Algèbre linéaire

Espaces vectoriels hermitiens

Un espace hermitien est l'analogue complexe d'un espace euclidien : un espace vectoriel sur ℂ, de dimension finie, muni d'un produit hermitien. Les nombres complexes y apportent une phase qui rend les calculs plus simples, pas plus compliqués : toute matrice y a des valeurs propres, les rotations deviennent diagonales, et les matrices hermitiennes et unitaires gouvernent la transformée de Fourier, l'optique de la polarisation et la mécanique quantique.

En une phrase

Sur ℂⁿ, le produit hermitien canonique est ⟨x, y⟩ = Σ xₖ yₖ (conjugué à gauche, linéaire à droite) et ‖x‖² = Σ |xₖ|². L'adjointe d'une matrice A est sa transposée conjuguée A* : c'est la matrice qui vérifie ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, A*y⟩. Trois familles de matrices en découlent.

Famille	Définition	Valeurs propres	Image géométrique	Planche
Unitaire	U*U = I	sur le cercle \|λ\| = 1	conserve les longueurs : rotations complexes	1, 2
Hermitienne	H* = H	réelles	étirements selon des axes orthogonaux ; observables quantiques	3
Normale	AA = AA	quelconques	exactement les matrices diagonalisables en base orthonormée	4

Animation : un vecteur E = (E_x, E_y) de ℂ² décrit l'état de polarisation d'une onde lumineuse. Le champ réel Re(E e^−iωt) tourne sur une ellipse. Trois vecteurs de même norme ‖E‖ = 1, donc de même intensité, mais de phases relatives différentes : polarisation rectiligne, circulaire, elliptique.

La base de Fourier : une base orthonormée de ℂᴺ

L'idée : les vecteurs fₖ dont les composantes sont les puissances d'une racine de l'unité, fₖ[j] = e^2iπjk/N/√N, sont des « horloges » qui tournent à des vitesses différentes. Ils forment une base orthonormée de ℂᴺ — mais seulement si l'on conjugue. Le produit ⟨fₗ, fₖ⟩ est une somme de N petits vecteurs de même longueur 1/N mis bout à bout : quand k ≠ l, ils forment un polygone régulier qui se referme, et la somme est nulle.

⟨fₗ, fₖ⟩ = (1/N) Σ_j e^{2iπj(k−l)/N} = δ_kl, x = Σ ⟨fₖ, x⟩ fₖ (transformée de Fourier discrète)

En haut, les composantes de f_k et de f_l, une horloge par composante. En bas, la matrice de Gram (module de ⟨fᵢ, fⱼ⟩ pour tous les couples) ; la case (l, k) est encadrée en rouge.

Les N termes fₗ[j] fₖ[j] posés bout à bout dans le plan complexe, en animation. Le point rouge est la somme ⟨fₗ, fₖ⟩.

⟨f_l, f_k⟩—

Avec conjugaison : max |⟨fᵢ, fⱼ⟩ − δᵢⱼ|—

Sans conjugaison : max |Σ fᵢ[j] fⱼ[j] − δᵢⱼ|—

Parseval sur un x complexe au hasard : Σ|xⱼ|² − Σ|⟨fₖ, x⟩|²—

Reconstruction ‖x − Σ⟨fₖ, x⟩fₖ‖—

Pourquoi conjuguer. Sans conjugaison, la somme Σ fᵢ[j] fⱼ[j] ne s'annule que si i + j est un multiple de N : la « matrice de Gram » n'est pas l'identité, et même ‖fₖ‖² cesserait de valoir 1. Avec conjugaison, la base est orthonormée à 10⁻¹⁶ près, et la matrice dont les colonnes sont les fₖ est unitaire : c'est la transformée de Fourier discrète. L'identité de Parseval (énergie du signal = énergie des coefficients) n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore dans cette base.

Matrices unitaires : les rotations deviennent diagonales

L'idée : une rotation du plan d'angle θ n'a aucune direction propre réelle, puisqu'elle fait tourner tous les vecteurs. Mais vue dans ℂ², elle en a deux : les vecteurs (1, −i) et (1, i), qu'elle multiplie simplement par e^iθ et e^−iθ. En coordonnées complexes, tourner, c'est multiplier par une phase. Plus généralement, toute matrice unitaire a ses valeurs propres sur le cercle unité et des vecteurs propres orthogonaux.

