Vue d'ensemble — analyse et équations différentielles
Comment tout se tient : de la dérivée à la classification des grandes équations de la physique
Cette page ne traite pas une technique en particulier — elle situe. Le calcul infinitésimal fournit le vocabulaire (dérivée, limite, développement de Taylor) ; une équation différentielle est simplement une relation entre une fonction inconnue et ses dérivées. Quand la fonction ne dépend que d'une seule variable, on parle d'équation différentielle ordinaire (EDO) ; dès qu'elle dépend de plusieurs variables (l'espace et le temps, par exemple), ses dérivées deviennent partielles et l'équation devient une équation aux dérivées partielles (EDP). Ce déplacement — une variable puis plusieurs — est le fil directeur des cinq planches qui suivent, jusqu'à la classification des trois grandes familles d'EDP et à la carte qui referme la page.
Une seule variable indépendante donne un champ de pentes ; deux variables donnent des droites caractéristiques dans le plan (x,t).
Le long de chaque droite x−ct = const (une caractéristique), u ne varie pas : l'EDP se ramène à une famille d'EDO triviales (du/dt = 0) portées chacune par sa propre droite. C'est la bascule la plus élémentaire entre les deux mondes — une seule variable (le long d'une caractéristique) contre deux (dans le plan entier).
Le schéma numérique le plus naïf (upwind) n'est précis qu'à l'ordre 1 en h — contrairement aux différences centrées d'ordre 2 utilisées ailleurs dans la série (voir chaine-ressorts-onde-v1.html) : la façon de discrétiser change la vitesse de convergence, pas seulement son existence.
pour mémoire — un champ de pentes d'EDO, y′ = −a y + b sin(ωt) : une seule direction en chaque point (t,y)
Quatre questions suffisent à classer n'importe quelle équation, ordinaire ou partielle : ordre, linéarité, homogénéité, nombre de variables.
La linéarité est la propriété qui compte le plus en pratique : elle seule autorise le principe de superposition — additionner deux solutions en donne une troisième — sur lequel reposent séries de Fourier et transformée de Laplace (planche 4).
A uxx + 2B uxy + C uyy = 0 : le signe du discriminant Δ = B² − AC décide de tout.
Pas de temps : c'est un problème aux limites sur un domaine fermé, résolu ici par relaxation de Gauss-Seidel jusqu'à convergence. Bord imposé par la fonction harmonique exacte u=x²−y², ce qui permet un contrôle direct.
Problème de Cauchy (donnée initiale) résolu par différences finies explicites. Stable seulement si r = k·Δt/Δx² ≤ 1/2 : au-delà, un bruit numérique invisible au départ explose exponentiellement — cochez la case pour le voir.
Problème de Cauchy à deux données (position et vitesse initiales), résolu par différences finies explicites, stable si c·Δt/Δx ≤ 1 (condition de Courant). Contrairement à la chaleur, l'énergie se conserve : rien ne s'amortit.
Séparation des variables, discrétisation, noyau intégral — la même équation de la chaleur, résolue trois fois, comparée point par point.
u(x,0) = sin(2πx/L) + 0,5·sin(5πx/L) n'a que deux modes non nuls : la série de Fourier est donc exacte, ce qui en fait la référence à laquelle comparer les deux méthodes numériques.
Une équation de la chaleur alimentée par une source constante, laissée évoluer longtemps, s'installe exactement sur la solution de l'équation de Poisson : le parabolique contient l'elliptique comme limite en temps infini.
u∞ est la parabole exacte solution de l'équation de Poisson stationnaire. L'écart u(·,t) − u∞ se décompose en série de Fourier et s'éteint mode par mode ; le mode le plus lent (n=1) domine tout, et sa vitesse de décroissance e−k(π/L)²t prédit exactement l'écart mesuré — c'est le même calcul spectral qu'en planche 4, appliqué cette fois à la convergence vers l'état stationnaire plutôt qu'à la solution transitoire elle-même.
écart max en fonction du temps (échelle log) ; droite de pente −k(π/L)² en pointillé — la décroissance est exponentielle, pas polynomiale : caractéristique de tout problème parabolique.