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Les équations différentielles ordinaires

Une fonction inconnue du temps, une relation avec ses dérivées, un état de départ : tout le futur en découle-t-il ?

Jusqu'ici, une équation avait pour inconnue un nombre. Une équation différentielle a pour inconnue une fonction : on ne cherche pas une valeur, mais toute une évolution. La relation imposée lie la fonction à ses propres dérivées, c'est-à-dire l'état présent à sa vitesse de changement.

On l'appelle ordinaire quand il n'y a qu'une seule variable indépendante, ici le temps t. L'inconnue, elle, peut avoir plusieurs composantes : c'est un vecteur X(t) de ℝⁿ (positions, vitesses, concentrations, populations…). La forme générale est :

X′(t) = F(t, X(t)), X(t) ∈ ℝⁿ

Adjoindre à l'équation un état de départ, X(t₀) = X₀, c'est poser un problème de Cauchy. Trois questions se posent alors, et les planches qui suivent y répondent une à une : existe-t-il une solution ? est-elle unique ? que devient-elle si l'on modifie un peu l'état de départ ?

Théorème de Cauchy-Lipschitz. Si F est continue et lipschitzienne en X — il existe une constante L telle que ‖F(t,X) − F(t,Y)‖ ≤ L‖X − Y‖ —, alors le problème de Cauchy possède une solution et une seule, définie sur un intervalle maximal ; si cet intervalle est borné, la solution sort de tout domaine borné à son extrémité. Deux solutions parties de X₀ et Y₀ restent à une distance au plus ‖X₀ − Y₀‖·e^L|t−t₀|.

Ce théorème est la version mathématique du déterminisme : l'état présent fixe le futur, et le passé, sans ambiguïté. Chaque planche en éprouve une pièce, en montrant aussi ce qui se passe quand une hypothèse manque. Toutes les courbes sont calculées dans la page ; chaque fois qu'une formule exacte existe, elle sert de contrôle.

Planche 1L'état d'un système : de l'ordre deux au vecteur

Le pendule obéit à x″ = −sin x : une équation d'ordre deux, qui fait intervenir l'accélération. Connaître la position de départ ne suffit pas, il faut aussi la vitesse. On range donc ces deux nombres dans un vecteur d'état X = (x, v) avec v = x′, et l'équation devient un système d'ordre un :

X′ = F(X) avec F(x, v) = (v, −sin x)

Toute équation d'ordre n se traite ainsi : on empile la fonction et ses n − 1 premières dérivées. Les cinq solutions tracées partent de la même position, avec cinq vitesses croissantes.

Dans le plan (t, x), les courbes se coupent.

Dans l'espace des états (x, v), elles ne se coupent jamais.

Équation x₀ plus petite vitesse v₀ pas entre les vitesses

Dans le plan (t, x), deux solutions peuvent passer au même point au même instant : elles ont la même position mais pas la même vitesse, donc pas le même état. Dans l'espace des états, un point contient toute l'information nécessaire ; le champ de flèches F dit dans quelle direction il repart, et deux trajectoires distinctes ne peuvent donc pas se croiser. Choisir le bon espace, c'est choisir ce qu'il faut connaître aujourd'hui pour prédire demain.

Planche 2Existence : les approximations successives de Picard

Comment prouver qu'une solution existe sans la connaître ? On réécrit le problème de Cauchy sous forme intégrale, puis on itère : on part de la fonction constante égale à X₀, et chaque nouvelle approximation s'obtient en intégrant F le long de la précédente.

φ₀(t) = X₀ , φₖ₊₁(t) = X₀ + ∫₀ᵗ F(s, φₖ(s)) ds

Si F est lipschitzienne, l'écart entre deux itérées consécutives est majoré par un terme de la série exponentielle, (Lt)^k/k!, qui finit toujours par écraser toute puissance : la suite converge, et sa limite est la solution.

itérées précédentesitérée φₖsolution exacte (pointillés)intervalle garanti par le théorème

Problème itérée k horizon T

erreur mesurée sup |φₖ − solution|majoration de Picard

Pour y′ = y, les itérées sont exactement les polynômes de Taylor de eᵗ, et la majoration de Picard est atteinte : l'erreur au bout de l'intervalle vaut précisément le reste de la série. Pour y′ = 1 + y², F n'est lipschitzienne que sur une région bornée ; le théorème ne garantit alors la solution que sur [0 ; ½], alors que les itérées continuent de converger, lentement, jusqu'à π/2 où tan t explose. Le palier final vers 10⁻¹² n'a rien à voir avec Picard : c'est l'erreur de la quadrature numérique utilisée pour calculer les intégrales.

Planche 3Unicité et durée de vie : quand une hypothèse manque

Le théorème exige que F soit lipschitzienne. Retirez cette hypothèse et l'unicité peut disparaître ; gardez-la seulement localement et la solution peut cesser d'exister au bout d'un temps fini. Deux contre-exemples, deux onglets.

y′ = 2√|y| , y(0) = 0

La fonction nulle est solution. Mais pour tout c ≥ 0, la fonction qui vaut 0 jusqu'à c puis (t − c)² ensuite l'est aussi, puisque sa dérivée 2(t − c) est bien égale à 2√((t − c)²). Une infinité de futurs partent du même état : c'est le pinceau de Peano.

quelques solutions de la famillesolution qui attend jusqu'à csolution nulleRunge-Kutta parti de ε

départ différé c ε = 10^−p, p

En 0, la pente 2√|y| se redresse infiniment vite : le rapport |F(ε) − F(0)|/ε = 2/√ε n'est borné par aucune constante, et c'est exactement ce qui interdit Lipschitz. Le calcul numérique, lui, ne peut pas choisir : parti de 0 exactement, il suit la solution nulle ; parti d'un ε aussi petit qu'on veut, il décolle aussitôt et suit (t + √ε)², qui tend vers la solution qui part tout de suite. Pour y′ = 2y, lipschitzienne, le même ε resterait minuscule.