R(θ) (1, −i) = e^iθ (1, −i), U*U = I ⟹ |λ| = 1, |det U| = 1, ‖Ux‖ = ‖x‖

Les deux composantes du vecteur choisi v (gris, creux) et de son image R(θ)v. Pour un vecteur propre, les deux composantes tournent ensemble du même angle θ : l'image est v multiplié par une phase.

Le cercle unité de ℂ : valeurs propres de la rotation (rouge), d'une matrice unitaire tirée au hasard (bleu) et d'une matrice quelconque obtenue en la perturbant (vert), qui quittent le cercle.

θ (°)

vecteur v

R(θ)v—

R(θ)v − e^{iθ}v ; R(θ)v − e^{−iθ}v—

⟨(1, −i), (1, i)⟩ (vecteurs propres orthogonaux)—

U aléatoire : max |U*U − I| ; |λ₁| − 1 ; |λ₂| − 1—

|det U| − 1 ; ‖Ux‖ − ‖x‖ sur un x au hasard—

Matrice perturbée : |λ₁| ; |λ₂|—

Ce que ℂ apporte. Sur ℂ, tout polynôme a des racines, donc toute matrice a des valeurs propres. La rotation réelle, « non diagonalisable » sur ℝ, devient diag(e^iθ, e^−iθ) dans la base orthonormée ((1, −i)/√2, (1, i)/√2). Une matrice unitaire est la version complexe d'une matrice orthogonale : elle ne change ni les longueurs ni les produits hermitiens, et toutes ses valeurs propres sont des phases pures.

Matrices hermitiennes : des nombres réels venus du complexe

L'idée : pour une matrice hermitienne H = H*, le nombre ⟨x, Hx⟩ est réel quel que soit le vecteur complexe x. On peut le visualiser : en tirant des milliers de vecteurs unitaires au hasard et en plaçant chaque ⟨x, Ax⟩ dans le plan complexe, on dessine l'image numérique de A. Pour une hermitienne, elle se réduit à un segment de l'axe réel, entre la plus petite et la plus grande valeur propre. Dès que A cesse d'être hermitienne, le segment s'épaissit en une ellipse dont les valeurs propres sont les foyers.

H = ( p b + ic ; b − ic s ), A = H + ε ( 0 2 ; 0 0 ), W(A) = { ⟨x, Ax⟩ : ‖x‖ = 1 }

Nuage des valeurs ⟨x, Ax⟩ pour 4000 vecteurs unitaires de ℂ² tirés au hasard (bleu), valeurs propres (rouge) et ellipse prévue par le théorème de l'image elliptique (vert) : foyers λ₁ et λ₂, petit axe √(tr A*A − |λ₁|² − |λ₂|²).

ε (non hermitien)

Valeurs propres λ₁ ; λ₂—

max |Im ⟨x, Ax⟩| sur le nuage—

|⟨v₁, v₂⟩| (vecteurs propres unitaires)—

Étendue réelle du nuage : min / max de Re ⟨x, Ax⟩—

Petit axe prévu √(tr A*A − |λ₁|² − |λ₂|²)—

max (|z − λ₁| + |z − λ₂|) sur le nuage / grand axe prévu—

Le théorème spectral complexe. Une matrice hermitienne a des valeurs propres réelles et une base orthonormée de vecteurs propres (|⟨v₁, v₂⟩| = 0). Son image numérique est exactement le segment [λ_min, λ_max] : la plus grande valeur de ⟨x, Hx⟩ est la plus grande valeur propre. C'est pour cela que la mécanique quantique représente les grandeurs mesurables (énergie, spin…) par des matrices hermitiennes : leurs mesures doivent être des nombres réels. Avec ε > 0, la partie imaginaire apparaît et le nuage remplit l'ellipse annoncée.

Matrices normales ou non : la croissance cachée

L'idée : le théorème de Schur dit que toute matrice complexe est triangulaire dans une base orthonormée bien choisie, A = Q T Q*. Elle est diagonale dans une telle base exactement quand A est normale (A*A = AA*). Les valeurs propres ne disent pas tout : pour le système dx/dt = Ax, deux valeurs propres négatives garantissent que tout finit par s'éteindre, mais une matrice non normale peut d'abord amplifier fortement certaines perturbations.

