Du calcul infinitésimal aux équations aux dérivées partielles
Une seule idée, trois étages : mesurer la variation (calcul infinitésimal), prédire l’évolution d’un système (équations différentielles ordinaires), décrire un milieu continu (équations aux dérivées partielles). Chaque planche ci-dessous est une expérience que l’on peut manipuler ; tous les chiffres affichés sont calculés à la volée et confrontés à une formule exacte.
Introduction
L’édifice continu
Le calcul infinitésimal, les équations différentielles ordinaires (EDO) et les équations aux dérivées partielles (EDP) forment un édifice continu : le premier fournit le langage et les opérations fondamentales, les deuxièmes modélisent la dynamique de systèmes localisés, et les troisièmes étendent ces principes aux milieux continus et aux champs multidimensionnels.
Une même barre chauffée, trois regards. À gauche, on ne regarde qu’un instant et l’on étudie une fonction (pente, aire). Au milieu, on suit un nombre qui change au cours du temps (EDO). À droite, c’est toute la répartition de température qui évolue à la fois dans l’espace et dans le temps (EDP).
Espaces de Sobolev, distributions, méthodes variationnelles
Étage 1 — Le langage
Approcher une fonction par une droite près d’un point, sommer une infinité de petites contributions, et constater que ces deux opérations sont inverses.
Une loi locale « la vitesse dépend de l’état » suffit à déterminer tout l’avenir. Mais les formules explicites s’épuisent : Poincaré invente le regard qualitatif.
Le calcul infinitésimal : la grammaire de la variation
Initié par Newton et Leibniz, puis formalisé au XIXᵉ siècle par Cauchy et Weierstrass, le calcul infinitésimal résout deux problèmes géométriques complémentaires : zoomer sur une courbe jusqu’à la confondre avec une droite (calcul différentiel, local), et sommer une infinité de petites contributions pour mesurer une accumulation (calcul intégral, global).
A · Le local. La corde (orange) joint le point P au point Q d’abscisse x₀ + h ; quand h → 0 elle se couche sur la tangente (rouge).
B · Le global. L’aire sous f entre 0 et x₀ est approchée par n rectangles ; l’erreur se divise par deux quand on double n.
C · Le pont. La fonction « aire accumulée » F(x) = ∫₀ˣ f a pour pente en x₀ précisément f(x₀) : c’est le théorème fondamental.
D · Au-delà de la droite : Taylor. Le polynôme de degré k en x₀ épouse sin x de mieux en mieux ; le cadre gris est la borne de Lagrange.
Pente de la corde (f(x₀+h) − f(x₀))/h—
Dérivée exacte f′(x₀)—
Écart courbe–tangente en x₀+h—
(pente corde − f′) / h contre f″/2—
Somme de rectangles Sn (à gauche)—
∫₀ˣ⁰ f par Simpson (2000 pas) · exacte F(x₀)—
n·(Sn − ∫) contre −x₀(f(x₀) − f(0))/2—
Pente de F (différences centrées) · f(x₀)—
Taylor : écart max sur [x₀−1,5 ; x₀+1,5] · borne—
À retenir. Dériver, c’est remplacer localement une fonction par sa meilleure approximation affine ; intégrer, c’est accumuler. Le théorème fondamental de l’analyse dit que ces deux gestes sont inverses : (∫ₐˣ f)′ = f(x). C’est la passerelle qui permet de remonter d’un taux de variation instantané à une grandeur globale — et donc, plus tard, de poser des équations différentielles.
Planche 2
Les équations différentielles ordinaires : la dynamique ponctuelle
Une EDO relie une fonction d’une seule variable à ses dérivées successives :
F(t, y(t), y′(t), …, y(n)(t)) = 0
Née avec la mécanique newtonienne (F = m d²x/dt²), elle permet de prédire l’évolution temporelle d’un système à un nombre fini de degrés de liberté : oscillateurs, mécanique céleste, circuits, réactions chimiques. Son théorème central, Cauchy-Lipschitz, dit qu’une condition initiale suffit à tout déterminer — à condition que le second membre soit assez régulier.
A. Un champ de directions, une condition initiale, une solution
Cliquez dans le plan pour choisir la condition initiale (t₀, y₀). Les petits traits sont la pente f(t, y) imposée en chaque point ; la solution exacte (noir) les suit, les schémas numériques Euler, Heun, Runge-Kutta 4 les suivent par petits pas.
