de scie (log₂ mesuré 0,999 et 0,982 : il y a un saut), par 8 pour le triangle (2,995 : seulement un angle). La bosse commence par s'effondrer (9,0 à N = 5), puis ralentit : recopiée périodiquement, elle garde un minuscule défaut de pente en ±π. Le passage à la base complexe e^ikx ne change rien à l'énergie captée : c'est la même projection, écrite autrement.

Signature : projeter pour comprendre

Trois situations où la géométrie préhilbertienne fait tout le travail : une probabilité quantique est le carré d'un produit hermitien ; une régression est une projection orthogonale ; et l'espace des fonctions continues a des « trous » qui expliquent pourquoi on a inventé les espaces de Hilbert.

L'état d'un qubit est un vecteur unitaire ψ de ℂ², défini à un facteur de phase près. Si l'on teste s'il est dans l'état χ, la réponse est « oui » avec la probabilité |⟨χ, ψ⟩|² (règle de Born). Chaque état se représente par un point de la sphère de Bloch ; la probabilité vaut alors (1 + cos Ω)/2, où Ω est l'angle entre les deux points. L'évolution dans le temps est une transformation unitaire : elle conserve le produit hermitien, donc la norme 1.

Sphère de Bloch (à faire tourner) : l'état ψ(t) tourne autour de l'axe choisi et décrit le cercle bleu ; l'état testé χ est fixe. En haut |0⟩, en bas |1⟩.

Probabilité |⟨χ, ψ(t)⟩|² sur un tour complet. Les points sont des fréquences observées sur 200 mesures simulées à chaque instant : le hasard quantique se range sur la courbe.

θ de ψ₀ (°)

φ de ψ₀ (°)

θ de χ (°)

φ de χ (°)

phase globale γ (°)

axe de rotation

ψ(t) = (ψ₁ ; ψ₂)—

‖ψ(t)‖² − 1 (unitarité)—

⟨χ, ψ(t)⟩—

Probabilité |⟨χ, ψ⟩|²—

Par la sphère : (1 + r_χ·r_ψ)/2 − |⟨χ, ψ⟩|²—

Avec la phase globale e^{iγ}ψ : écart de probabilité—

Fréquence sur 2000 mesures simulées à cet instant—

Douze mesures y₁, …, y₁₂ forment un vecteur de ℝ¹². Les polynômes de degré d évalués aux mêmes abscisses forment un sous-espace de dimension d + 1. Ajuster une courbe « au sens des moindres carrés », c'est projeter orthogonalement y sur ce sous-espace : le résidu r = y − ŷ est alors orthogonal à toutes les colonnes. La page projette par Gram-Schmidt modifié (A = QR, puis ŷ = QQᵀy).

Faites glisser les points verticalement. Courbe ajustée, résidus en rouge.

degré d

‖r‖² (somme des carrés des résidus)—

Orthogonalité : max |Aᵀr|—

Pythagore : ‖y‖² − ‖ŷ‖² − ‖r‖²—

Coefficients QR − équations normales AᵀAβ = Aᵀy—

On décale la constante de 0,01 : hausse de ‖r‖² − 12 × 0,01²—

Les fonctions fₙ(x) = th(nx) sont continues sur [−1, 1]. Pour la norme ‖f‖ = (∫ f²)^1/2, elles se rapprochent les unes des autres (‖fₙ − f₂ₙ‖ → 0) et de la fonction signe. Mais la fonction signe n'est pas continue : la suite « converge » vers un point qui n'est pas dans l'espace. Un espace préhilbertien où cela n'arrive jamais est dit complet : c'est un espace de Hilbert. On bouche les trous de C([−1, 1]) en passant à L²([−1, 1]).

th(nx) pour le n courant, les rangs précédents en clair, et la fonction signe en rouge pointillé.

Échelles logarithmiques : distance intégrale ‖fₙ − signe‖ (bleu) et ‖fₙ − f₂ₙ‖ (violet), qui tendent vers 0 ; distance uniforme sup |fₙ − signe| (orange), bloquée à 1.

log₁₀ n

n—

‖fₙ − f₂ₙ‖—

‖fₙ − signe‖—

n ‖fₙ − signe‖² et sa limite 2(2 ln 2 − 1)—

Pente log-log mesurée de ‖fₙ − signe‖—

sup |fₙ − signe| (au voisinage de 0⁺)—

Une seule géométrie. Dans les trois onglets, tout se ramène à un produit scalaire ou hermitien : une probabilité est le carré du module d'un produit hermitien, une régression est une projection dont le résidu est orthogonal au sous-espace (à 10⁻¹⁵ près ici), et la complétude décide si les suites qui « devraient » converger convergent vraiment. La norme intégrale de th(nx) − signe décroît comme n^−1/2 (pente mesurée −0,50), alors que la distance uniforme reste égale à 1 : deux normes, deux verdicts.

Repères historiques

1799Parseval énonce l'identité qui porte son nom pour les séries trigonométriques : l'énergie d'une fonction est la somme des énergies de ses composantes.

1805Legendre publie la méthode des moindres carrés ; Gauss la justifie par les probabilités en 1809.

1821Cauchy démontre l'inégalité pour les sommes finies dans son Cours d'analyse.

1859Bouniakovski l'étend aux intégrales ; Schwarz la redécouvre en 1888 avec la preuve par le trinôme de la planche 1.

1883Gram orthogonalise des fonctions pour les moindres carrés ; Erhard Schmidt formule en 1907 le procédé général de la planche 3.

1904Hilbert, étudiant les équations intégrales, travaille dans l'espace des suites de carré sommable ; Riesz et Fischer montrent en 1907 que L² est complet.

1929Von Neumann donne la définition abstraite de l'espace de Hilbert, puis en 1932 en fait le cadre de la mécanique quantique.

1935Jordan et von Neumann caractérisent les normes issues d'un produit scalaire par l'identité du parallélogramme.

Synthèse

Un produit, toute la géométrie

Bilinéaire (ou sesquilinéaire), symétrique (ou hermitien), défini positif : de ces trois propriétés sortent la norme, l'angle, Cauchy-Schwarz, l'inégalité triangulaire et Pythagore.

Conjuguer en complexe

La conjugaison garantit ⟨z, z⟩ ≥ 0. Le produit hermitien est un nombre complexe : son module mesure l'alignement, son argument le décalage de phase.

Projeter, c'est approcher

Gram-Schmidt fournit des bases orthonormées ; la projection orthogonale donne la meilleure approximation, de la régression aux séries de Fourier. La complétude sépare le préhilbertien du hilbertien.

Pour aller plus loin

Espaces de Hilbert. ℓ² (suites de carré sommable) et L² (fonctions de carré intégrable) sont complets. Tout espace préhilbertien se complète en un espace de Hilbert, comme ℚ se complète en ℝ.

Théorème de projection. Dans un espace de Hilbert, tout point a une unique projection sur un convexe fermé ; dans un préhilbertien, elle peut ne pas exister si le sous-espace n'est pas complet.

Théorème de Riesz. Toute forme linéaire continue sur un espace de Hilbert s'écrit x ↦ ⟨a, x⟩ : le dual s'identifie à l'espace lui-même.

Endomorphismes autoadjoints. Un opérateur vérifiant ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ a des valeurs propres réelles et une base orthonormée de vecteurs propres : c'est le théorème spectral, fondement des observables quantiques.

Polynômes orthogonaux. En changeant le poids de l'intégrale, Gram-Schmidt engendre les polynômes de Tchebychev, d'Hermite ou de Laguerre, à la base des quadratures de Gauss utilisées dans cette page.