A = Q ( a k ; 0 d ) Q*, e^tA = Q ( e^at k(e^at − e^dt)/(a − d) ; 0 e^dt ) Q*

Le cercle unité de conditions initiales et son image e^tA(cercle) au temps t (animé), avec les trajectoires en gris et les directions propres en violet pointillé.

Amplification maximale ‖e^tA‖ en fonction de t (bleu), décroissance promise par les valeurs propres e^{t max Re λ} (vert) et borne κ(V) e^{t max Re λ} (orange).

k (non-normalité)

rotation Q (°)

Valeurs propres—

Défaut de normalité ‖A*A − AA*‖—

Angle entre les directions propres—

Amplification maximale ‖e^{tA}‖ et instant t*—

κ(V) ; max sur t de ‖e^{tA}‖ − κ(V)e^{t max Re λ} (≤ 0)—

Formule fermée − Runge-Kutta 4 (t = 1, 2000 pas)—

Ce que les valeurs propres ne disent pas. Avec a = −1, d = −2 et k = 0, la matrice est normale (défaut nul), ses directions propres sont perpendiculaires et le cercle ne fait que rétrécir. Avec k = 8, les valeurs propres sont les mêmes, mais les directions propres se resserrent et le cercle s'étire d'abord en une longue ellipse : certaines perturbations sont amplifiées plus de deux fois avant de s'éteindre. Ce phénomène explique la transition vers la turbulence de certains écoulements que la théorie des valeurs propres prédit stables.

Signature : unitaires et hermitiennes au travail

Trois applications où la géométrie hermitienne fait tout le calcul : défaire un flou grâce à la base de Fourier, faire voyager une particule quantique, et prévoir l'intensité de la lumière à travers des polariseurs.

Flouter un signal périodique, c'est appliquer une matrice circulante C (chaque point est remplacé par une moyenne pondérée de ses voisins). Toutes les matrices circulantes ont les mêmes vecteurs propres : la base de Fourier de la planche 1. Dans cette base, C est diagonale, et ses valeurs propres λₖ sont les coefficients de Fourier du noyau de flou. Défaire le flou, c'est diviser chaque coefficient par λₖ… ce qui amplifie le bruit là où λₖ est minuscule. La régularisation de Tikhonov remplace 1/λₖ par λₖ / (|λₖ|² + α).

Signal d'origine (noir), signal flouté et bruité (points gris), déconvolution naïve (rouge) et régularisée (bleu).

Module des valeurs propres |λₖ| de la matrice de flou selon la fréquence k (barres) et facteur de filtrage |λₖ|²/(|λₖ|² + α) de la régularisation (orange), en échelle logarithmique.

largeur du flou

bruit : log₁₀ σ

régularisation : log₁₀ α

max ‖C fₖ − λₖ fₖ‖ sur les 64 vecteurs de Fourier—

Conditionnement max |λₖ| / min |λₖ|—

Erreur ‖x̂ − x‖ : naïve—

Erreur ‖x̂ − x‖ : régularisée—

Parseval sur le signal flouté : ‖y‖² − Σ|⟨fₖ, y⟩|²—

Une particule quantique sur un anneau de 201 sites saute d'un site à ses voisins. Son état est un vecteur ψ de ℂ²⁰¹ de norme 1, et il évolue par ψ(t) = e^−iHtψ(0), où H = −(décalage à droite + décalage à gauche) est hermitienne ; e^−iHt est donc unitaire. La base de Fourier diagonalise H (valeurs propres −2 cos(2πk/N)), ce qui donne ψ(t) exactement. On compare avec une particule classique qui diffuse au hasard selon la même règle de voisinage (équation de la chaleur).

Probabilité de présence |ψⱼ(t)|² de la particule quantique (bleu) et de la particule classique (vert), partie de la case centrale.

Écart-type de la position : quantique (bleu) contre √2·t (pointillé), classique (vert) contre √(2t).

Temps t—

‖ψ(t)‖² − 1 (unitarité)—

σ quantique / √2·t—

σ classique / √(2t)—

Rapport des écarts-types quantique / classique—

L'état de polarisation d'une onde lumineuse est un vecteur E de ℂ² (vecteur de Jones) et son intensité est ‖E‖². Un polariseur d'axe α est le projecteur orthogonal P = uu* sur u = (cos α, sin α) : une matrice hermitienne avec P² = P. Une lame à retard (quart d'onde, demi-onde) est une matrice unitaire : elle change la polarisation sans rien absorber. Expérience classique : deux polariseurs croisés à 0° et 90° éteignent la lumière, mais en glisser un troisième entre les deux la fait réapparaître.