Pas h · condition initiale—
Erreur finale Euler · Heun · RK4—
Ordre mesuré (N → 2N)—
Unicité (Cauchy-Lipschitz)—
À retenir. Si f est continue et localement lipschitzienne en y, par chaque point passe une et une seule solution (maximale). Les schémas d’Euler, de Heun et de Runge-Kutta ont pour ordres 1, 2 et 4 : doubler N divise l’erreur par 2, 4 et 16. Avec y′ = 3|y|^(2/3), la dérivée de f en y n’est pas bornée près de 0 : depuis (t₀, 0) la solution peut rester nulle… ou décoller quand elle veut. L’ordinateur, lui, ne voit que la solution nulle. Et avec y′ = y(1 − y) partant de y₀ < 0, la solution explose en temps fini.
B. Poincaré : renoncer à la formule, regarder les trajectoires
Au XIXᵉ siècle, la recherche de solutions par des formules explicites échoue face aux systèmes non linéaires (problème des trois corps). Henri Poincaré fonde alors l’analyse qualitative : on ne cherche plus l’expression exacte de y(t), mais la topologie globale des trajectoires dans l’espace des phases — points d’équilibre, stabilité, cycles limites.
Cliquez pour lancer une trajectoire depuis n’importe quel point. Pendule : centres, col, séparatrice. Proie-prédateur : orbites fermées autour de (1, 1). Van der Pol : un cycle limite attire tout le monde.
Invariant : dérive maximale—
Lecture qualitative—
Van der Pol : amplitude · période mesurées—
C. Le chaos déterministe : tout est déterminé, presque rien n’est prévisible
Le système de Lorenz (σ = 10, ρ = 28, β = 8/3) est une EDO de dimension 3 parfaitement déterministe. Deux trajectoires qui démarrent à une distance δ l’une de l’autre s’écartent pourtant en δ·eλt avec λ ≈ 0,906 : au bout du temps ln(1/δ)/λ, elles n’ont plus rien en commun.
Projection (x, z) : deux trajectoires A et B partant d’un même point de l’attracteur, décalé de δ sur x pour B.
log₁₀ de la distance entre A et B en fonction du temps ; la droite en pointillé a pour pente λ1 = 0,906 (valeur de la littérature).
Temps · distance actuelle—
Temps où la distance atteint 1 (mesuré)—
Taux de croissance mesuré de ln d · λ₁ (moyenne longue)—
Horizon prédit ln(1/δ)/λ₁ (ordre de grandeur)—
À retenir. Après Poincaré, une EDO ne se « résout » plus toujours : on en étudie la géométrie (équilibres, cycles, attracteurs) et la sensibilité aux conditions initiales. Diviser l’erreur initiale par mille ne gagne que ln(1000)/λ ≈ 7,6 unités de temps de prévision : voilà le chaos déterministe.
Planche 3
De l’EDO à l’EDP : le passage à la limite continue
Une EDP n’est pas une créature étrangère aux EDO : c’en est la limite. Prenons une corde tendue et découpons-la en N petites masses m = ρh reliées par des ressorts de raideur T/h (avec h = 1/(N+1)). Chaque masse obéit à une EDO ; l’ensemble forme un système de dimension N :
La fraction (uj+1 − 2uj + uj−1)/h² est exactement la formule de Taylor de la dérivée seconde, avec un reste en h². Le nombre de degrés de liberté devient infini : l’inconnue n’est plus un vecteur de ℝᴺ mais une fonctionu(t, x), et l’espace de phases devient un espace de fonctions.
La corde. Les points bleus sont les N masses (solution exacte de l’EDO de dimension N, par décomposition sur ses modes propres) ; la courbe orange en pointillé est la solution de d’Alembert de l’EDP, u(x, t) = ½[g(x − ct) + g(x + ct)], avec g prolongée en fonction impaire de période 2.
Relation de dispersion. Fréquence de chaque mode : discrète (bleu) ωk = (2c/h) sin(kπh/2), continue (orange) ωk = c kπ. Elles coïncident pour les grandes longueurs d’onde ; les barres grises donnent le poids de chaque mode dans la condition initiale.
Vitesse de convergence. Écart maximal (sur les masses et 40 instants de [0, 2]) entre l’EDO de dimension N et l’EDP, en échelle log-log. Le trait vertical marque le N choisi.