Planche 4Dépendance aux conditions initiales : le lemme de Grönwall

Un état initial n'est jamais connu exactement. Si l'on déplace le départ du pendule de δ, de combien se déplace l'arrivée ? Le lemme de Grönwall répond pour toute équation lipschitzienne : l'écart grandit au plus comme δ·e^Lt. Pour le pendule, la jacobienne de F est [[0, 1], [−cos x, 0]], de norme au plus 1, donc L = 1.

On peut faire mieux qu'une majoration : la dérivée de la solution par rapport à l'état initial obéit elle-même à une équation, l'équation variationnelle M′ = J(X(t))·M, avec M(0) = I. Elle prédit l'écart au premier ordre : δ·M(t)·e₁.

x(t) pour le départ θ₀ (bleu) et θ₀ + δ (rouge, pointillés)

log₁₀ de l'écart ‖X(t) − Y(t)‖ dans l'espace des états

écart mesuréprédiction variationnelle δ‖M(t)e₁‖ (pointillés)borne de Grönwall δ·eᵗ

angle de départ θ₀ δ = 10^−q, q

La borne de Grönwall est vraie mais souvent très pessimiste. Pour une oscillation du pendule, l'écart ne croît que linéairement : la période dépend de l'amplitude, donc les deux pendules se décalent peu à peu, comme deux montres qui ne battent pas tout à fait au même rythme. Près du sommet, en revanche, le pendule s'attarde au voisinage d'un équilibre instable où la jacobienne a la valeur propre +1 : là, l'écart suit réellement e^t, et la borne est presque atteinte. Dans les deux cas, sur un temps fini, l'écart tend vers 0 avec δ : c'est la continuité par rapport aux conditions initiales. L'accord avec la prédiction variationnelle s'améliore quand δ diminue, jusqu'à ce que les erreurs d'arrondi de la machine, de l'ordre de 10⁻¹⁶ à chaque pas, prennent le relais : le même compromis qu'en dérivation numérique.

Planche 5 — signatureLe flot : un disque d'états emporté par l'équation

Le déterminisme permet de définir une application φ_t qui envoie chaque état initial sur l'état atteint au temps t : c'est le flot. Au lieu de suivre une solution, suivons-en une infinité à la fois : tout un disque d'états initiaux, dont on transporte le contour. Le pendule est ici éventuellement freiné : x″ = −sin x − γx′.

La formule de Liouville prédit ce que devient l'aire : le déterminant de la matrice M(t) vaut exp ∫ div F, et ici div F = −γ. Sans frottement, l'aire est conservée exactement, alors même que le disque s'étire en un filament de plus en plus long.

image du disque au temps t (contour coloré selon le point de départ)disque initialséparatrices sans frottement

frottement γ centre x centre v rayon

Trois propriétés du flot se lisent ici. D'abord, il transporte les états sans jamais les mélanger ni les dédoubler : le contour reste une courbe fermée sans croisement, parce que deux trajectoires ne se coupent pas. Ensuite, il déforme sans comprimer quand γ = 0 : les états proches de l'équilibre tournent plus vite que les autres, d'où la spirale, mais l'aire reste celle du disque de départ. Enfin, il se remonte : le bouton « Remonter le temps » applique φ₋ₜ, et chaque état revient exactement d'où il est parti, même avec frottement. Une équation différentielle détermine le passé aussi sûrement que l'avenir ; ce qui est irréversible, c'est notre ignorance quand l'aire s'effondre et que des états distincts deviennent indiscernables à l'œil.

Ce qu'il faut retenir

Équation différentielle ordinaire: Relation X′ = F(t, X) entre une fonction inconnue d'une seule variable et sa dérivée. Toute équation d'ordre n se ramène à l'ordre un en prenant pour inconnue le vecteur formé de la fonction et de ses n − 1 premières dérivées.
État et espace des phases: L'état est ce qu'il faut connaître à un instant pour prédire la suite. Dans l'espace des états, les trajectoires ne se croisent pas.
Problème de Cauchy: L'équation plus un état initial X(t₀) = X₀. Si F est lipschitzienne en X, la solution existe et elle est unique (Cauchy-Lipschitz, prouvé par les itérées de Picard).
Solution maximale: La solution vit sur un intervalle maximal ; s'il est borné, elle quitte tout domaine borné à son extrémité (explosion en temps fini).
Dépendance aux conditions initiales: Sur un temps fini, la solution dépend continûment de l'état initial, avec un écart au plus δ·e^(L t) (Grönwall). Sa dérivée par rapport à l'état initial obéit à l'équation variationnelle.
Flot: L'application φₜ qui envoie l'état initial sur l'état au temps t. Elle est inversible (φ₋ₜ la défait), et son déterminant jacobien vaut exp ∫ div F (Liouville).