L'ellipse de polarisation après le premier polariseur (0°), après l'élément central, puis après le polariseur croisé (90°). La flèche rouge est le champ réel à l'instant présent ; l'axe de chaque élément est en pointillé.

élément central

axe θ (°)

Intensités : après 0° / après l'élément / après 90°—

Formule théorique − intensité finale calculée—

Élément central : max |M* − M| et |M² − M| (polariseur) ou |M*M − I| (lame)—

Polarisation après l'élément—

Une seule géométrie, trois mondes. La base de Fourier diagonalise tout ce qui est invariant par décalage (flous, différences finies, hamiltonien d'un anneau). Une évolution unitaire conserve la probabilité totale à 10⁻¹⁵ près, et la particule quantique s'étale en √2·t (propagation balistique, à vitesse constante) quand la particule classique ne s'étale qu'en √(2t). Les polariseurs sont des projecteurs hermitiens : à 45°, le polariseur intercalé laisse passer cos²45°·sin²45° = 1/4 de l'intensité, là où les deux polariseurs croisés seuls ne laissaient rien.

Repères historiques

1855Hermite étudie les formes Σ aᵢⱼ xᵢ xⱼ avec aⱼᵢ = aᵢⱼ et montre que leurs valeurs propres sont réelles.

1909Schur démontre que toute matrice complexe se triangularise dans une base orthonormée (planche 4).

1918Toeplitz introduit l'image numérique ; Hausdorff prouve en 1919 qu'elle est convexe (planche 3).

1925Heisenberg, Born et Jordan formulent la mécanique quantique avec des matrices hermitiennes ; Schrödinger publie son équation en 1926.

1932Von Neumann fonde la mécanique quantique sur les espaces hermitiens et de Hilbert : états = vecteurs unitaires, observables = opérateurs hermitiens.

1941R. Clark Jones invente le calcul matriciel de la polarisation : vecteurs de ℂ² et matrices 2 × 2 (planche 5).

1965Cooley et Tukey publient la transformée de Fourier rapide, qui applique la matrice unitaire de Fourier en N log N opérations.

1998Farhi et Gutmann proposent les marches quantiques en temps continu, à la base de plusieurs algorithmes quantiques (planche 5).

Synthèse

Conjuguer et adjoindre

Le produit hermitien conjugue le premier vecteur pour que ‖x‖² soit réel positif. L'adjointe A* (transposée conjuguée) joue le rôle que la transposée joue dans les espaces euclidiens.

Unitaires, hermitiennes, normales

Unitaire : valeurs propres de module 1, longueurs conservées. Hermitienne : valeurs propres réelles, base orthonormée de vecteurs propres. Normale : exactement les matrices diagonalisables en base orthonormée.

La base de Fourier partout

Elle est unitaire, diagonalise toutes les opérations invariantes par décalage et transforme la convolution en multiplication : flou, filtrage, propagation d'ondes, évolution quantique.

Pour aller plus loin

Exponentielle d'une hermitienne. Si H est hermitienne, e^iHt est unitaire, et toute matrice unitaire s'écrit ainsi : c'est le lien entre observables et évolutions en mécanique quantique (théorème de Stone en dimension infinie).

Théorème de Courant-Fischer. Les valeurs propres d'une hermitienne sont des min-max du quotient de Rayleigh ⟨x, Hx⟩/‖x‖² : elles se comportent continûment quand on perturbe la matrice (inégalités de Weyl).

Pseudo-spectre. Pour les matrices non normales, on étudie l'ensemble des z où ‖(zI − A)⁻¹‖ est grand : il rend compte de la croissance transitoire de la planche 4 (Trefethen et Embree).

Décomposition en valeurs singulières complexe. Toute matrice complexe s'écrit UΣV* avec U, V unitaires : c'est la version hermitienne de la décomposition polaire.

Sphère de Poincaré. Les états de polarisation normalisés, à une phase près, forment une sphère : c'est la même construction que la sphère de Bloch des qubits.