Fréquence du mode 1 : discrète · continue—
Écart relatif du mode k = 1, 2, 3 · prédit −(kπh)²/24—
Écart max masses–d’Alembert à cet instant—
Énergie : écart relatif entre t et 0—
RK4 (pas 0,05/ωmax) contre somme modale à t = 1—
Pente log-log mesurée de l’écart en fonction de N—
À retenir. Passer de N équations différentielles à une équation aux dérivées partielles, c’est passer d’un espace de dimension finie à un espace de dimension infinie. Plus la donnée est lisse, plus l’écart décroît vite avec N (comparez la bosse, de classe C², et le triangle, seulement continu : la pente log-log passe d’environ −1,3 à −2/3) — l’ordre −2 du reste de Taylor n’est atteint que pour une donnée très lisse. Avec une donnée « pincée » (dérivée discontinue), la convergence est nettement plus lente : la régularité de l’inconnue pilote tout, et c’est précisément ce qui poussera l’analyse moderne à inventer d’autres notions de solution (planche 5).
Planche 4
Les EDP : la physique des champs continus
Dès qu’une grandeur dépend de plusieurs coordonnées (par exemple l’espace x et le temps t), les variations se produisent simultanément dans plusieurs directions et l’équation fait intervenir des dérivées partielles :
F(x, t, u, ∂u/∂xi, ∂u/∂t, ∂²u/∂xi∂xj, …) = 0
Malgré leur diversité, la plupart des EDP linéaires du second ordre se rangent en trois comportements universels, comme les coniques se rangent en ellipses, paraboles et hyperboles. Pour a ∂ₓₓu + 2b ∂ₓᵧu + c ∂ᵧᵧu + (termes d’ordre ≤ 1) = 0, c’est le signe du discriminant b² − ac qui décide :
—
● Elliptique — l’équilibre
Équation de Laplace Δu = 0 : régularité maximale, dépendance globale vis-à-vis des conditions aux limites.
Itérations SOR · plus grand incrément—
Écart max à la solution exacte—
Extrema : intérieur · bord—
Moyenne sur le cercle · valeur au centre—
● Parabolique — la diffusion
Équation de la chaleur ∂ₜu − aΔu = 0 : dissipation irréversible, propagation à vitesse infinie, effet lissant immédiat.
Temps · largeur de diffusion √(2at)—
Maximum de u (ne peut que décroître)—
Masse ∫u dx · masse initiale—
u(0,95 ; t), loin des cases—
● Hyperbolique — l’onde
Équation de d’Alembert ∂ttu − c²Δu = 0 : propagation directionnelle à vitesse finie, conservation de l’énergie.
Temps · arrivée du front au point 1,2—
u(1,2 ; t)—
Énergie ½∫(uₜ² + c²uₓ²) dx · écart à t = 0—
À retenir. Trois équations, trois mondes. Laplace : changez le bord et tout l’intérieur bouge ; la valeur en un point est la moyenne sur tout cercle centré en ce point, et il n’y a ni maximum ni minimum à l’intérieur. Chaleur : dès l’instant t > 0, la température est strictement positive même très loin (minuscule au début — de l’ordre de 10⁻⁸⁶ pour le créneau à t = 3·10⁻³ — mais jamais nulle) et le profil s’arrondit ; le temps ne se remonte pas. Ondes : rien n’arrive avant que le cône de dépendance ne touche le point, exactement 0 jusque-là ; l’énergie se conserve, et les singularités voyagent sans se lisser.
Planche 5 · Signature
Quand la solution classique ne suffit plus : l’analyse moderne
Les solutions classiques, de classe Ck (dérivables autant de fois que l’équation l’exige), sont souvent trop restrictives ou inexistantes : ondes de choc, milieux hétérogènes, forces ponctuelles, turbulence. Les EDP ont poussé à réinventer l’analyse au XXᵉ siècle : solutions faibles, théorie des distributions de Laurent Schwartz, géométrie des espaces fonctionnels de dimension infinie (espaces de Sobolev), théorèmes de point fixe et formulation variationnelle de Lax-Milgram. Quatre expériences, du choc à la méthode variationnelle.
A · Le choc de Burgers
B · Solutions faibles
C · Distributions
D · Formulation variationnelle
L’équation de Burgers uₜ + u uₓ = 0 est la plus simple des EDP non linéaires : chaque valeur de u voyage à sa propre vitesse (elle-même). Avec u₀ = sin x, la méthode des caractéristiques donne u(X(x₀), t) = sin x₀ avec X = x₀ + t sin x₀. Tant que X est croissante, c’est une vraie solution ; à t* = 1 les caractéristiques se croisent et la solution classique cesse d’exister, même si la donnée initiale est infiniment lisse.
repli des caractéristiques (multivalué)solution faible entropiquesolution visqueuse exacte (Cole-Hopf)
Diagramme (x, t). Chaque trait est une caractéristique (vitesse = valeur de u) ; elles se croisent en (π, 1) et sont « avalées » par le choc (rouge épais).
Temps de formation du choc t* (recherche par dichotomie)—
Plus petit jacobien ∂X/∂x₀ = 1 + t cos x₀ · valeurs de u possibles en x = π − 0,4—
d/dt ∫₀^π u dx (différences centrées) contre −ug²/2—
u en π − 0,4 : entropique · visqueuse—
‖uν − u‖L¹ à t = 2 pour ν = 0,08 · 0,04 · 0,02 · 0,01 · pente log-log—
À retenir. Passé t*, la « solution » obtenue en suivant les caractéristiques est multivaluée (courbe grise) : elle n’a aucun sens physique. On la remplace par une fonction discontinue qui vérifie l’équation « au sens faible » ; la position du choc est fixée par la conservation (ci-dessus : le taux de variation de ∫₀^π u est exactement l’opposé du flux u²/2 qui sort côté gauche du choc). Avec un peu de viscosité ν, tout redevient lisse — et l’on a même une formule exacte (transformation de Cole-Hopf) ; quand ν → 0, elle converge vers le choc.
Comment dire qu’une fonction discontinue résout une équation ? En multipliant par une fonction test φ lisse, à support compact, et en reportant la dérivation sur φ par intégration par parties. Pour Burgers sous forme conservative uₜ + (u²/2)ₓ = 0, u est solution faible si, pour toute φ :
∬ ( u ∂ₜφ + ½ u² ∂ₓφ ) dx dt = 0
Prenons un problème de Riemann : u = ug à gauche, ud à droite à l’instant 0. La page calcule l’intégrale ci-dessus numériquement pour la solution proposée : elle ne s’annule que si la vitesse du choc est la bonne.
Diagramme (x, t). Fond bleu : u = ug ; fond rouge : u = ud ; traits fins : caractéristiques ; ellipse violette : support de la fonction test φ.
Résidu faibleR(s) = ∬(uφₜ + ½u²φₓ) dxdt en fonction de la vitesse s du choc : c’est une droite, qui coupe zéro en s = (ug + ud)/2.
Saut [u] = ud − ug · vitesse de Rankine-Hugoniot (ug + ud)/2—
Résidu faible R de la solution affichée—
Condition d’entropie de Lax : ug > s > ud—
Autre solution faible (détente) : résidu—
À retenir. Le choc de vitesse s = (ug + ud)/2 (relation de Rankine-Hugoniot) est une solution faible, et aucune autre vitesse ne l’est. Mais avec ug < ud, la détente et le choc annulent tous les deux le résidu : la formulation faible perd l’unicité. Il faut ajouter un critère physique (condition d’entropie de Lax : les caractéristiques doivent entrer dans le choc) — c’est ce que retient la limite de viscosité de l’onglet précédent.
La théorie des distributions de Laurent Schwartz (1945-1950) généralise la dérivation : la dérivée d’une fonction u est définie par son action sur les fonctions test, ⟨u′, φ⟩ := −∫ u φ′ dx. Ainsi la fonction de Heaviside H a pour dérivée la « masse de Dirac » δ : ⟨δ, φ⟩ = φ(0), et |x|″ = 2δ. Ici, on lisseH et |x| avec une gaussienne d’écart-type ε et l’on vérifie numériquement que l’intégration par parties tient, et que tout converge vers φ(0).
Fonction lissée, sa dérivée et la fonction test φ (bosse C² à support compact).
Zoom sur l’origine. La dérivée (seconde dérivée pour |x|) est un pic de largeur ε, de hauteur ∝ 1/ε et d’aire constante : c’est un δ en devenir.
Limite : φ(0) (H) ou ∫ signe·φ (|x|) · écart/ε² contre φ″(0)/2 (H)—
Aire du pic (∫u′ pour H, ∫u″ pour |x|)—
|x| : ∫u φ″ · 2φ(0) · écart/ε² contre φ″(0)—
À retenir. Une fonction qui n’est même pas continue (H) ou pas dérivable (|x|) possède toutes ses dérivées au sens des distributions. Cette extension transforme des équations impossibles à écrire classiquement (force ponctuelle, choc, masse concentrée) en équations parfaitement légitimes : −u″ = δx₀, par exemple, a pour solution une fonction en « toit » — bien plus régulière qu’on ne le croirait.
Pour −(a u′)′ = f sur ]0, 1[ avec u(0) = u(1) = 0, la formulation variationnelle cherche u dans l’espace de Sobolev H¹₀ (fonctions dont la dérivée est de carré intégrable) telle que B(u, v) = L(v) pour tout v, avec B(u, v) = ∫ a u′ v′ et L(v) = ∫ f v. Le théorème de Lax-Milgram garantit qu’une unique solution existe (B continue et coercive) ; elle minimise l’énergie J(v) = ½B(v, v) − L(v). La méthode de Galerkin la cherche dans le sous-espace des fonctions affines par morceaux sur N éléments : on retombe sur un système linéaire, autrement dit sur de l’algèbre de dimension finie.
Coefficient variable : a(x) = 1 + 0,8 sin(2πx) — un matériau hétérogène, où aucune formule simple n’existe pour u.
Erreurs en fonction de N (log-log) : norme d’énergie √B(u−uh, u−uh) et norme L² ; trait vertical : N choisi.
Orthogonalité de Galerkin : B(uh, uh) − L(uh)—
Énergie J(uh) · J(u) exacte—
J(uh) − J(u) · ½‖u−uh‖²E mesuré directement—
J(uh + εw) − J(uh) · ε²/2·B(w, w)—
Pentes log-log : énergie · L²—
À retenir. La solution de Galerkin est la projection orthogonale de la solution exacte sur l’espace des fonctions affines par morceaux, pour le produit scalaire de l’énergie : c’est pourquoi J(uh) − J(u) est exactement la moitié du carré de l’erreur, et pourquoi toute perturbation de uh ne peut que augmenter l’énergie. Avec une force ponctuelle δ, f n’est même pas une fonction, et pourtant le cadre de Sobolev fournit une solution unique — une fonction continue dont la dérivée saute en x = 0,3 — que la méthode approche à vitesse réduite (regardez la pente des erreurs).
Repères
Frise historique : trois siècles d’une même idée
Chaque étage de l’édifice est né d’un problème que l’étage précédent ne savait pas résoudre. Le vert désigne le calcul et les EDO, l’orange l’analyse qualitative, le rouge les EDP et l’analyse moderne.
1684 – 1687Leibniz publie son calcul différentiel ; Newton, ses Principia : F = m·d²x/dt² est la première EDO de la physique.
1747d’Alembert écrit l’équation de la corde vibrante : la première EDP de la physique mathématique.
1822Fourier, Théorie analytique de la chaleur : l’équation de la chaleur et la décomposition en séries trigonométriques.
XIXᵉ siècleCauchy et Weierstrass rigoureux sur les limites ; Cauchy et Lipschitz : existence et unicité pour les EDO.
1880 – 1890Poincaré, face au problème des trois corps, invente l’analyse qualitative : on étudie les trajectoires plutôt que les formules.
Années 1930Sobolev introduit les espaces fonctionnels qui portent son nom : la régularité se mesure en normes intégrales.
1945 – 1950Laurent Schwartz bâtit la théorie des distributions (médaille Fields 1950) : toute fonction localement intégrable devient indéfiniment dérivable.
1950 – 1951Hopf et Cole ramènent l’équation de Burgers visqueuse à l’équation de la chaleur.
1954Lax et Milgram démontrent le théorème qui fonde la formulation variationnelle.
1957Lax formule sa condition d’entropie pour trier les chocs admissibles.
1963Lorenz découvre le chaos déterministe dans une EDO à trois variables.
2000L’Institut Clay place l’existence de solutions régulières de Navier-Stokes en 3D parmi les sept problèmes du millénaire : la question reste ouverte.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
Du calcul aux EDO
Le théorème fondamental de l’analyse permet de remonter d’un taux de variation à une grandeur. Une EDO en fait un principe de prédiction : y′ = f(t, y) et une condition initiale déterminent toute la trajectoire (Cauchy-Lipschitz).
Des EDO aux EDP
Une EDP est la limite d’un système d’EDO dont la dimension tend vers l’infini (planche 3). Les inconnues sont des champs ; l’espace de phases devient un espace de fonctions.
Des EDP à l’analyse moderne
Trois comportements universels — équilibre, diffusion, ondes. Et des solutions qui ne sont pas dérivables : il faut des solutions faibles, des distributions, des espaces de Sobolev, des formulations variationnelles.
Pour aller plus loin
Quelques pistes à explorer ensuite : la transformée de Fourier et de Laplace comme outils de résolution ; les schémas numériques (différences finies, éléments finis, volumes finis) et leur stabilité (condition CFL) ; les systèmes hyperboliques de lois de conservation (équations d’Euler) ; la théorie de la régularité elliptique ; l’équation de Schrödinger, dont le caractère « dispersif » est un quatrième comportement ; les EDP stochastiques.